第２４卷第２期２００９年４月
天中学刊
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ
、，０１．２４Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２００９
二元函数极限的计算方法
陶会强，罗成广
（黄淮学院，河南驻马店４６３０００）
摘要：，由于变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多，但二元函数极限的运算法则与一元函数是一致的，因此可将一元函数的计算方法推广至二元函数．关键词：二元函数；函数的极限；洛必达－ｇ－－ｊｄ中图分类号：０１７４．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６—５２６１（２００９）０２－０００３－０２
函数的极限是高等数学教学中一个非常重要的内容．二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的，二者之间既有区别又有联系．在极限运算法则上它们是一致的，但随着变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多．目前的各类教材、教学参考书中，有关二元函数极限的内容较少．本文着重在一元函数计算方法的基础上，推广得到二元函数的求解方法．
１
３利用初等函数的连续性求解
二兀初等函数在定义域内邵是连续的．由二兀甬数极限的定义可知，若厂为二元初等函数，Ｐｏ（Ｘｏ，Ｙｏ）是函数／定义
域内的一点。则，ｊ咖、ｆ（ｘ，Ｊ，）＝ｆ（ｘｏ，ｙｏ）．‘ｊ・，Ｊ．＋ｔ，ｔｏ・蛐Ｊ
例３求，ｌ嗵．，［Ｉｎ（ｘ＋ｅ’）／√工２＋Ｊ，２】．“．，卜÷（１．Ｏ）
。’
一
一
解：因ｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｎＯ＋ｅ，）／‘巧７是初等函数，而
（１，０）是其定义域内的点，故
利用二兀函数极限的定义求解
设厂为定义在ＤｃＲ２上的二元函数，Ｐｏ（ｘｏ，％）为Ｄ的
（，．，１）ｉ．＋ｍ（１．。）【ｌｎ（ｘ＋ｅ７）／√工２＋ｙ２】＝，（１，ｏ）＝ｌｎ２・
４利用无穷小量的相关结论求解
一元函数关于无穷小量的某些结论对二元函数同样适用，例如无穷小量的倒数是无穷大量，等价无穷小替换，无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量．
一个聚点，彳是—个确定的实数．若对任给的正数￡，总存
在某正数万，使得当Ｄ内的点Ｐ（ｘ，ｙ）满足ｋ—ｘｏＩ＜万，ＩＹ－ＹｏＩ＜万且（工，Ｙ）≠（ｘｏ，Ｙｏ）时，都有Ｉ／（ｘ，ｙ）－ＡＩ＜占．则
（ｊ．ｙ卜＇（％．ｙｏ）
，ｊ咖
ｆ（ｘ，Ｊ），）＝Ａ．
’’
’
例ｌ求，ｌｊｍ＾．、（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】－Ｉ．（ｊ．ｙ）—ＨＯ．０）
。
解：当（ｘ，ｙ）≠（０，０）时，
例４求∽慨．。）ｅｘｐ［一Ｉｘ－ｙｌｌ（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】・
解：由例２可知㈦慨．．，（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＸ－－ｙｌ＝０Ｕ
再由复合函数极限的求法得
，而
ｌＪ．ｙ｝一ｌｕ．１
Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋少２】－１－０Ｉ≤Ｉｘ＋ｙｆ≤Ｉｘｌ＋ｌｙｌ，
任意地给定一个正数￡，取艿＝∥２，则当Ｈ＜万，ｌｙＩ＜万并且
Ｏ，Ｙ）≠（０。０）时，有
