几何证明--线段和差模型(中级)

几何证明——线段和差模型(中级)

【知识要点】

在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（abc），或者两条线段之差等于一条线段（abc）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。

截长法：如果要证明线段等式abc，可以在长的一条线段a上截取一条线段等于b（或者c），然后只需证明线段a上去掉b（或者c）之后剩下的线段等于c（或者b）就行了。

补短法：如果要证明线段等式abc，可以先将短的两条线段b和c拼接在一起形成一条长线段d，然后只需要证明ad就行了。

截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。

【经典例题】



例1、（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF45。求证：EFDEBF。

F



（2）正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF45。请问现在

EF、DE、BF又有什么数量关系？

E



（3）正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF45。请问现在

EF、DE、BF又有什么数量关系？

例2、正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF60。DBDC，BDC120。 请问EF、BE、CF有什么数量关系？





B

例3、已知：AC平分BAD，CEAB，BD180，求证：AEADBE。

C

例4、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC.求证：

A

AC

ADEO. 2

D

例5、已知，如图，在ABC中，ABAC，BADCAD，P为AD上任一点.

求证：ABACPBPC。

B

【提升训练】

1、如图，已知ABC中，边BC上的高为CD，B2C，求证：CDABBD。

C

2、已知：AD平分BAC，ACABBD，求证：B2C。

B

3、已知ABC3ACB，BAECAE，BEAE，求证：ACAB2BE。

B

C

4、如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数。

5、如图，四边形ABCD中，AB//DC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：

BCABDC。

C

6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的

MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。

B



7、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，C90，E为CD的中点，EF//AB交BC于点F。

C

，BC7，且BE平分ABC时，求EF的长。

（1）求证：BFADCF；（2）当AD1

D

D

EE

B

8、已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、

BC 的数量关系，并加以证明。

C

B

C

B

9、己知，ABC中，ABAC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足

分别为E、F.（1）求证： PEPFCD；（2）若P在BC延长线上，求证：PEPFCD。

B

P

10、（1）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。AEF90， 且EF交正方形外角

DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

（2）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上（除B，C外）的任意一点。AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

（3）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点。AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

11、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，



BDC120，BDCD。探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之

间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系。

AA

D

C

D

C

DC

图1 图2 图3

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是

_______ ； 此时

Q

 ； L

（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出

你的猜想并加以证明；

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若ANx，则Q （用x、L

表示）。

几何证明——线段和差模型(中级)

【知识要点】

在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（abc），或者两条线段之差等于一条线段（abc）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。

截长法：如果要证明线段等式abc，可以在长的一条线段a上截取一条线段等于b（或者c），然后只需证明线段a上去掉b（或者c）之后剩下的线段等于c（或者b）就行了。

补短法：如果要证明线段等式abc，可以先将短的两条线段b和c拼接在一起形成一条长线段d，然后只需要证明ad就行了。

截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。

【经典例题】



例1、（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF45。求证：EFDEBF。

F



（2）正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF45。请问现在

EF、DE、BF又有什么数量关系？

E



（3）正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF45。请问现在

EF、DE、BF又有什么数量关系？

例2、正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF60。DBDC，BDC120。 请问EF、BE、CF有什么数量关系？





B

例3、已知：AC平分BAD，CEAB，BD180，求证：AEADBE。

C

例4、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC.求证：

A

AC

ADEO. 2

D

例5、已知，如图，在ABC中，ABAC，BADCAD，P为AD上任一点.

求证：ABACPBPC。

B

【提升训练】

1、如图，已知ABC中，边BC上的高为CD，B2C，求证：CDABBD。

C

2、已知：AD平分BAC，ACABBD，求证：B2C。

B

3、已知ABC3ACB，BAECAE，BEAE，求证：ACAB2BE。

B

C

4、如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数。

5、如图，四边形ABCD中，AB//DC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：

BCABDC。

C

6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的

MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。

B



7、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，C90，E为CD的中点，EF//AB交BC于点F。

C

，BC7，且BE平分ABC时，求EF的长。

（1）求证：BFADCF；（2）当AD1

D

D

EE

B

8、已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、

BC 的数量关系，并加以证明。

C

B

C

B

9、己知，ABC中，ABAC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足

分别为E、F.（1）求证： PEPFCD；（2）若P在BC延长线上，求证：PEPFCD。

B

P

10、（1）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。AEF90， 且EF交正方形外角

DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

（2）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上（除B，C外）的任意一点。AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

（3）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点。AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。

11、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，



BDC120，BDCD。探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之

间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系。

AA

D

C

D

C

DC

图1 图2 图3

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是

_______ ； 此时

Q

 ； L

（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出

你的猜想并加以证明；

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若ANx，则Q （用x、L

表示）。