3. 闭区间上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值.
(2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.
(3)介值定理设函数f (x ) 在闭区[a , b ]上连续,且f (a ) ≠f (b ) ,则对于f (a ) 与f (b ) 之间的任一常数C ,必在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ,使得f (ξ) =C .
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.
(4)零点定理设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ) 与f (b ) 异号,则在开区间(a , b ) 内至少存在函数f (x ) 的一个零点,即至少有一点ξ∈(a , b ) 使f (ξ) =0.
四、典型例题
[例1.1]设函数f (x ) =⎨⎧1,x ≤1,⎪则f [f (x )]=. 0,x >1,⎪⎩
[例1.2]已知f (x ) =sin x , f [ϕ(x )]=1-x 2, 则ϕ(x ) =________,其定义域为.
[例1.3]设函数
(A)偶函数. f (x ) =(lnx )(tanx ) e sin x ,则f (x ) 是( ). (B)无界函数. (C)周期函数. (D)单调函数. 2
[例1.4]设对任意x ∈(-∞, +∞) 有f (x +1) =-f (x ) ,则f (x ) 一定是( ).
(A)奇函数. (B)偶函数. (C)周期函数. (D)单调函数.
[例1.5]设函数f (x ) =
(A)(0,1). x -1tan(x -3) (x -1)(x -2)(x -3) 2 ,则f (x ) 在下列哪个区间内有界( ). (B)(1,2) . (C)(2,3). (D)(3,4) .
[例1.6]设数列x n 与y n ,满足lim x n y n =0,则下列叙述正确的是( ). n →∞
(A)若x n 发散,则y n 必发散. (B)若x n 无界,则y n 必有界. (D)若(C)若x n 有界,则y n 必为无穷小量.
[例1.7]下列极限正确的是( ). 1为无穷小量,则y n 必为无穷小量. x n
(A)lim
sin x =1. x →πx (B)lim x ⋅sin x →∞1=1. x (C)lim 11sin x sin =1. (D)lim =1 x →∞x x →∞x x
[例1.8]设x n ≤a ≤y n ,且lim(y n -x n ) =0,a 为常数,则数列{x n }和{y n }(). n →∞
(A)都收敛于a . (B)都收敛,但不一定收敛于a .
(C)可能收敛,也可能发散. (D)都发散.
[例1.9]设x n ≤a n ≤y n ,且lim(y n -x n ) =0,则lim a n ( ). {x n },{y n }和{a n }均为数列,n →∞n →∞
(A)存在且等于0. (B)存在但不一定等于0.
(C)一定不存在. (D)不一定存在.
[例1.10]lim
[例1.11]lim 12n ⎛⎫++ +⎪=. 22n →∞n 2+n +1n +n +2n +n +n ⎭⎝arctan x -sin x =. x →0x
x [例1.12]
求极限lim x →0[例1.13]求下列极限:lim(11-) . 2x x tan x
[例1.14]下列各式中正确的是(). (1+) =e . (C)lim(1-) =e . (D)lim(1+) (A)lim +(1+) =1. (B)lim +x →0x →0x →∞x →∞1x x 1x x 1
x x 1
x -x =-e
⎛x +2a ⎫[例1.15]设lim ⎪=8,则a =.
x →∞⎝x -a ⎭
[例1.16]求极限lim ⎢x -x ln(1+) ⎥. x →∞x
[例1.17]设x 1=
10,x n +1=
1x ⎡⎣21⎤⎦n =1,2, ) ,试证数列{x n }极限存在,并求此极限.
[例1.18]lim(cosx ) ln(1+x ) =. x →02
10
ln(1+x ) -(ax +bx 2) =2,则( ). [例1.19]设lim x →0x (A)a =1,b =-
[例1.20]设当x →0时,(1-cos x )ln 1+x 2是比x sin x n 高阶的无穷小,而x sin x n 是比55.(B)a =0,b =-2.(C)a =0,b =-. (D)a =1,b =-2. 22()
(e x -1) 高阶的无穷小,则正整数n 等于( ).
(A)1.
(B)2. (C)3. (D)4. 2
[例1.21]当x →0时,求常数c , k 使得
(I)3sin x -
sin3x ~cx k ; ~cx k .