Ｘ－－２ｘｙ＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙｌ＞０，所以∽热．０）Ｉｘ—ｙ№一ｙ）２＝扣，
ｆＩ．慨．ｏ）ｅＸｐ［一Ｉｘ－ｙｌ／（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】＿０・
侈９５求，ｌｉｍ．，［ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）／（工＋ｙ）】．‘叫’
。’。
Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】～一ｏＩ≤ｌｘｌ＋ｌｙｌ＜￡，
所以
∽热．ｏ）（Ｊ＋ｙ）ｓｉｎ［工２＋ｙ２】－ｌ＝０・
二元甬数的极限运算有着和一元函数类似的运算法则．
（Ｊ．ｙ）－ｑＯ．０）
２利用极限的运算法则求解解：＠．Ｙ）－÷（０，０）时，ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）ｚ（ｊｒ３＋ｙ３），故
例２求，．１１ｍ。、【（工２—２砂＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙ１］．（Ｉ……．Ｏ）。’
。
。
ｍ想，。）【ｓｉＩｌ（工３＋ｙ３）肛＋ｙ）】＿∽毋％．。）【（，＋Ｊ，３）他＋Ｊ，）】２∽燥．。）（Ｘ２－－ｘｙ＋ｙ２）＝０・
解：由于Ｘ２—２ｘｙ＋ｙ２＝ｌＸ－－ｙ１２，贝Ⅱ
∽热川［（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＪ—ｙＩ】＝（，．想栅Ｉｘ—ｙｌ一∽热．。）伍一Ｊ，）＝±（烛工一脚ｙ）＝０・
收稿日期：２００８．１０．０８
例６求∽慨：，Ｆ（Ｘ矿－－３）２石（ｙ－－可２）３
则有
２．《Ｊ．，）＿＋（３，２）ｌ工一）‘＋Ｉｙ—Ｉ‘
解：因（ｘ－３）２＋（Ｊ，一２）２２２（ｘ一３Ｘｙ－２），ｌｉｍ（ｘ－３）＝０，
＾－’Ｊ
作者简介：陶会强（１９８１～）。男，河南新野人．黄淮学院教学科学系助教．
万方数据
・４・
陶会强，罗成广：二元函数极限的计算方法
１ｗｌＭｉｒａ．２）百（ｘ了－万３）２石（ｙ－虿２）
＝（，．，ｌ卜ｉｍ（，．：）石ｉ（＝ｘ蜀－Ｆ３；）（ｉｙ丽－２）・（名一３）＝ｏ．
５利用两边夹法则求解
类似于一元甬数极限的两边夹法则。可证明二元函数极限的两边夹法则：设ｆ（ｘ，Ｊ，），ｇ（ｘ，Ｊ，）和ｈ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ上ｇ（ｘ，ｙ）≤ｆ（ｘ，ｙ）ｓｈ（ｘ，ｙ），
，Ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ．
例７求ｌｉｍ
（，・，）—一。・。）Ｘ‘一ｘｙ十Ｙ’
１』４．
。≤Ｉ制≤再Ｉｘ歹＋硐ｙｌ≤硼Ｈ＋Ｉｙｌ＝研Ｉ＋研１，
解：ＥｈＸ２＋ｙ２≥２Ｉ砂Ｉ可得
ｌｉｍ
Ｔ型上１：０．
（‘－ｙ）—＋（。・。）ｘ‘一ｘｙ十Ｙ‘
有时我们司以利用一兀函数的重要极限嘞（ｓｉｎ叫工）＝ｌ
例８求ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）．
ｕ・，）—＋‘ｏ・”
耳十ｙ
解：令ｔ＝ｘ３＋ｙ３，则（ｘ，Ｙ）－÷（０，０）时ｔ－－＞０，从而
：ｌｉｍ三∑￡．１ｉｍ育ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）
ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）
“・ｙ）叫ｏｔｏ）工十Ｙ
ｔ。・ｙ）＿＇（ｏ・ｏ＇
茸。十Ｙ。
＝ｌｉｍ（工２一捌＋＇，２）．１ｉｍ墨业＝０．
‘Ｊ．，）—Ｈｏ．ｏ）、
。
７’ｆ＿ｏ
ｔ
例９求，脚．【ｌ＋ｌ／（ｘｙ）］－如．
