抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法
1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”
的方法，如将x 换成-x 或将x 换成等。
x 1
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1. 已知f (x )满足2f (3x )+3f ⎛
u 3
1⎫
⎪=6x ，求f 3x ⎝⎭
(x )的解析式。
解：先令u =3x ，解出x =，
1⎫
于是有：2f (u )+3f ⎛ ⎪=2u -----------①
⎝u ⎭
再以代替u 得：
u
1
2⎛1⎫
2f ⎪+3f (u )=
u ⎝u ⎭
------------②
⎛1⎫
f ⎪⎝u ⎭
联立①、②式解方程组，并消去
f (u )=
65u
-4u 5
，解得
即所求解析式为：f (x )=
65x
-
4x 5
例2. 若对一切自然数a 、b 都有f (a +b )=f (a )+f (b )+ab
且f (1)=1，求f (x )的解析式。 解：利用特殊值法 令a =1，等式变为：
f (1+b )=f (1)+f (b )+b =1+f (b )+b
，
即：f (b +1)-f (b )=b +1，
注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，
令
b =1， b =2
有f (2)-f (1)=1+1
，有f (3)-f (2)=2+1
b =n -1，有f (n )-f (n -1)=(n -1)+1
将以上n -1条等式左右两边分别相加，得：
f (n )-f (1)=1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
即：f (n )=1+1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
=1+2+
3+ +n =
n (n -1)2
即所求解析式为：f (x )=
二． 函数性质法
x (x -1)2
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化。
f x
例3：已知函数y =()是定义在R 上的减函数，求证：
+
x
当x 、x
1
2
∈R +时一定有f
(x 1)+f (x 2)>f (x 1+x 2)
证明：由题意x 、x
1
2
∈R +，有x 1
+
f x
又函数y =()是定义在R 上的减函数，因此有
x f
(x 1)
x 1
>
f
((
x 1+x 2)x 1+x 2)
x 1+x 2f x 1+x 2
x 1f x 2f
f
(x 2)
x 2
>
即：
(x 1+x 2)f (x 1)>(x 1+x 2)f (x 2)>
1
(x 1+x 2)(x 1+x 2)
f
两式相加得(x 因为 (x 所以
1
+x 2)⎡⎣f (x 1)+f (x 2)⎤⎦>
(x 1+x 2)(x 1+x 2)
+x 2)>0 +(f 2)x (x 1)
>
f
(
f
1
+x
x )2
1
2
例4：设函数y =f (x )(x ≠0)对于任何非零实数x 、x 满足
f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2)，且f (x )在(0, +∞)上是增函数，
1⎤
当x ∈⎡时，不等式f (ax +1)+f (x -1)≤0恒成立，⎢,1⎥
⎣2
⎦
求实数a 的取值范围 解：由
f (1)=f (1⨯)1=(f
f (1)=0
f (1)=f ⎡)⨯(-)1⎤⎣(-1⎦
)1
+(f ) 1
得 又 所以 因为
f (-1)=0
f (-x )=f ⎡⎣(-1)⋅x ⎤⎦=f (-1)+f
(x )=
f
(x )
所以y =f (x )为偶函数
又因为y =f (x )在(0, +∞)上是增函数， 所以y =f (x )在(-∞, 0)上为减函数 当x >0时，f (x )≤0⇔f (x )≤f (1)⇔
0
当x
⎣2
⎦
1⎤
故当x ∈⎡时，不等式f (ax +1)+f (x -1)≤0恒成立 ⎢,1⎥
⎧f ⎡(a x +1)(⎣
⎪⇔⎨1
⎪≤x ≤1⎩2
x -1)⎤⎦
≤0
⎧
⎪-1≤(ax +1)(x -1)≤1⎪
⇔⎨(ax +1)(x -1)≠0 ⎪1
⎪≤x ≤1⎩2
1⎧2-x
≤a ≤⎪x 2-x 1-x
⎪
1⎪
⇔⎨a ≠-
x ⎪
⎪1
⎪≤x ≤1⎩2
设M 设M
1
=
11-x
1⎤
，当x ∈⎡时，M
⎢,1⎥
⎣2
⎦
1
≥2
2
=
2-x x -x
2
1⎤
，当x ∈⎡时，利用基本不等式可得⎢,1⎥
⎣2
⎦
M 2≤-3+(
⎦
3
设M
3
=-
1x
1⎤，当x ∈⎡时，-2≤M
⎢,1⎥
⎣2
≤-1
综上所述，实数a 的取值范围是：
-3+≤a ≤2，且a ∉[-2, -1]
(
三、 数学归纳法
