理解三角函数的周期性
问题的提出：
(+2k π) =s i n ，x (k ∈Z 及) cos(x +2k π) =cos x (k ∈Z ) 成立，y =s i n x ，x ∈R 和等式s i n x
y =cos x ，x ∈R 的图象每隔2π重复．
函数周期性定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足f (x +T ) =f (x ) 成立才行 π5ππ⎛ππ⎫⎛5ππ⎫⎛ππ⎫如：sin +⎪=sin ，sin +⎪=sin ，但sin +⎪≠sin ， 446⎝42⎭⎝42⎭⎝62⎭
π不是y =sin x 的周期． 2
周期并不惟一，若T 是y =f (x ) 的周期，那么2T 也是y =f (x ) 的周期． 这是因为f (2T +x ) =f [T +(T +x )]=f (T +x ) =f (x ) ； 若T 是y =f (x ) 的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x ) 的周期． 2π是函数y =sin x 和y =cos x 的周期，那么2k π(k ∈Z 且k ≠0) 也是y =sin x 和y =cos x ∴的周期．
2． 最小正周期的概念
如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期．
-2π，4π，-4π，…中，存在最小正数2π，那么2π就是例如：函数y =sin x 的周期2π，
y =sin x 的最小正周期．函数y =cos x 的最小正周期也是2π． 例1 求下列函数的最小正周期T ．
（1）f (x ) =3sin x ；
（2）f (x ) =sin 2x ；
π⎫⎛1（3）f (x ) =2sin x +⎪． 4⎭⎝2
解：（1）f (x ) =3sin x =3sin(x +2π) =f (x +2π) ，最小正周期T =2π．
（2）f (x ) =sin 2x =sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =f (x +π) ，最小正周期T =π；
π⎫π⎛1⎛1⎫⎡1（3）f (x ) =2sin x +⎪=2sin x ++2π⎪=2sin ⎢(x +4π) +4⎭4⎝2⎝2⎭⎣2
最小正周期T =4π． π⎤=f (x +4π) ， 4⎥⎦
2π总结一般规律：y =A sin(ωx +ϕ) ，y =A cos(ωx +ϕ) 的最小正周期是
y =A tan(ωx +ϕ) 的最小正周期是ω；π． ω
π⎫⎛1例2 求证：y =2sin x +⎪的周期为2π． 3⎭⎝2
π⎫2π⎛1=4π， 证明：y =2sin x +⎪的周期为123⎝⎭2
根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π．
注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．
理解三角函数的周期性
问题的提出：
(+2k π) =s i n ，x (k ∈Z 及) cos(x +2k π) =cos x (k ∈Z ) 成立，y =s i n x ，x ∈R 和等式s i n x
y =cos x ，x ∈R 的图象每隔2π重复．
函数周期性定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足f (x +T ) =f (x ) 成立才行 π5ππ⎛ππ⎫⎛5ππ⎫⎛ππ⎫如：sin +⎪=sin ，sin +⎪=sin ，但sin +⎪≠sin ， 446⎝42⎭⎝42⎭⎝62⎭
π不是y =sin x 的周期． 2
周期并不惟一，若T 是y =f (x ) 的周期，那么2T 也是y =f (x ) 的周期． 这是因为f (2T +x ) =f [T +(T +x )]=f (T +x ) =f (x ) ； 若T 是y =f (x ) 的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x ) 的周期． 2π是函数y =sin x 和y =cos x 的周期，那么2k π(k ∈Z 且k ≠0) 也是y =sin x 和y =cos x ∴的周期．
2． 最小正周期的概念
如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期．
-2π，4π，-4π，…中，存在最小正数2π，那么2π就是例如：函数y =sin x 的周期2π，
y =sin x 的最小正周期．函数y =cos x 的最小正周期也是2π． 例1 求下列函数的最小正周期T ．
（1）f (x ) =3sin x ；
（2）f (x ) =sin 2x ；
π⎫⎛1（3）f (x ) =2sin x +⎪． 4⎭⎝2
解：（1）f (x ) =3sin x =3sin(x +2π) =f (x +2π) ，最小正周期T =2π．
（2）f (x ) =sin 2x =sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =f (x +π) ，最小正周期T =π；
π⎫π⎛1⎛1⎫⎡1（3）f (x ) =2sin x +⎪=2sin x ++2π⎪=2sin ⎢(x +4π) +4⎭4⎝2⎝2⎭⎣2
最小正周期T =4π． π⎤=f (x +4π) ， 4⎥⎦
2π总结一般规律：y =A sin(ωx +ϕ) ，y =A cos(ωx +ϕ) 的最小正周期是
y =A tan(ωx +ϕ) 的最小正周期是ω；π． ω
π⎫⎛1例2 求证：y =2sin x +⎪的周期为2π． 3⎭⎝2
π⎫2π⎛1=4π， 证明：y =2sin x +⎪的周期为123⎝⎭2
根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π．
注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．