“．Ｙ）—＋（－．一广
解：
，
‘Ｉ・ｙ卜Ｈ一・－，
！‘粤、［１＋ｌ／（习，）ｒ血，＝，
Ｉｒ，，卜＋‘＿．∞）
ｌｉ哆、【１＋ｌ／（习，）】”．‘ｕｙｌｙ。
∽上骧．．）（１＋ｌ／（砂）尸＝ｌｉ罂（１＋ｌ／ｔ）ｋ
ｅ，
‘”ｌＨｉｍ，）（ｓｉｎｖ／ｙ）２磐（ｓｈａｙ／ｙ）＝０，
Ｉｚ・，Ｊ—帆－・－Ｊ
，！睁、【ｌ＋ｌ／（秒）ｒ衄＝ｅｏ＝１．
定理Ｉ
ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐｏ（ｘｏ，Ｙｏ）的某空心邻域内有
（１）彳与ｏｆ无关时．，ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝彳；（２）彳与口有关时，，Ｊ蜘、ｆ（ｘ，Ｊ，）不存在．
万方数据
例ｌｏ求∽，ｌＭｉｍ：）而（ｘ－矿３（ｊ．，）—＇（．２）Ｉ工一）ｌ‘＋Ｉ
）２万（ｙ－珂２）２３
ｌ，一
２．ｒ
解：此极限中ｘｏ＝３，Ｙｏ＝２，
嘞邝…ｓｏｆ，２＋ｔｓｉｎ咖ｌ，ｉ卅ｒａ怒等麓等
＝ｌｉｍ（，２
ｔⅢ
ｓｉｎ２ＯｆＣＯＳ２ｏｆ）＝０。从而（Ｉ－Ｍｌｉｍ．：）而（ｘ－矿３）２丽（ｙ－２）２ｒ＝。．
例ｌｌ求ｍＭｌｉｒａ）研Ｘ４＿ｙ２０
．
（ｒ．，）—（Ｏ．）工’＋Ｖ‘
解：此极限中ｘｏ－－－０，Ｙｏ＝０，
＝ｌ，ｉ＋ｒａｆ（，ｃｏＳ口，ＩＳｔｎ班ｌ，ｉ卅ｍ等等蔫筹
ｌｉｍ＿ｔ２ＣＯＳ４０ｆ－ｓｉｎ２０弘觚
，埘ｔ‘ＣＯＳ’口＋ｓｉｎ２口
ｆ：』１Ｉ—ｌ，
’
口≠ｋｘ
８利用二元函数的洛必达法贝Ｕ求解
定理２若二元函数ｆ（Ｐ）满足：（ｉ）ｇ（Ｘｏ。Ｙｏ）为有限点；
（ｉｉ）溉，（Ｐ）２舰ｇ（一＝０；（ｉｉｉ）ｆ（Ｐ），ｇ（Ｐ）在点Ｐｏ（Ｘｏｔｙｏ）的
某空心邻域内可微。且ｇＩ（Ｐ）与毋（尸）不同时为零；
＠，避笳饕簧篇矧以则Ｍｌｉｒａ器以
（条件（ｉｉ）改为３骧，（Ｐ）＝，１．＋ｉｍ局ｇ（Ｐ）＝＊时结论仍然成立・）
例１２求，Ｉｉｍ．、［ｓｉｎ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（砂）】．（ｊ．ｙ）－“ｏ．Ｏ）
……解：由定理２可知
（ｗｌＭｉｒａ。）［ｓｉｎ（Ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（拶）】
＝，ｌｉｍ．、亡［ｅｏｓ（ｘ２Ｊ，＋ｊｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｙ２）工＋（ｆ．ｙ）－“ｏ．０）Ｚ．Ｗ
’
。
。
ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｘ２）川
２毛要ｍｏ．。）［ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２№＋ｙ）】－０
参考文献：
【ｌ】卫民波．关于二元函数极限的讨论叨．山西农业大学学
报。２００６，（６）：１２３～１２４．
【２】费定晖，周学圣．Ｂ．兀．且ＥＩ，硒ＯＢＨｑ数学分析习题集题
解（五）【Ｍ】．济南：山东科学技术出版社，２００１．２７．究，２００３，（１）：３２，４３．
上海：上海科学技术文献出版社。１９９０：１９－２１．南阳师范学院学报。２００４，（１２）：２５－２７．
用［Ｊ】．怀化学院学报，２００７，（２）：３４￣３６．
（责任编辑张继金］
（下转第８６页）
有定义，昂（而，％）是Ｄ的内点或界点，
若（。熙㈨ｇ（Ｊ，ｙ）＝一且（Ⅵ熙㈨ＪＩｌ（ｘ，ｙ）＝Ａ，则有
而。ｗｌ州ｉｍ…）（南＋南］２烛由＋墼由２０，所以
６利用重要极限公式求解
和受（１＋ｌ／工ｒ＝ｅ直接求解二元函数的极限．
令ｔ＝ｘｙ，则
故
【３】冯英杰，李丽霞．二元函数极限的求法【Ｊ】．高等数学研
【４】王向东，熊道统．数学分析的概念与方法（下）［ＭＩ．
