由二次函数的图象与ｚ轴有交点，得
｛答（０’ｍ－－３）：－－４ｍ≥Ｏ，即仨＝ｌ’Ｏｒｅ坳０，
Ｉ△一
２
，一Ｉｍ２一
＋９≥，
解得，ｍＥ（一∞，ｏ）Ｕ（ｏ，１］Ｕ［９，＋ｃｏ），即为全集Ｉ．
又由Ｆ（Ｏ）一１＞０，可知二次函数的图象不经过坐标原点，因此，当图象与ｚ轴的正半轴没有交点时，交点必在原点的左侧，此时ｍ满足
值问题例析
◇江苏王力
ｆｍ＞ｏ，．｛写Ｉ＜ｏ，
ｆｍ＞ｏ，
酬ｍ＜Ｏ或ｍ＞３，
｝△一（ｍ一３）２—４优≥ｏ，ｌｍ２一ｌＯｍ＋９≥Ｏ，
解之得ｍＥＥ９，十ｃｏ）．故ｍ的取值范围为（一。。，ｏ）Ｕ（ｏ，１］，即当优≤１且ｍ≠０时二次函数的图象与ｚ轴的交点至少有一个在原点的右侧．６借助导数
利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，较之传统方法具有简捷明快、容易掌握等特别明显的优越性，既加深了对导数的理解，又为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化．
■ｒ≈，
立体几何中的最值问题是高考的热点，解题中在熟练运用、强化巩固一般函数最值求法的同时，可有效地提高解答立体几何问题的许多重要能力，开阔视野，下面就解题中的常用策略归类例析．１平面化策略
■，—＇，
。幺例１如图１所示，在侧棱长为２，底面边长为１
上的动点，则ＡＰ＋ＰＣ的最小值为——．
ｐ
，解析平面，得图２，则ＡＣ之长即为所求．
Ｃ．
的正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ。Ｂ，ＣｔＤ，中，Ｐ是对角线ＢＤｌ
将Ｚ：ｘＡＢＤ－－与ＡＢＣＤｌ所在平面展开为一个
“以例６
（２００８年北京卷）已知函数，‘≯）一
石２可ｘ－－ｂ，确定厂（ｚ）的单调区间・
（ｚ一１）３
Ｄ
舄析／（ｚ）＝堑尘专等产必一
二！墨±！垒二呈一一垄［兰二（垒二１２］
（ｚ一１）３
’
令厂（ｚ）一ｏ，得ｚ一６—１．当６—１＜１，即６＜２时，／（ｚ）的变化情况如下表：
仉画
圈１
Ｃ
Ｃ
圈２
ｌｌＩＩ
ｚ
（一。。，６一１）６一ｌ
Ｏ
（６—１，１）
＋
（１，十。。）
因为ＡＢ一１，ＡＡ。一２，ＡＢ上ＡＤｌ，ＢＣＪ－ＣＤｌ，
厂（ｚ）
所以ＡＤｌ＝ＣＤｌ＝幅，在Ｒｔｚ２ｘＡＤｌＢ中，ＢＤｌ＝厢，则
（６—１，十ｏｏ）
当６—１＞ｌ，即６＞２时，ｆ７（ｚ）的变化情况如下表：
ｚ
（一。（），１）（１，６—１）
＋
６一ｌＯ
ＡＰ一镒堕一遁，／ｇ一宰，
／（ｚ）
所以，当６＜２时，函数厂（ｚ）在（一。。，６—１）上单调递减，在（６—１，１）上单调递增，在（１，＋ｃｏ）上单调递减．当６＞２时，函数厂（ｚ）在（一ｏ。，１）上单调递减，在（１，６—１）上单调递增，在（６—１，＋ｏ。）上单调递减．
