边际函数
在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，即函数y =f (x ) 在(x 0，x 0+∆x ) 内的平均变化率为∆y ，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬∆x
时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：
f (x 0+∆x ) -f (x 0) lim =f '(x 0) ． ∆x →0∆x
在经济学中，一个经济函数f (x ) 的导数f '(x ) 称为该函数的边际函数．f (x ) 在点x =x 0处的导数f '(x ) 称为f (x ) 在点x =x 0处的变化率，也称为f (x ) 在点x =x 0处的边际函数值．它
表示f (x ) 在点x =x 0处的变化速度．
现设y =f (x ) 是一个可导的经济函数，于是当∆x 很小时，f (x +∆x ) -f (x ) =f '(x ) ∆x +o (∆x ) ≈f '(x ) ∆x ．
+1-) f (x ≈') 特别地，当∆x =1或∆x =-1时，分别给出f (x
f (x ) -f (x -1) ≈f '(x ) ． 0f 或(x )
因此边际函数值f '(x 0) 的经济意义是：经济函数f (x ) 在点x =x 0处，当自变量x 再增加1个单位时，因变量y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值f (x 0) 与f (x 0-1) 之差．但在应用问题中解释边际函数的具体意义时，常略去“近似”两字．
例 设函数y =x 2，试求y 在x =5时的边际函数值．
解：因为y '=2x ，所以y '|x =5=10．该值表明：当x =5时，x 改变一个单位（增加或减少一个单位），y 约改变10个单位（增加或减少10个单位）．
下面介绍经济学中常用的几个边际概念．
1．边际成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．
平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．
边际成本是总成本的变化率．
在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数． 设总成本函数C =C (Q ) ，Q 为产量， 则平均成本函数为C =C (Q ) =C (Q ) ， Q
生产Q 个单位产品时的边际成本函数为C '=C '(Q ) ．
C '(Q 0) 称为当产量为Q 0时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产Q 0个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产Q 0个单位产品后增加的那个单位产品
所花费的成本．这两种理解均算正确．
2．边际收益和边际利润
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．
平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价． 边际收益为总收益的变化率．
总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数．
设P 为价格，Q 为销售量，则总收益函数为：
R =R (Q ) =Q ·P ，
·P (Q ) ， 若需求函数为P =P (Q ) ，则总收益函数为R =R (Q ) =Q
R (Q ) Q ·P (Q ) ==P (Q ) ， 故平均收益函数为R =R (Q ) =Q Q
即价格P (Q ) 可视作从需求量（这里需求量即为销信量）Q 上获得的平均收益．边际收
·P (Q )) '=Q ·P '(Q ) +P (Q ) ． 益为R '=R '(Q ) =(Q
R '(Q 0) 的经济意义为：R '(Q 0) 表示销售量为Q 0个单位时，多销售一个单位产品或少销
售一个单位产品时收益的改变量．
由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L ，则总利润函数为L =L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) （其中Q 为商品量），
那么边际利润函数为L '=L '(Q ) =R '(Q ) -C '(Q ) ．
它的经济意义是：L '(Q 0) 表示销售量为Q 0单位时，再销售一个单位商品时利润的改变
量．
边际函数
在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，即函数y =f (x ) 在(x 0，x 0+∆x ) 内的平均变化率为∆y ，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬∆x
时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：
f (x 0+∆x ) -f (x 0) lim =f '(x 0) ． ∆x →0∆x
在经济学中，一个经济函数f (x ) 的导数f '(x ) 称为该函数的边际函数．f (x ) 在点x =x 0处的导数f '(x ) 称为f (x ) 在点x =x 0处的变化率，也称为f (x ) 在点x =x 0处的边际函数值．它
表示f (x ) 在点x =x 0处的变化速度．
现设y =f (x ) 是一个可导的经济函数，于是当∆x 很小时，f (x +∆x ) -f (x ) =f '(x ) ∆x +o (∆x ) ≈f '(x ) ∆x ．
+1-) f (x ≈') 特别地，当∆x =1或∆x =-1时，分别给出f (x
f (x ) -f (x -1) ≈f '(x ) ． 0f 或(x )
因此边际函数值f '(x 0) 的经济意义是：经济函数f (x ) 在点x =x 0处，当自变量x 再增加1个单位时，因变量y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值f (x 0) 与f (x 0-1) 之差．但在应用问题中解释边际函数的具体意义时，常略去“近似”两字．
例 设函数y =x 2，试求y 在x =5时的边际函数值．
解：因为y '=2x ，所以y '|x =5=10．该值表明：当x =5时，x 改变一个单位（增加或减少一个单位），y 约改变10个单位（增加或减少10个单位）．
下面介绍经济学中常用的几个边际概念．
1．边际成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．
平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．
边际成本是总成本的变化率．
在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数． 设总成本函数C =C (Q ) ，Q 为产量， 则平均成本函数为C =C (Q ) =C (Q ) ， Q
生产Q 个单位产品时的边际成本函数为C '=C '(Q ) ．
C '(Q 0) 称为当产量为Q 0时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产Q 0个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产Q 0个单位产品后增加的那个单位产品
所花费的成本．这两种理解均算正确．
2．边际收益和边际利润
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．
平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价． 边际收益为总收益的变化率．
总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数．
设P 为价格，Q 为销售量，则总收益函数为：
R =R (Q ) =Q ·P ，
·P (Q ) ， 若需求函数为P =P (Q ) ，则总收益函数为R =R (Q ) =Q
R (Q ) Q ·P (Q ) ==P (Q ) ， 故平均收益函数为R =R (Q ) =Q Q
即价格P (Q ) 可视作从需求量（这里需求量即为销信量）Q 上获得的平均收益．边际收
·P (Q )) '=Q ·P '(Q ) +P (Q ) ． 益为R '=R '(Q ) =(Q
R '(Q 0) 的经济意义为：R '(Q 0) 表示销售量为Q 0个单位时，多销售一个单位产品或少销
售一个单位产品时收益的改变量．
由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L ，则总利润函数为L =L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) （其中Q 为商品量），
那么边际利润函数为L '=L '(Q ) =R '(Q ) -C '(Q ) ．
它的经济意义是：L '(Q 0) 表示销售量为Q 0单位时，再销售一个单位商品时利润的改变
量．