【５】丁殿坤，吕端良，李淑英．多元函教极限的一种求法【Ｊ】．
７把二元函数的极限转化为一元函数的极限
【６】宁效琦，游淑军．二元函数的Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则及其应
定义，ｃｏｓ口，ｓｉｎａ是向量（ｘ－ｘｏ，Ｊ，一％）的方向余弦，若
ｌ蛔ｆ（ｘｏ＋ＩＣＯＳ口，Ｙｏ＋ｔｓｉｎｏｆ）＝Ａ，则有：
・８６－
彭建勋，詹润涛：基于统计分析的学生学习态度量化研究
是使学生能较为系统地理解财务管理的基本理论，评价建筑企业、房地产企业的投资、融资方法对企业价值最大化目标的实现程度【３】．该课程所涉及的数学知识学生在高中已经掌握，根据观察两类学生中尤其是女生表现出强烈的学习兴趣，笔者结合课程特点特采取以下教学方法：①在教学过程中应坚持理论分析与案例分析相结合的方法，使学生能真正理解和掌握财务管理学科的基本内容；②对于课程的知识点，由于可用案例较多，应选取足够的素材来讲解知识点；③采用启发式教学方法，即课堂加强师生之间互动，启发学生思考实际问题，课堂上尽量采用提问方式教学．
表２同等人数下运筹学课程均值分析ｚ检验检验指标平均成绩ｉ样本方差ｓ２班级人数以平均成绩差ｄ统计量ｚ
Ｚ０．０５
务管理），通过教师的努力，可以消除学生学习成绩差异的显著性．
（３）对于抽象性强的课程（如运筹学），启发式教学对知识素质较差的学生不一定能带来良好的教学效果，而对应用强、不太抽象、数学能力要求不太高的课程（如财务管理），够带来良好的教学效果．
（４）学生的学习态度对学习成绩的离散性有较大影响，离散系数在一定程度上可反映整个班级学习态度之问的差异．
表３
０４工管财务管理课程均值分析ｚ检验
检验指标
平均成绩ｉ样本方差Ｓ２离散系数Ｖ班级人数甩平均成绩差ｄ统计量ｚ
统招生
６６．６０１１５．５０．１６ｌ３５
Ｏ１．８ｌ１．９６
专升本生
６２．２４１２５．０Ｏ．１７９５０
统招生
７５．９４４０４．７３５
０１．６ｌ１．９６
专升本生
６９．３４１８６．１３５
Ｚ０．０５
为检验以上教学效果是否可行，利用双样本均值ｚ检验进行双侧检验差异性．表３列出了检验结果．３结论
通过对专升本生和统招生合班教学的运筹学和财务管理两门课程成绩的统计分析，得出如下结论．
（１）对于理论性强、比较抽象、数学能力要求较高的课程（如运筹学），虽然经过教师的教学努力，但由于学生基本素质的差异，只能消除一定数量的专升本生和统招生学习成绩差异的显著性，而不能完全消除这种差异的显著性．
（２）对于应用性强、数学要求不高的课程（如财
以上的结论和心得还需要在更多的样本空间进行验证，在此仅作为抛砖引玉的作用，为以后如何因材施教的教学研究提供一个良好的借鉴．随着教学工作的进行，差异素质学生中的教学方法研究会更加成熟．
参考文献：
【ｌ】袁卫，庞皓，曾五一，等．统计学【Ｍ】．北京：高等教
育出版社，２００５．４２－６１．
【２】宋学峰，魏晓平．运筹学［Ｍ】．南京：东南大学出版社
２００３．８６～１０７．
【３】温作明，许敏．财务管理［Ｍ】．南京：东南大学出版社
２００６．８６＂－１０７．
［责任编辑牛建兵］
（上接第４页）
ＭｅｔｈｏｄｓｏｆＲｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅＬｉｍｉｔｏｆＢｉｎａｒｙＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＴＡＯＨｕｉ－ｑｉａｎｇ，ＬＵＯＣｈｅｎｇ—ｇｕａｎｇ（ＨｕａｎｇｈｕａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ
Ｈｅｎａｎ４６３０００，Ｃｈｉｎａ）