ｏ
鸯彝萎柔曩嚣，崔三二姜甓谶薷霞
适当选取Ｐ点的位置，使Ａ，Ｐ，Ｃ在一条直线上，即使ＡＰ＋ＰＣ取得最小值．为此，将有关图形展开到一个平面内，这是将三维空间图形转化为二维平面图形的一种重要策略．２利用导数
故所求最小值为≤罂．
当６—１—１，即６—２时，，（ｚ）一＝刍，所以函数
厂（ｚ）在（一。。，１）上单调递减，在（１，＋。ｏ）上单调递减．
（作者单位：河北省唐山市丰润区七树庄中学）
糍例２求半径为Ｒ的球内接正三棱锥体积Ｖ的
■Ｐｏｔ，
１９９２年４月６日。我国与亚美尼亚建立外交关系．
孙ｌｒ故１９舭
万方数据
最大值．
瑶析凳是搿紧釜
球心０与正三角形ＡＢＣ的中心Ｈ，连ＡＨ、Ａｏ、ＡＮ、ＡＳ，则得ＲｔＡＮＡＳ，且
ＡＨ
ＳＮ．
彰毒
虽然依靠直觉思维可知当日２詈时，Ｖ取得
最大值，但对于解答题，这是十分不严谨的，所以必须按照规范的逻辑推理步骤求出用０表示Ｖ的目标函数，再求其最大值．４构建辅助函数
ＪＤ
砺二例４如图５，在侧
Ⅳ
设ＡＨ—ｒ，ＳＨ—ｈ，则户一ｈ（２Ｒ—ｈ），又ＡＢ一
棱长为定值１２的正四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中，当相邻侧面所成二面角为多大时，棱锥的体积有最大值，这个最大值是多少？
．
届，所以三棱锥的体积为
图３
、厂：百１・譬・３产・＾一譬（２Ｒ＾２一Ｊｉｌ３）（ｏ＜＾＜２Ｒ）．
设Ｕ－－＿２Ｒｈ２一ｈ３，求导得Ｕ７＝ｈ（４Ｒ一３ｈ）．令
Ｕ，：０，得Ｊｌｌ：ｏ（舍去）或＾一华．
Ｑ
连ＡＣ、ＢＤ交
图５
（、解析于０，连ＰＯ，则０是正方形的中心，作ＯＥＬ
ＰＢ与Ｅ，连ＡＥ、ＣＥ，易证ＰＢ上面ＡＥＣ，ＰＢ上ＡＥ，ＰＢ上ＣＥ，则么ＡＥＩＣ是二面角Ａ－ＰＢ—Ｃ的平面角．
当ｏ＜＾＜譬时，Ｕ，＞ｏ；当垒磐＜｜｝ｌ＜２Ｒ时，Ｕ，＜ｏ，
所以当＾一警时，有ｕ。一舅Ｒ３，则得‰，一筹Ｒ３．
３利用三角函数的有界性
ｈ＝ＰＯ＝“阿，ｖ一去・２ｘ２，ｌ一姜Ｊ—ａ２ｘ４—＿ｘｏ．
令Ｕ＝ａ２ｔ２ｍｔ３（￡一≯∈（Ｏ＜￡＜ｎ２））．求导得
Ｕ７＝２ａ２ｔ－－３ｔ２＝一３￡（￡一睾口２）．
设ＡＯ＝ＢＯ—ｚ，则三棱锥的底边长为√２ｚ，高
。；磊例３正四棱锥的底面边长为口，侧面与底面所
■ｒ“ｂ，
成二面角的大小为２０，若２０Ｅ（０，詈］，求此正四棱锥
的内切球体积Ｖ的最大信．
令Ｕ７＝ｏ得￡一ｏ（舍去），或￡一鲁口２．则当ｏ＜￡＜
ｐ
取正四棱锥底面的
尸
／解析一组对边的中点Ｍ、
Ｎ，连同正四棱锥的顶点Ｐ，得截面图图４，则圆０为等腰三角形ＰＭＮ的内切圆，切点为Ｈ、Ｅ．
设球的半径，即圆。的半径为Ｒ，则在Ｒｔ△ＰＨＮ中，由面积关系得Ｒ・ＰＮ＋Ｒ・ＨＮ—ＰＨ・ＨＮ，即
告口２时，Ｕ７＞ｏ；当鲁ｎ２＜￡＜口２时，Ｕ７＜ｏ，所以当￡一
Ｍ
么塞
