2017基础教程高数上

3. 闭区间上连续函数的性质

(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值.

(2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.

(3)介值定理设函数f (x ) 在闭区[a , b ]上连续，且f (a ) ≠f (b ) ，则对于f (a ) 与f (b ) 之间的任一常数C ，必在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f (ξ) =C .

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.

(4)零点定理设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) 与f (b ) 异号，则在开区间(a , b ) 内至少存在函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ∈(a , b ) 使f (ξ) =0.

四、典型例题

[例1.1]设函数f (x ) =⎨⎧1，x ≤1，⎪则f [f (x )]=. 0，x >1，⎪⎩

[例1.2]已知f (x ) =sin x , f [ϕ(x )]=1-x 2, 则ϕ(x ) =________，其定义域为.

[例1.3]设函数

(A)偶函数. f (x ) =(lnx )(tanx ) e sin x ，则f (x ) 是( ). (B)无界函数. (C)周期函数. (D)单调函数. 2

[例1.4]设对任意x ∈(-∞, +∞) 有f (x +1) =-f (x ) ，则f (x ) 一定是( ).

(A)奇函数. (B)偶函数. (C)周期函数. (D)单调函数.

[例1.5]设函数f (x ) =

(A)(0,1). x -1tan(x -3) (x -1)(x -2)(x -3) 2 ，则f (x ) 在下列哪个区间内有界( ). (B)(1,2) . (C)(2,3). (D)(3,4) .

[例1.6]设数列x n 与y n ，满足lim x n y n =0，则下列叙述正确的是( ). n →∞

(A)若x n 发散，则y n 必发散. (B)若x n 无界，则y n 必有界. (D)若(C)若x n 有界，则y n 必为无穷小量.

[例1.7]下列极限正确的是( ). 1为无穷小量，则y n 必为无穷小量. x n

(A)lim

sin x =1. x →πx (B)lim x ⋅sin x →∞1=1. x (C)lim 11sin x sin =1. (D)lim =1 x →∞x x →∞x x

[例1.8]设x n ≤a ≤y n ，且lim(y n -x n ) =0，a 为常数，则数列{x n }和{y n }(). n →∞

(A)都收敛于a . (B)都收敛，但不一定收敛于a .

(C)可能收敛，也可能发散. (D)都发散.

[例1.9]设x n ≤a n ≤y n ，且lim(y n -x n ) =0，则lim a n ( ). {x n }，{y n }和{a n }均为数列，n →∞n →∞

(A)存在且等于0. (B)存在但不一定等于0.

(C)一定不存在. (D)不一定存在.

[例1.10]lim

[例1.11]lim 12n ⎛⎫++ +⎪=. 22n →∞n 2+n +1n +n +2n +n +n ⎭⎝arctan x -sin x =. x →0x

x [例1.12]

求极限lim x →0[例1.13]求下列极限：lim(11-) . 2x x tan x

[例1.14]下列各式中正确的是(). (1+) =e . (C)lim(1-) =e . (D)lim(1+) (A)lim +(1+) =1. (B)lim +x →0x →0x →∞x →∞1x x 1x x 1

x x 1

x -x =-e

⎛x +2a ⎫[例1.15]设lim ⎪=8，则a =.

x →∞⎝x -a ⎭

[例1.16]求极限lim ⎢x -x ln(1+) ⎥. x →∞x

[例1.17]设x 1=

10，x n +1=

1x ⎡⎣21⎤⎦n =1,2, ) ，试证数列{x n }极限存在，并求此极限.

[例1.18]lim(cosx ) ln(1+x ) =. x →02

ln(1+x ) -(ax +bx 2) =2，则( ). [例1.19]设lim x →0x (A)a =1，b =-

[例1.20]设当x →0时，(1-cos x )ln 1+x 2是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比55.(B)a =0，b =-2.(C)a =0，b =-. (D)a =1，b =-2. 22()

(e x -1) 高阶的无穷小，则正整数n 等于( ).

(A)1.

(B)2. (C)3. (D)4. 2

[例1.21]当x →0时，求常数c , k 使得

(I)3sin x -

sin3x ~cx k ; ~cx k .

[例1.22]f (x ) 在x 0点连续是f (x ) 在x 0点连续的( ).

(A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件. (C)充分必要条件. (D)既不是充分条件，也不是必要条件.

(e x +e ) tan x [例1.23]函数f (x ) =在[-π, π]上的第一类间断点是x =( ). 1⎛⎫x e x -e ⎪⎝⎭

ππ (A)0. (B)1.(C)-.(D). 22

1+x [例1.24]设函数f (x ) =lim ，讨论函数f (x ) 的间断点，其结论为( ). n →∞1+x 2n

(A)不存在间断点. (B)存在间断点x =1.

(C)存在间断点x =0. (D)存在间断点x =-1.