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ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｍｏｒｅ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｙｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ｂｕｔｔｈｅｌｉｍｉｔ
ｐａｐｅｒｇｅｔｓｔｈｅ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅ．Ｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄｓｏｆｒｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｂｉｎａｒｙ
０１１
ｌｉｍｉｔｏｆｏｎｅｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｉｖｅｓｅｘａｍｐｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｆｕｎｃｆｉｏｎ；Ｌ’ＨｏｓｐｉｔａｌＲｕｌ
万方数据
二元函数极限的计算方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陶会强， 罗成广， TAO Hui-qiang， LUO Cheng-guang黄淮学院,河南,驻马店,463000天中学刊
JOURNAL OF TIANZHONG2009，24(2)0次
参考文献(6条)
1. 卫民波 关于二元函数极限的讨论[期刊论文]-山西农业大学学报 2006(06)2. 费定晖. 周学圣 Б.Π.ДЕИДОВИЧ数学分析习题集题解(五) 20013. 冯英杰. 李丽霞 二元函数极限的求法[期刊论文]-高等数学研究 2003(01)4. 王向东. 熊道统 数学分析的概念与方法(下) 1990
5. 丁殿坤. 吕端良. 李淑英 多元函数极限的一种求法[期刊论文]-南阳师范学院学报 2004(12)6. 宁效琦. 游淑军 二元函数的L' Hospital法则及其应用[期刊论文]-怀化学院学报 2007(02)
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本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_tzxk200902002.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：33790eb8-91bd-4f09-919a-9dca01465747
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第２４卷第２期２００９年４月
天中学刊
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ
、，０１．２４Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２００９
二元函数极限的计算方法
陶会强，罗成广
（黄淮学院，河南驻马店４６３０００）
摘要：，由于变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多，但二元函数极限的运算法则与一元函数是一致的，因此可将一元函数的计算方法推广至二元函数．关键词：二元函数；函数的极限；洛必达－ｇ－－ｊｄ中图分类号：０１７４．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６—５２６１（２００９）０２－０００３－０２