Ｈ
号∥时，有ｕ。一刍ａ６则得ｕ。一喾口３．
当ｙ取得最大值时，
ｚ一害ｎ，矗一害口，ＯＥ一譬口，ｔａ眨ＯＥＡ＝，／－３，么ＯＥＡ－－－－６０。，么ＡＥＣ＝１２０。，
所以当相邻侧面所成二面角为１２０。时，Ｖ有最大值
Ｎ
图４
Ｒ‘夏羔历＋号）。ｉｔ２
解得Ｒ一号ｔａｎ
２口・器一号ｔａｎ良
ｔａｎ
２０。号，
彰彝蓄纛善萋粼拦姜’当髫雾
得目标函数ｙ—百１・２ｘ２＾一号／孑ｊ呵；虽然此函数
也比较复杂，但令Ｕ＝ａ２￡２－－ｔ３，就可得到一个十分简单的辅助函数；用导数法求最值则属于基本技能，关键是在此问题情境中要能迅速“想”到．
（作者单位：江苏省睢宁高级中学）
筝。．
因为２０Ｅ（ｏ，号］，所以０６（ｏ，詈］，又在（ｏ，－一６３＿ｈ，ｔａｎ口是增函数，则当口一詈，ｔａｎ８一譬时，有
粥化
万方数据
‰一警ｃ争归缸
１９７４年４月６日，邓小平出席联合国大会第六届特别会议．
立体几何最值问题例析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
王力
江苏省睢宁高级中学高中数理化
GAOZHONG SHU-LI-HUA2009(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200904025.aspx
由二次函数的图象与ｚ轴有交点，得
｛答（０’ｍ－－３）：－－４ｍ≥Ｏ，即仨＝ｌ’Ｏｒｅ坳０，
Ｉ△一
２
，一Ｉｍ２一
＋９≥，
解得，ｍＥ（一∞，ｏ）Ｕ（ｏ，１］Ｕ［９，＋ｃｏ），即为全集Ｉ．
又由Ｆ（Ｏ）一１＞０，可知二次函数的图象不经过坐标原点，因此，当图象与ｚ轴的正半轴没有交点时，交点必在原点的左侧，此时ｍ满足
值问题例析
◇江苏王力
ｆｍ＞ｏ，．｛写Ｉ＜ｏ，
ｆｍ＞ｏ，
酬ｍ＜Ｏ或ｍ＞３，
｝△一（ｍ一３）２—４优≥ｏ，ｌｍ２一ｌＯｍ＋９≥Ｏ，
解之得ｍＥＥ９，十ｃｏ）．故ｍ的取值范围为（一。。，ｏ）Ｕ（ｏ，１］，即当优≤１且ｍ≠０时二次函数的图象与ｚ轴的交点至少有一个在原点的右侧．６借助导数
利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，较之传统方法具有简捷明快、容易掌握等特别明显的优越性，既加深了对导数的理解，又为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化．
■ｒ≈，
立体几何中的最值问题是高考的热点，解题中在熟练运用、强化巩固一般函数最值求法的同时，可有效地提高解答立体几何问题的许多重要能力，开阔视野，下面就解题中的常用策略归类例析．１平面化策略
■，—＇，
。幺例１如图１所示，在侧棱长为２，底面边长为１
上的动点，则ＡＰ＋ＰＣ的最小值为——．
ｐ
，解析平面，得图２，则ＡＣ之长即为所求．