[例1.22]f (x ) 在x 0点连续是f (x ) 在x 0点连续的( ).
(A)充分条件,但不是必要条件. (B)必要条件,但不是充分条件. (C)充分必要条件. (D)既不是充分条件,也不是必要条件.
(e x +e ) tan x [例1.23]函数f (x ) =在[-π, π]上的第一类间断点是x =( ). 1⎛⎫x e x -e ⎪⎝⎭
ππ (A)0. (B)1.(C)-.(D). 22
1+x [例1.24]设函数f (x ) =lim ,讨论函数f (x ) 的间断点,其结论为( ). n →∞1+x 2n
(A)不存在间断点. (B)存在间断点x =1.
(C)存在间断点x =0. (D)存在间断点x =-1.
[例1.25]设
f (x ) =lim (n -1) x ,则f (x ) 的间断点为x =. n →∞nx +1
⎧1-e tan x
, x >0⎪⎪[例1.26]设函数f (x )=⎨arcsin 在x =0处连续,则a =________. 2⎪2x ⎪x ≤0⎩a e ,
⎧⎛1⎫⎪f ⎪, x ≠0,[例1.27]设f (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义,且lim f (x ) =a ,则( ). g (x ) =⎨ ⎝x ⎭x →∞⎪0, x =0⎩
(A)x =0必是g (x ) 的第一类间断点.(B)x =0必是g (x ) 的第二类间断点.
(C)x =0必是g (x ) 的连续点.(D)g (x ) 在点x =0处的连续性与a 的取值有关.
[例1.28]设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,且a
存在ξ∈(a , b ) ,使得f (ξ) =
[例1.29]设f (x ) 是[0,1]上非负连续函数,且f (0)=f (1)=0. 证明:对任意实数r
(0
[例1.30]设f (x ) 在[0,1]上连续,且f (0)=f (1) .
1
2
1(2)证明:存在η∈[0,1],使f (η) =f (η+) (n >2且n 为正整数). n (1)证明:存在ξ∈[0,1],使f (ξ) =f (ξ+) .
五、经典习题
1. 求lim 11⎫⎪-⎪. x →0ln(1+x ) sin x ⎝⎭
1 2⎛【答案】
e tan x -e x
2. 求lim . x →0x -sin x
【答案】2
3. 已知lim x →-∞x 2+x +1-ax -b =0,则a =_____,b =______. )
【答案】-1, -1. 2
x ⎡⎤x 2
4. 极限lim ⎢⎥= ( ) x →∞x -a x +b ⎣⎦
12
[例3.12]设f (x ) =⎨⎧x +1, x
[例3.13]计算⎰
[例3.14]计算
[例3.15]计算ln x (1-x ) dx . dx ⎰a 2sin 2x +b 2cos 2x (a , b 是不全为0的非负常数). arctan x ⎰x 2(1+x 2) .
[例3.16]设f (lnx ) =
[例3.17]计算
πln(1+x ) ,计算⎰f (x ) dx . x ⎰10x (1-x 4) dx . 32
[例3.18]计算
[例3.19]计算
[例3.20]求
⎰⎰2-π2(x 3+sin 2x )cos 2xdx . +∞xe -x 0(1+e )-x 2dx . ⎰+∞1dx . e x +1+e 3-x
[例3.21]已知曲线C 的方程为y =f (x ) ,点(3,2) 是它的一个拐点,直线l 1与l 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2) 处的切线,其交点为(2,4) . 设函数f (x ) 具有三阶连续导数,计算定积分⎰3
0(x 2+x ) f '''(x ) dx .
[例3.22]设函数f (x ) 可导,F (x ) =⎰x
0t n -1f (x n -t n ) dt ,f (0)=0, f '(0)=1, 其中n 为正整数,求lim x →0F (x ) . 2n x
[例3.23]设函数f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上连续,且g (x ) >0,利用闭区间上连续函数的性质,证明至少存在一点ξ∈[a , b ],使⎰f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx . a a b b
[例3.24]设f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上连续,且满足⎰x
a f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt , x ∈[a , b ] a x
⎰b
a f (x ) dx =⎰g (x ) dx . 证明:⎰xf (x ) d ≤⎰xg (x ) dx a a a b b b
[例3.25]设f (x ) 是连续函数,证明
并计算
[例3.26]设函数f (x ) 在闭区间[0,a ]上非负,且f (0)=0, f ''(x ) >0,证明: ⎰2a 0f (x ) dx =⎰[f (x ) +f (2a -x )]dx , 0a ⎰0πx sin x . 21+cos x
⎰
a 02a a xf (x ) dx >f (x ) dx . 3⎰0
x [例3.27]由曲线y =xe 与直线y =ex 所围成的图形的面积S =.
