学 术 论 坛
２００９ ＮＯ．２１
科技资讯
罗尔定理的推广及证明
马艳秀
（石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 ０５０２２８）
摘 要：将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论，并利用削弱条件后的结论及反三角函数给出无限区间上罗尔定理的严格证明．关键词：罗尔定理 反正切函数 映射
中图分类号：Ｏ１４１ 文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２
－
３７９１（２００９）０７（ｃ）－０２３８－０１
罗尔定理：若函数满足：（１）在上连续；（２）在内可导；（３），则至少存在一点，使。此定理是在有限区间内给出的，下面我们研究一下如何将它推广到无限区间并给出严格证明。为了
更好地加
以证明首先
来看削弱定理条件后
定理
的正确性，并利用削
弱条件后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理的证明。
则由在又
在
内可导
，
内可导，所以
则
：②
满足
：①在内可导；
，
，而f
(a)
即。满足削弱条
=
即：
，
，满足削
件中
定理的条件，故至少存在一点
使
令
，则：
，
而，
故（
。
使
。
１ 削弱定理的条件
若函数
满足：（１）在
内可导；（２）
，则至少存在一点
，使。
证明：构造函数使
其满
足罗尔定理的条件。即：F（x）
∈C［a,b
］，在内可导，
F（a
）＝F（b）．因此需
要补充的定义
域：→
，故
构造分段函数
：
。
显然：
，而，
故
在a点连续
；同理
，
而
故又由
在因此
，
在b点也连续。在
内可导
知：
内连续可导。
满足：（１）在
上连续
；
，，使，故
即
，。满足削
，
弱
条件
中定理的条件
，故至少存在
一点
使
令而
故使
（２）若
函数导
；②一点
，使
证明：与１同令
，
则：
满足
：１）在
内可
导
；２）
，则
。即至少存在一
点
。证毕。满
足：①在
。
，内
可
，则至少存在。
即至少存在一点
。证毕。
参考文献
［１］陈传璋，等．数学分析［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，１９７９．
［２］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北
京：高等教育出版社，１９８１．
［３］Б．П．吉米多维奇．数学分析习题集题
解［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９９９．
［４］王景克．高等数学解题方法与技巧［Ｍ］．
北京：中国林业出版社，２００１．
［５］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ］．北
京：高等教育出版社，１９９６．
内可
导；（３）（２）在
所以
至少存在一
点
．而在
内
。证毕。
弱
条件
中定理的条件，故
至少存在
一点
使
令
，则
，而
故使（３）若函数且
，使
证明：与１、２同，
令
，
。
即至少存在一点。
证毕。满足：
内可导，
，则至少存在一点
。，。
２ 推广至无限区间
（１）若
函数续；②
在
满
足：①在内可导；③
上连
，
，使。则至少存在
一
点
证明：构造
函
数
，使得
将转
化为有限区间。易想到三角函数中正、
余切函数的一个单调区间是将有限区间或
运
算
。令：
映射到
将
，因此考虑利用其逆
映射到
科技资讯 ＳＣＩＥＮＣ
Ｅ ＆
ＴＥＣＨＮ
ＯＬＯＧＹ
ＩＮ
ＦＯ
ＲＭＡＴＩＯＮ２３７
学 术 论 坛
２００９ ＮＯ．２１
科技资讯
罗尔定理的推广及证明
马艳秀
（石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 ０５０２２８）
摘 要：将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论，并利用削弱条件后的结论及反三角函数给出无限区间上罗尔定理的严格证明．关键词：罗尔定理 反正切函数 映射
中图分类号：Ｏ１４１ 文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２
－
３７９１（２００９）０７（ｃ）－０２３８－０１
罗尔定理：若函数满足：（１）在上连续；（２）在内可导；（３），则至少存在一点，使。此定理是在有限区间内给出的，下面我们研究一下如何将它推广到无限区间并给出严格证明。为了
更好地加
以证明首先
来看削弱定理条件后
定理
的正确性，并利用削
弱条件后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理的证明。
则由在又
在
内可导
，
内可导，所以
则
：②
满足
：①在内可导；
，
，而f
(a)
即。满足削弱条
=
即：
，
，满足削
件中
定理的条件，故至少存在一点
使
令
，则：
，
而，
故（
。
使
。
１ 削弱定理的条件
若函数
满足：（１）在
内可导；（２）
，则至少存在一点
，使。
证明：构造函数使
其满
足罗尔定理的条件。即：F（x）
∈C［a,b
］，在内可导，
F（a
）＝F（b）．因此需
要补充的定义
域：→
，故
构造分段函数
：
。
显然：
，而，
故
在a点连续
；同理
，
而
故又由
在因此
，
在b点也连续。在
内可导
知：
内连续可导。
满足：（１）在
上连续
；
，，使，故
即
，。满足削
，
弱
条件
中定理的条件
，故至少存在
一点
使
令而
故使
（２）若
函数导
；②一点
，使
证明：与１同令
，
则：
满足
：１）在
内可
导
；２）
，则
。即至少存在一
点
。证毕。满
足：①在
。
，内
可
，则至少存在。
即至少存在一点
。证毕。
参考文献
［１］陈传璋，等．数学分析［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，１９７９．
［２］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北
京：高等教育出版社，１９８１．
［３］Б．П．吉米多维奇．数学分析习题集题
解［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９９９．
［４］王景克．高等数学解题方法与技巧［Ｍ］．
北京：中国林业出版社，２００１．
［５］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ］．北
京：高等教育出版社，１９９６．
内可
导；（３）（２）在
所以
至少存在一
点
．而在
内
。证毕。
弱
条件
中定理的条件，故
至少存在
一点
使
令
，则
，而
故使（３）若函数且
，使
证明：与１、２同，
令
，
。
即至少存在一点。
证毕。满足：
内可导，
，则至少存在一点
。，。
２ 推广至无限区间
（１）若
函数续；②
在
满
足：①在内可导；③
上连
，
，使。则至少存在
一
点
证明：构造
函
数
，使得
将转
化为有限区间。易想到三角函数中正、
余切函数的一个单调区间是将有限区间或
运
算
。令：
映射到
将
，因此考虑利用其逆
映射到
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