Ｃ．
的正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ。Ｂ，ＣｔＤ，中，Ｐ是对角线ＢＤｌ
将Ｚ：ｘＡＢＤ－－与ＡＢＣＤｌ所在平面展开为一个
“以例６
（２００８年北京卷）已知函数，‘≯）一
石２可ｘ－－ｂ，确定厂（ｚ）的单调区间・
（ｚ一１）３
Ｄ
舄析／（ｚ）＝堑尘专等产必一
二！墨±！垒二呈一一垄［兰二（垒二１２］
（ｚ一１）３
’
令厂（ｚ）一ｏ，得ｚ一６—１．当６—１＜１，即６＜２时，／（ｚ）的变化情况如下表：
仉画
圈１
Ｃ
Ｃ
圈２
ｌｌＩＩ
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（一。。，６一１）６一ｌ
Ｏ
（６—１，１）
＋
（１，十。。）
因为ＡＢ一１，ＡＡ。一２，ＡＢ上ＡＤｌ，ＢＣＪ－ＣＤｌ，
厂（ｚ）
所以ＡＤｌ＝ＣＤｌ＝幅，在Ｒｔｚ２ｘＡＤｌＢ中，ＢＤｌ＝厢，则
（６—１，十ｏｏ）
当６—１＞ｌ，即６＞２时，ｆ７（ｚ）的变化情况如下表：
ｚ
（一。（），１）（１，６—１）
＋
６一ｌＯ
ＡＰ一镒堕一遁，／ｇ一宰，
／（ｚ）
所以，当６＜２时，函数厂（ｚ）在（一。。，６—１）上单调递减，在（６—１，１）上单调递增，在（１，＋ｃｏ）上单调递减．当６＞２时，函数厂（ｚ）在（一ｏ。，１）上单调递减，在（１，６—１）上单调递增，在（６—１，＋ｏ。）上单调递减．
ｏ
鸯彝萎柔曩嚣，崔三二姜甓谶薷霞
适当选取Ｐ点的位置，使Ａ，Ｐ，Ｃ在一条直线上，即使ＡＰ＋ＰＣ取得最小值．为此，将有关图形展开到一个平面内，这是将三维空间图形转化为二维平面图形的一种重要策略．２利用导数
故所求最小值为≤罂．
当６—１—１，即６—２时，，（ｚ）一＝刍，所以函数
厂（ｚ）在（一。。，１）上单调递减，在（１，＋。ｏ）上单调递减．
（作者单位：河北省唐山市丰润区七树庄中学）
糍例２求半径为Ｒ的球内接正三棱锥体积Ｖ的
■Ｐｏｔ，
１９９２年４月６日。我国与亚美尼亚建立外交关系．
孙ｌｒ故１９舭
万方数据
最大值．
瑶析凳是搿紧釜
球心０与正三角形ＡＢＣ的中心Ｈ，连ＡＨ、Ａｏ、ＡＮ、ＡＳ，则得ＲｔＡＮＡＳ，且
ＡＨ
ＳＮ．
彰毒
虽然依靠直觉思维可知当日２詈时，Ｖ取得
最大值，但对于解答题，这是十分不严谨的，所以必须按照规范的逻辑推理步骤求出用０表示Ｖ的目标函数，再求其最大值．４构建辅助函数
ＪＤ
砺二例４如图５，在侧
Ⅳ
设ＡＨ—ｒ，ＳＨ—ｈ，则户一ｈ（２Ｒ—ｈ），又ＡＢ一
棱长为定值１２的正四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中，当相邻侧面所成二面角为多大时，棱锥的体积有最大值，这个最大值是多少？
．
届，所以三棱锥的体积为