[例3.28]由曲线y =x +
1, x =2及y =2所围图形的面积S =. x
[例3.29]位于曲线y =xe -x (0≤x
[例3.30]求曲线r =1, r =2cos θ所围成的公共部分的面积.
[例3.31](抽水问题) 一容器由xoy 面上曲线y =x 2绕y 轴旋转而成,其容积为72πm 3,其中盛满水,水的比重为μ,现将水从容器中抽出64πm 3,问需作多少功.
[例3.32]设曲线y =e ,
(1)求曲线过原点的切线方程,切点记作P ;
(2)求由曲线、切线及x =0或y =0所围平面图形的面积;
(3)求(2)中图形绕x 轴旋转所得旋转体体积;
(4)求曲线上点A (0,1)到点P 的弧长. 注:(4)只对数学一、二要求.
[例3.33](数一、二) 曲线y =x x -1与直线x =t (t >1) 及y =0围成一曲边梯形,该曲边梯形绕X 轴旋转一周得一旋转体,其体积为V (t ),侧面积为S (t ) ,在x =t 处的底面积为F (t ) .
(1)求
V (t )S (t ) 当t =2时的值;(2)计算极限lim 2. t →+∞V (t ) F t 五、经典习题
x -x 1. 已知f 'e =xe ,且f (1)=0,则f (x )=________. ()
【答案】12(ln x ). 2
arctan e x
. 2. 求⎰2x e
【答案】-1-2x e arctan e x +e -x +arctan e x )+C . (2
3.
求
3.
3. 闭区间上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值.
(2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.
(3)介值定理设函数f (x ) 在闭区[a , b ]上连续,且f (a ) ≠f (b ) ,则对于f (a ) 与f (b ) 之间的任一常数C ,必在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ,使得f (ξ) =C .
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.
(4)零点定理设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ) 与f (b ) 异号,则在开区间(a , b ) 内至少存在函数f (x ) 的一个零点,即至少有一点ξ∈(a , b ) 使f (ξ) =0.
四、典型例题
[例1.1]设函数f (x ) =⎨⎧1,x ≤1,⎪则f [f (x )]=. 0,x >1,⎪⎩
[例1.2]已知f (x ) =sin x , f [ϕ(x )]=1-x 2, 则ϕ(x ) =________,其定义域为.
[例1.3]设函数
(A)偶函数. f (x ) =(lnx )(tanx ) e sin x ,则f (x ) 是( ). (B)无界函数. (C)周期函数. (D)单调函数. 2
[例1.4]设对任意x ∈(-∞, +∞) 有f (x +1) =-f (x ) ,则f (x ) 一定是( ).
(A)奇函数. (B)偶函数. (C)周期函数. (D)单调函数.
[例1.5]设函数f (x ) =
(A)(0,1). x -1tan(x -3) (x -1)(x -2)(x -3) 2 ,则f (x ) 在下列哪个区间内有界( ). (B)(1,2) . (C)(2,3). (D)(3,4) .
[例1.6]设数列x n 与y n ,满足lim x n y n =0,则下列叙述正确的是( ). n →∞
(A)若x n 发散,则y n 必发散. (B)若x n 无界,则y n 必有界. (D)若(C)若x n 有界,则y n 必为无穷小量.
[例1.7]下列极限正确的是( ). 1为无穷小量,则y n 必为无穷小量. x n
(A)lim
sin x =1. x →πx (B)lim x ⋅sin x →∞1=1. x (C)lim 11sin x sin =1. (D)lim =1 x →∞x x →∞x x
[例1.8]设x n ≤a ≤y n ,且lim(y n -x n ) =0,a 为常数,则数列{x n }和{y n }(). n →∞
(A)都收敛于a . (B)都收敛,但不一定收敛于a .