函数的极限是高等数学教学中一个非常重要的内容．二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的，二者之间既有区别又有联系．在极限运算法则上它们是一致的，但随着变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多．目前的各类教材、教学参考书中，有关二元函数极限的内容较少．本文着重在一元函数计算方法的基础上，推广得到二元函数的求解方法．
１
３利用初等函数的连续性求解
二兀初等函数在定义域内邵是连续的．由二兀甬数极限的定义可知，若厂为二元初等函数，Ｐｏ（Ｘｏ，Ｙｏ）是函数／定义
域内的一点。则，ｊ咖、ｆ（ｘ，Ｊ，）＝ｆ（ｘｏ，ｙｏ）．‘ｊ・，Ｊ．＋ｔ，ｔｏ・蛐Ｊ
例３求，ｌ嗵．，［Ｉｎ（ｘ＋ｅ’）／√工２＋Ｊ，２】．“．，卜÷（１．Ｏ）
。’
一
一
解：因ｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｎＯ＋ｅ，）／‘巧７是初等函数，而
（１，０）是其定义域内的点，故
利用二兀函数极限的定义求解
设厂为定义在ＤｃＲ２上的二元函数，Ｐｏ（ｘｏ，％）为Ｄ的
（，．，１）ｉ．＋ｍ（１．。）【ｌｎ（ｘ＋ｅ７）／√工２＋ｙ２】＝，（１，ｏ）＝ｌｎ２・
４利用无穷小量的相关结论求解
一元函数关于无穷小量的某些结论对二元函数同样适用，例如无穷小量的倒数是无穷大量，等价无穷小替换，无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量．
一个聚点，彳是—个确定的实数．若对任给的正数￡，总存
在某正数万，使得当Ｄ内的点Ｐ（ｘ，ｙ）满足ｋ—ｘｏＩ＜万，ＩＹ－ＹｏＩ＜万且（工，Ｙ）≠（ｘｏ，Ｙｏ）时，都有Ｉ／（ｘ，ｙ）－ＡＩ＜占．则
（ｊ．ｙ卜＇（％．ｙｏ）
，ｊ咖
ｆ（ｘ，Ｊ），）＝Ａ．
’’
’
例ｌ求，ｌｊｍ＾．、（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】－Ｉ．（ｊ．ｙ）—ＨＯ．０）
。
解：当（ｘ，ｙ）≠（０，０）时，
例４求∽慨．。）ｅｘｐ［一Ｉｘ－ｙｌｌ（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】・
解：由例２可知㈦慨．．，（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＸ－－ｙｌ＝０Ｕ
再由复合函数极限的求法得
，而
ｌＪ．ｙ｝一ｌｕ．１
Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋少２】－１－０Ｉ≤Ｉｘ＋ｙｆ≤Ｉｘｌ＋ｌｙｌ，
任意地给定一个正数￡，取艿＝∥２，则当Ｈ＜万，ｌｙＩ＜万并且
Ｏ，Ｙ）≠（０。０）时，有
Ｘ－－２ｘｙ＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙｌ＞０，所以∽热．０）Ｉｘ—ｙ№一ｙ）２＝扣，
ｆＩ．慨．ｏ）ｅＸｐ［一Ｉｘ－ｙｌ／（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】＿０・
侈９５求，ｌｉｍ．，［ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）／（工＋ｙ）】．‘叫’
。’。
Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】～一ｏＩ≤ｌｘｌ＋ｌｙｌ＜￡，
所以
∽热．ｏ）（Ｊ＋ｙ）ｓｉｎ［工２＋ｙ２】－ｌ＝０・
二元甬数的极限运算有着和一元函数类似的运算法则．
（Ｊ．ｙ）－ｑＯ．０）
２利用极限的运算法则求解解：＠．Ｙ）－÷（０，０）时，ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）ｚ（ｊｒ３＋ｙ３），故