一般地，若抽象函数中条件与自然数有关时可考虑取前几个自然数，如n =1、2、3 分别代人已知条件中试验，探求思路，总结规律，做出正确的猜想，然后利用数学归纳法证明其正确性。 例5：设
⎧⎪3, (n =1)
f (n )=2n +1，g (n )=⎨(n ∈N
f ⎡g n -1)⎤⎪⎦, (n ≥2)⎩⎣(
)
求g (n )的解析式
⎧⎪3, (n =1)
解：由g (n )=⎨(n ∈N
f g n -1, n ≥2⎡⎤)⎦()⎪⎣(⎩
)得
g (1)=3 g (2)= g (3)= g (4)=
f ⎡(1)⎤⎣g ⎦=f ⎡(2)⎤⎣g ⎦=f ⎡(3)⎤⎣g ⎦=
(f )3
=2⨯3+1 =7
7(f )
15=2⨯7+1=
=
2⨯15+
(f 1)5
1=
31
分析3、7、15、31这几个数，不难发现它们分别比2的
2、3、4、5次幂少1，即是：g (1)=2
g (3)=2-1，g (4)=2-1
4
5
2
-1，g (2)=2-1，
3
于是猜想：g (n )=2
n +1
-1 (n ∈N )
下面利用数学归纳法来证明： ①当n =1时，g (1)=2
1+1
-1=3成立
k +1
②假设n =k 时，有g (k )=2-1成立
f ⎡⎣g (k )⎤⎦
那么，当n =k +1时，g (k +1)=
-1)
=f (2
k +1
=2⨯(2
k +1
-1)+1
=2
所以，当n =k +1时等式也成立
k +2
-1
由①、②知对一切自然数n ，有g (n )=2得证。
即：所求解析式为g (n )=2四、 利用模型法
n +1
n +1
-1成立，命题
-1 (n ∈N )
用抽象函数的具体初等函数模型解选择题、填空题或由具体模型对综合题的解答提供思路和方法。以下是几类常用的抽象函数的模型。 1.
f (x )+f
(y )=f (xy )或f (x )-f (y )=
y =l o a g x （a
⎛x ⎫
f ⎪⎝y ⎭
，具体模型
有 2. 3. 4.
>0,且a ≠1）
=a （a
x
f (x +y )=f (x )f f (x )+f
具体模型有y (y )，>0,且a ≠1）
≠0)
(y )=f (x +y )，具体模型有y =kx (k
f
(x )+f (y )=2f
⎛x +y ⎫⎛x -y ⎫
具体模型有y =cos x ⋅f ⎪ ⎪，22⎝⎭⎝⎭
总之，抽象函数问题求解，用常规方法很难奏效如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍的功效。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法
1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”
的方法，如将x 换成-x 或将x 换成等。
x 1
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1. 已知f (x )满足2f (3x )+3f ⎛
u 3
1⎫
⎪=6x ，求f 3x ⎝⎭
(x )的解析式。
解：先令u =3x ，解出x =，
1⎫
于是有：2f (u )+3f ⎛ ⎪=2u -----------①
⎝u ⎭
再以代替u 得：
u
1
2⎛1⎫
2f ⎪+3f (u )=
u ⎝u ⎭
------------②
⎛1⎫
f ⎪⎝u ⎭
联立①、②式解方程组，并消去
f (u )=
65u
-4u 5
，解得
即所求解析式为：f (x )=
65x
-
4x 5
例2. 若对一切自然数a 、b 都有f (a +b )=f (a )+f (b )+ab
且f (1)=1，求f (x )的解析式。 解：利用特殊值法 令a =1，等式变为：
f (1+b )=f (1)+f (b )+b =1+f (b )+b
，
即：f (b +1)-f (b )=b +1，
注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，
令
b =1， b =2
有f (2)-f (1)=1+1
，有f (3)-f (2)=2+1
b =n -1，有f (n )-f (n -1)=(n -1)+1
将以上n -1条等式左右两边分别相加，得：
f (n )-f (1)=1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
即：f (n )=1+1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
=1+2+
3+ +n =
n (n -1)2
即所求解析式为：f (x )=
二． 函数性质法
x (x -1)2
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化。
f x
例3：已知函数y =()是定义在R 上的减函数，求证：
+
x
当x 、x
1
2
∈R +时一定有f
(x 1)+f (x 2)>f (x 1+x 2)
证明：由题意x 、x