(C)可能收敛,也可能发散. (D)都发散.
[例1.9]设x n ≤a n ≤y n ,且lim(y n -x n ) =0,则lim a n ( ). {x n },{y n }和{a n }均为数列,n →∞n →∞
(A)存在且等于0. (B)存在但不一定等于0.
(C)一定不存在. (D)不一定存在.
[例1.10]lim
[例1.11]lim 12n ⎛⎫++ +⎪=. 22n →∞n 2+n +1n +n +2n +n +n ⎭⎝arctan x -sin x =. x →0x
x [例1.12]
求极限lim x →0[例1.13]求下列极限:lim(11-) . 2x x tan x
[例1.14]下列各式中正确的是(). (1+) =e . (C)lim(1-) =e . (D)lim(1+) (A)lim +(1+) =1. (B)lim +x →0x →0x →∞x →∞1x x 1x x 1
x x 1
x -x =-e
⎛x +2a ⎫[例1.15]设lim ⎪=8,则a =.
x →∞⎝x -a ⎭
[例1.16]求极限lim ⎢x -x ln(1+) ⎥. x →∞x
[例1.17]设x 1=
10,x n +1=
1x ⎡⎣21⎤⎦n =1,2, ) ,试证数列{x n }极限存在,并求此极限.
[例1.18]lim(cosx ) ln(1+x ) =. x →02
10
ln(1+x ) -(ax +bx 2) =2,则( ). [例1.19]设lim x →0x (A)a =1,b =-
[例1.20]设当x →0时,(1-cos x )ln 1+x 2是比x sin x n 高阶的无穷小,而x sin x n 是比55.(B)a =0,b =-2.(C)a =0,b =-. (D)a =1,b =-2. 22()
(e x -1) 高阶的无穷小,则正整数n 等于( ).
(A)1.
(B)2. (C)3. (D)4. 2
[例1.21]当x →0时,求常数c , k 使得
(I)3sin x -
sin3x ~cx k ; ~cx k .
[例1.22]f (x ) 在x 0点连续是f (x ) 在x 0点连续的( ).
(A)充分条件,但不是必要条件. (B)必要条件,但不是充分条件. (C)充分必要条件. (D)既不是充分条件,也不是必要条件.
(e x +e ) tan x [例1.23]函数f (x ) =在[-π, π]上的第一类间断点是x =( ). 1⎛⎫x e x -e ⎪⎝⎭
ππ (A)0. (B)1.(C)-.(D). 22
1+x [例1.24]设函数f (x ) =lim ,讨论函数f (x ) 的间断点,其结论为( ). n →∞1+x 2n
(A)不存在间断点. (B)存在间断点x =1.
(C)存在间断点x =0. (D)存在间断点x =-1.
[例1.25]设
f (x ) =lim (n -1) x ,则f (x ) 的间断点为x =. n →∞nx +1
⎧1-e tan x
, x >0⎪⎪[例1.26]设函数f (x )=⎨arcsin 在x =0处连续,则a =________. 2⎪2x ⎪x ≤0⎩a e ,
⎧⎛1⎫⎪f ⎪, x ≠0,[例1.27]设f (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义,且lim f (x ) =a ,则( ). g (x ) =⎨ ⎝x ⎭x →∞⎪0, x =0⎩
(A)x =0必是g (x ) 的第一类间断点.(B)x =0必是g (x ) 的第二类间断点.
(C)x =0必是g (x ) 的连续点.(D)g (x ) 在点x =0处的连续性与a 的取值有关.
[例1.28]设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,且a
存在ξ∈(a , b ) ,使得f (ξ) =
[例1.29]设f (x ) 是[0,1]上非负连续函数,且f (0)=f (1)=0. 证明:对任意实数r
(0
[例1.30]设f (x ) 在[0,1]上连续,且f (0)=f (1) .
1
2
1(2)证明:存在η∈[0,1],使f (η) =f (η+) (n >2且n 为正整数). n (1)证明:存在ξ∈[0,1],使f (ξ) =f (ξ+) .