[例1.25]设

f (x ) =lim (n -1) x ，则f (x ) 的间断点为x =. n →∞nx +1

⎧1-e tan x

, x >0⎪⎪[例1.26]设函数f (x )=⎨arcsin 在x =0处连续，则a =________. 2⎪2x ⎪x ≤0⎩a e ,

⎧⎛1⎫⎪f ⎪, x ≠0，[例1.27]设f (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义，且lim f (x ) =a ，则( ). g (x ) =⎨ ⎝x ⎭x →∞⎪0, x =0⎩

(A)x =0必是g (x ) 的第一类间断点.(B)x =0必是g (x ) 的第二类间断点.

(C)x =0必是g (x ) 的连续点.(D)g (x ) 在点x =0处的连续性与a 的取值有关.

[例1.28]设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且a

存在ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =

[例1.29]设f (x ) 是[0,1]上非负连续函数，且f (0)=f (1)=0. 证明：对任意实数r

[例1.30]设f (x ) 在[0,1]上连续，且f (0)=f (1) .

1(2)证明：存在η∈[0,1],使f (η) =f (η+) (n >2且n 为正整数). n (1)证明：存在ξ∈[0,1],使f (ξ) =f (ξ+) .

五、经典习题

1. 求lim 11⎫⎪-⎪. x →0ln(1+x ) sin x ⎝⎭

1 2⎛【答案】

e tan x -e x

2. 求lim . x →0x -sin x

【答案】2

3. 已知lim x →-∞x 2+x +1-ax -b =0，则a =_____,b =______. )

【答案】-1, -1. 2

x ⎡⎤x 2

4. 极限lim ⎢⎥= ( ) x →∞x -a x +b ⎣⎦

[例3.12]设f (x ) =⎨⎧x +1, x

[例3.13]计算⎰

[例3.14]计算

[例3.15]计算ln x (1-x ) dx . dx ⎰a 2sin 2x +b 2cos 2x (a , b 是不全为0的非负常数). arctan x ⎰x 2(1+x 2) .

[例3.16]设f (lnx ) =

[例3.17]计算

πln(1+x ) ，计算⎰f (x ) dx . x ⎰10x (1-x 4) dx . 32

[例3.18]计算

[例3.19]计算

[例3.20]求

⎰⎰2-π2(x 3+sin 2x )cos 2xdx . +∞xe -x 0(1+e )-x 2dx . ⎰+∞1dx . e x +1+e 3-x

[例3.21]已知曲线C 的方程为y =f (x ) ，点(3,2) 是它的一个拐点，直线l 1与l 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2) 处的切线，其交点为(2,4) . 设函数f (x ) 具有三阶连续导数，计算定积分⎰3

0(x 2+x ) f '''(x ) dx .

[例3.22]设函数f (x ) 可导，F (x ) =⎰x

0t n -1f (x n -t n ) dt ，f (0)=0, f '(0)=1, 其中n 为正整数，求lim x →0F (x ) . 2n x

[例3.23]设函数f (x ) ，g (x ) 在[a , b ]上连续，且g (x ) >0，利用闭区间上连续函数的性质，证明至少存在一点ξ∈[a , b ]，使⎰f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx . a a b b

[例3.24]设f (x ) ，g (x ) 在[a , b ]上连续，且满足⎰x

a f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt , x ∈[a , b ] a x

⎰b

a f (x ) dx =⎰g (x ) dx . 证明：⎰xf (x ) d ≤⎰xg (x ) dx a a a b b b

[例3.25]设f (x ) 是连续函数，证明

并计算

[例3.26]设函数f (x ) 在闭区间[0,a ]上非负，且f (0)=0, f ''(x ) >0，证明： ⎰2a 0f (x ) dx =⎰[f (x ) +f (2a -x )]dx , 0a ⎰0πx sin x . 21+cos x

⎰

a 02a a xf (x ) dx >f (x ) dx . 3⎰0

x [例3.27]由曲线y =xe 与直线y =ex 所围成的图形的面积S =.

[例3.28]由曲线y =x +

1, x =2及y =2所围图形的面积S ＝. x

[例3.29]位于曲线y =xe -x (0≤x

[例3.30]求曲线r =1, r =2cos θ所围成的公共部分的面积.

[例3.31](抽水问题) 一容器由xoy 面上曲线y =x 2绕y 轴旋转而成，其容积为72πm 3，其中盛满水，水的比重为μ，现将水从容器中抽出64πm 3，问需作多少功.

[例3.32]设曲线y =e ,

(1)求曲线过原点的切线方程，切点记作P ;

(2)求由曲线、切线及x =0或y =0所围平面图形的面积;

(3)求(2)中图形绕x 轴旋转所得旋转体体积;

(4)求曲线上点A (0,1)到点P 的弧长. 注：(4)只对数学一、二要求.

[例3.33](数一、二) 曲线y =x x -1与直线x =t (t ＞1) 及y =0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕X 轴旋转一周得一旋转体，其体积为V (t )，侧面积为S (t ) ，在x =t 处的底面积为F (t ) .

(1)求

V (t )S (t ) 当t =2时的值;(2)计算极限lim 2. t →+∞V (t ) F t 五、经典习题

x -x 1. 已知f 'e =xe ，且f (1)=0，则f (x )=________. ()

【答案】12(ln x ). 2

arctan e x

. 2. 求⎰2x e

【答案】-1-2x e arctan e x +e -x +arctan e x )+C . (2

求