图３
、厂：百１・譬・３产・＾一譬（２Ｒ＾２一Ｊｉｌ３）（ｏ＜＾＜２Ｒ）．
设Ｕ－－＿２Ｒｈ２一ｈ３，求导得Ｕ７＝ｈ（４Ｒ一３ｈ）．令
Ｕ，：０，得Ｊｌｌ：ｏ（舍去）或＾一华．
Ｑ
连ＡＣ、ＢＤ交
图５
（、解析于０，连ＰＯ，则０是正方形的中心，作ＯＥＬ
ＰＢ与Ｅ，连ＡＥ、ＣＥ，易证ＰＢ上面ＡＥＣ，ＰＢ上ＡＥ，ＰＢ上ＣＥ，则么ＡＥＩＣ是二面角Ａ－ＰＢ—Ｃ的平面角．
当ｏ＜＾＜譬时，Ｕ，＞ｏ；当垒磐＜｜｝ｌ＜２Ｒ时，Ｕ，＜ｏ，
所以当＾一警时，有ｕ。一舅Ｒ３，则得‰，一筹Ｒ３．
３利用三角函数的有界性
ｈ＝ＰＯ＝“阿，ｖ一去・２ｘ２，ｌ一姜Ｊ—ａ２ｘ４—＿ｘｏ．
令Ｕ＝ａ２ｔ２ｍｔ３（￡一≯∈（Ｏ＜￡＜ｎ２））．求导得
Ｕ７＝２ａ２ｔ－－３ｔ２＝一３￡（￡一睾口２）．
设ＡＯ＝ＢＯ—ｚ，则三棱锥的底边长为√２ｚ，高
。；磊例３正四棱锥的底面边长为口，侧面与底面所
■ｒ“ｂ，
成二面角的大小为２０，若２０Ｅ（０，詈］，求此正四棱锥
的内切球体积Ｖ的最大信．
令Ｕ７＝ｏ得￡一ｏ（舍去），或￡一鲁口２．则当ｏ＜￡＜
ｐ
取正四棱锥底面的
尸
／解析一组对边的中点Ｍ、
Ｎ，连同正四棱锥的顶点Ｐ，得截面图图４，则圆０为等腰三角形ＰＭＮ的内切圆，切点为Ｈ、Ｅ．
设球的半径，即圆。的半径为Ｒ，则在Ｒｔ△ＰＨＮ中，由面积关系得Ｒ・ＰＮ＋Ｒ・ＨＮ—ＰＨ・ＨＮ，即
告口２时，Ｕ７＞ｏ；当鲁ｎ２＜￡＜口２时，Ｕ７＜ｏ，所以当￡一
Ｍ
么塞
Ｈ
号∥时，有ｕ。一刍ａ６则得ｕ。一喾口３．
当ｙ取得最大值时，
ｚ一害ｎ，矗一害口，ＯＥ一譬口，ｔａ眨ＯＥＡ＝，／－３，么ＯＥＡ－－－－６０。，么ＡＥＣ＝１２０。，
所以当相邻侧面所成二面角为１２０。时，Ｖ有最大值
Ｎ
图４
Ｒ‘夏羔历＋号）。ｉｔ２
解得Ｒ一号ｔａｎ
２口・器一号ｔａｎ良
ｔａｎ
２０。号，
彰彝蓄纛善萋粼拦姜’当髫雾
得目标函数ｙ—百１・２ｘ２＾一号／孑ｊ呵；虽然此函数
也比较复杂，但令Ｕ＝ａ２￡２－－ｔ３，就可得到一个十分简单的辅助函数；用导数法求最值则属于基本技能，关键是在此问题情境中要能迅速“想”到．
（作者单位：江苏省睢宁高级中学）
筝。．
因为２０Ｅ（ｏ，号］，所以０６（ｏ，詈］，又在（ｏ，－一６３＿ｈ，ｔａｎ口是增函数，则当口一詈，ｔａｎ８一譬时，有
粥化
万方数据
‰一警ｃ争归缸
１９７４年４月６日，邓小平出席联合国大会第六届特别会议．
立体几何最值问题例析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
王力
江苏省睢宁高级中学高中数理化
GAOZHONG SHU-LI-HUA2009(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200904025.aspx