五、经典习题
1. 求lim 11⎫⎪-⎪. x →0ln(1+x ) sin x ⎝⎭
1 2⎛【答案】
e tan x -e x
2. 求lim . x →0x -sin x
【答案】2
3. 已知lim x →-∞x 2+x +1-ax -b =0,则a =_____,b =______. )
【答案】-1, -1. 2
x ⎡⎤x 2
4. 极限lim ⎢⎥= ( ) x →∞x -a x +b ⎣⎦
12
[例3.12]设f (x ) =⎨⎧x +1, x
[例3.13]计算⎰
[例3.14]计算
[例3.15]计算ln x (1-x ) dx . dx ⎰a 2sin 2x +b 2cos 2x (a , b 是不全为0的非负常数). arctan x ⎰x 2(1+x 2) .
[例3.16]设f (lnx ) =
[例3.17]计算
πln(1+x ) ,计算⎰f (x ) dx . x ⎰10x (1-x 4) dx . 32
[例3.18]计算
[例3.19]计算
[例3.20]求
⎰⎰2-π2(x 3+sin 2x )cos 2xdx . +∞xe -x 0(1+e )-x 2dx . ⎰+∞1dx . e x +1+e 3-x
[例3.21]已知曲线C 的方程为y =f (x ) ,点(3,2) 是它的一个拐点,直线l 1与l 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2) 处的切线,其交点为(2,4) . 设函数f (x ) 具有三阶连续导数,计算定积分⎰3
0(x 2+x ) f '''(x ) dx .
[例3.22]设函数f (x ) 可导,F (x ) =⎰x
0t n -1f (x n -t n ) dt ,f (0)=0, f '(0)=1, 其中n 为正整数,求lim x →0F (x ) . 2n x
[例3.23]设函数f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上连续,且g (x ) >0,利用闭区间上连续函数的性质,证明至少存在一点ξ∈[a , b ],使⎰f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx . a a b b
[例3.24]设f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上连续,且满足⎰x
a f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt , x ∈[a , b ] a x
⎰b
a f (x ) dx =⎰g (x ) dx . 证明:⎰xf (x ) d ≤⎰xg (x ) dx a a a b b b
[例3.25]设f (x ) 是连续函数,证明
并计算
[例3.26]设函数f (x ) 在闭区间[0,a ]上非负,且f (0)=0, f ''(x ) >0,证明: ⎰2a 0f (x ) dx =⎰[f (x ) +f (2a -x )]dx , 0a ⎰0πx sin x . 21+cos x
⎰
a 02a a xf (x ) dx >f (x ) dx . 3⎰0
x [例3.27]由曲线y =xe 与直线y =ex 所围成的图形的面积S =.
[例3.28]由曲线y =x +
1, x =2及y =2所围图形的面积S =. x
[例3.29]位于曲线y =xe -x (0≤x
[例3.30]求曲线r =1, r =2cos θ所围成的公共部分的面积.
[例3.31](抽水问题) 一容器由xoy 面上曲线y =x 2绕y 轴旋转而成,其容积为72πm 3,其中盛满水,水的比重为μ,现将水从容器中抽出64πm 3,问需作多少功.
[例3.32]设曲线y =e ,
(1)求曲线过原点的切线方程,切点记作P ;
(2)求由曲线、切线及x =0或y =0所围平面图形的面积;
(3)求(2)中图形绕x 轴旋转所得旋转体体积;
(4)求曲线上点A (0,1)到点P 的弧长. 注:(4)只对数学一、二要求.
[例3.33](数一、二) 曲线y =x x -1与直线x =t (t >1) 及y =0围成一曲边梯形,该曲边梯形绕X 轴旋转一周得一旋转体,其体积为V (t ),侧面积为S (t ) ,在x =t 处的底面积为F (t ) .
(1)求
V (t )S (t ) 当t =2时的值;(2)计算极限lim 2. t →+∞V (t ) F t 五、经典习题
x -x 1. 已知f 'e =xe ,且f (1)=0,则f (x )=________. ()
【答案】12(ln x ). 2
arctan e x
. 2. 求⎰2x e
【答案】-1-2x e arctan e x +e -x +arctan e x )+C . (2
3.
求
3.