1
2
∈R +，有x 1
+
f x
又函数y =()是定义在R 上的减函数，因此有
x f
(x 1)
x 1
>
f
((
x 1+x 2)x 1+x 2)
x 1+x 2f x 1+x 2
x 1f x 2f
f
(x 2)
x 2
>
即：
(x 1+x 2)f (x 1)>(x 1+x 2)f (x 2)>
1
(x 1+x 2)(x 1+x 2)
f
两式相加得(x 因为 (x 所以
1
+x 2)⎡⎣f (x 1)+f (x 2)⎤⎦>
(x 1+x 2)(x 1+x 2)
+x 2)>0 +(f 2)x (x 1)
>
f
(
f
1
+x
x )2
1
2
例4：设函数y =f (x )(x ≠0)对于任何非零实数x 、x 满足
f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2)，且f (x )在(0, +∞)上是增函数，
1⎤
当x ∈⎡时，不等式f (ax +1)+f (x -1)≤0恒成立，⎢,1⎥
⎣2
⎦
求实数a 的取值范围 解：由
f (1)=f (1⨯)1=(f
f (1)=0
f (1)=f ⎡)⨯(-)1⎤⎣(-1⎦
)1
+(f ) 1
得 又 所以 因为
f (-1)=0
f (-x )=f ⎡⎣(-1)⋅x ⎤⎦=f (-1)+f
(x )=
f
(x )
所以y =f (x )为偶函数
又因为y =f (x )在(0, +∞)上是增函数， 所以y =f (x )在(-∞, 0)上为减函数 当x >0时，f (x )≤0⇔f (x )≤f (1)⇔
0
当x
⎣2
⎦
1⎤
故当x ∈⎡时，不等式f (ax +1)+f (x -1)≤0恒成立 ⎢,1⎥
⎧f ⎡(a x +1)(⎣
⎪⇔⎨1
⎪≤x ≤1⎩2
x -1)⎤⎦
≤0
⎧
⎪-1≤(ax +1)(x -1)≤1⎪
⇔⎨(ax +1)(x -1)≠0 ⎪1
⎪≤x ≤1⎩2
1⎧2-x
≤a ≤⎪x 2-x 1-x
⎪
1⎪
⇔⎨a ≠-
x ⎪
⎪1
⎪≤x ≤1⎩2
设M 设M
1
=
11-x
1⎤
，当x ∈⎡时，M
⎢,1⎥
⎣2
⎦
1
≥2
2
=
2-x x -x
2
1⎤
，当x ∈⎡时，利用基本不等式可得⎢,1⎥
⎣2
⎦
M 2≤-3+(
⎦
3
设M
3
=-
1x
1⎤，当x ∈⎡时，-2≤M
⎢,1⎥
⎣2
≤-1
综上所述，实数a 的取值范围是：
-3+≤a ≤2，且a ∉[-2, -1]
(
三、 数学归纳法
一般地，若抽象函数中条件与自然数有关时可考虑取前几个自然数，如n =1、2、3 分别代人已知条件中试验，探求思路，总结规律，做出正确的猜想，然后利用数学归纳法证明其正确性。 例5：设
⎧⎪3, (n =1)
f (n )=2n +1，g (n )=⎨(n ∈N
f ⎡g n -1)⎤⎪⎦, (n ≥2)⎩⎣(
)
求g (n )的解析式
⎧⎪3, (n =1)
解：由g (n )=⎨(n ∈N
f g n -1, n ≥2⎡⎤)⎦()⎪⎣(⎩
)得
g (1)=3 g (2)= g (3)= g (4)=
f ⎡(1)⎤⎣g ⎦=f ⎡(2)⎤⎣g ⎦=f ⎡(3)⎤⎣g ⎦=
(f )3
=2⨯3+1 =7
7(f )
15=2⨯7+1=
=
2⨯15+
(f 1)5
1=
31
分析3、7、15、31这几个数，不难发现它们分别比2的
2、3、4、5次幂少1，即是：g (1)=2
g (3)=2-1，g (4)=2-1
4
5
2
-1，g (2)=2-1，
3
于是猜想：g (n )=2
n +1
-1 (n ∈N )
下面利用数学归纳法来证明： ①当n =1时，g (1)=2
1+1
-1=3成立
k +1
②假设n =k 时，有g (k )=2-1成立
f ⎡⎣g (k )⎤⎦
那么，当n =k +1时，g (k +1)=
-1)
=f (2
k +1
=2⨯(2
k +1
-1)+1
=2
所以，当n =k +1时等式也成立
k +2
-1
由①、②知对一切自然数n ，有g (n )=2得证。
即：所求解析式为g (n )=2四、 利用模型法
n +1
n +1
-1成立，命题
-1 (n ∈N )
用抽象函数的具体初等函数模型解选择题、填空题或由具体模型对综合题的解答提供思路和方法。以下是几类常用的抽象函数的模型。 1.
f (x )+f
(y )=f (xy )或f (x )-f (y )=
y =l o a g x （a
⎛x ⎫
f ⎪⎝y ⎭
，具体模型
有 2. 3. 4.
>0,且a ≠1）
=a （a
x
f (x +y )=f (x )f f (x )+f
具体模型有y (y )，>0,且a ≠1）
≠0)
(y )=f (x +y )，具体模型有y =kx (k
f
(x )+f (y )=2f
⎛x +y ⎫⎛x -y ⎫
具体模型有y =cos x ⋅f ⎪ ⎪，22⎝⎭⎝⎭
总之，抽象函数问题求解，用常规方法很难奏效如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍的功效。