例２求，．１１ｍ。、【（工２—２砂＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙ１］．（Ｉ……．Ｏ）。’
。
。
ｍ想，。）【ｓｉＩｌ（工３＋ｙ３）肛＋ｙ）】＿∽毋％．。）【（，＋Ｊ，３）他＋Ｊ，）】２∽燥．。）（Ｘ２－－ｘｙ＋ｙ２）＝０・
解：由于Ｘ２—２ｘｙ＋ｙ２＝ｌＸ－－ｙ１２，贝Ⅱ
∽热川［（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＪ—ｙＩ】＝（，．想栅Ｉｘ—ｙｌ一∽热．。）伍一Ｊ，）＝±（烛工一脚ｙ）＝０・
收稿日期：２００８．１０．０８
例６求∽慨：，Ｆ（Ｘ矿－－３）２石（ｙ－－可２）３
则有
２．《Ｊ．，）＿＋（３，２）ｌ工一）‘＋Ｉｙ—Ｉ‘
解：因（ｘ－３）２＋（Ｊ，一２）２２２（ｘ一３Ｘｙ－２），ｌｉｍ（ｘ－３）＝０，
＾－’Ｊ
作者简介：陶会强（１９８１～）。男，河南新野人．黄淮学院教学科学系助教．
万方数据
・４・
陶会强，罗成广：二元函数极限的计算方法
１ｗｌＭｉｒａ．２）百（ｘ了－万３）２石（ｙ－虿２）
＝（，．，ｌ卜ｉｍ（，．：）石ｉ（＝ｘ蜀－Ｆ３；）（ｉｙ丽－２）・（名一３）＝ｏ．
５利用两边夹法则求解
类似于一元甬数极限的两边夹法则。可证明二元函数极限的两边夹法则：设ｆ（ｘ，Ｊ，），ｇ（ｘ，Ｊ，）和ｈ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ上ｇ（ｘ，ｙ）≤ｆ（ｘ，ｙ）ｓｈ（ｘ，ｙ），
，Ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ．
例７求ｌｉｍ
（，・，）—一。・。）Ｘ‘一ｘｙ十Ｙ’
１』４．
。≤Ｉ制≤再Ｉｘ歹＋硐ｙｌ≤硼Ｈ＋Ｉｙｌ＝研Ｉ＋研１，
解：ＥｈＸ２＋ｙ２≥２Ｉ砂Ｉ可得
ｌｉｍ
Ｔ型上１：０．
（‘－ｙ）—＋（。・。）ｘ‘一ｘｙ十Ｙ‘
有时我们司以利用一兀函数的重要极限嘞（ｓｉｎ叫工）＝ｌ
例８求ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）．
ｕ・，）—＋‘ｏ・”
耳十ｙ
解：令ｔ＝ｘ３＋ｙ３，则（ｘ，Ｙ）－÷（０，０）时ｔ－－＞０，从而
：ｌｉｍ三∑￡．１ｉｍ育ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）
ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）
“・ｙ）叫ｏｔｏ）工十Ｙ
ｔ。・ｙ）＿＇（ｏ・ｏ＇
茸。十Ｙ。
＝ｌｉｍ（工２一捌＋＇，２）．１ｉｍ墨业＝０．
‘Ｊ．，）—Ｈｏ．ｏ）、
。
７’ｆ＿ｏ
ｔ
例９求，脚．【ｌ＋ｌ／（ｘｙ）］－如．
“．Ｙ）—＋（－．一广
解：
，
‘Ｉ・ｙ卜Ｈ一・－，
！‘粤、［１＋ｌ／（习，）ｒ血，＝，
Ｉｒ，，卜＋‘＿．∞）
ｌｉ哆、【１＋ｌ／（习，）】”．‘ｕｙｌｙ。
∽上骧．．）（１＋ｌ／（砂）尸＝ｌｉ罂（１＋ｌ／ｔ）ｋ
ｅ，
‘”ｌＨｉｍ，）（ｓｉｎｖ／ｙ）２磐（ｓｈａｙ／ｙ）＝０，
Ｉｚ・，Ｊ—帆－・－Ｊ
，！睁、【ｌ＋ｌ／（秒）ｒ衄＝ｅｏ＝１．
定理Ｉ
ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐｏ（ｘｏ，Ｙｏ）的某空心邻域内有
（１）彳与ｏｆ无关时．，ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝彳；（２）彳与口有关时，，Ｊ蜘、ｆ（ｘ，Ｊ，）不存在．
万方数据
例ｌｏ求∽，ｌＭｉｍ：）而（ｘ－矿３（ｊ．，）—＇（．２）Ｉ工一）ｌ‘＋Ｉ
）２万（ｙ－珂２）２３
ｌ，一
２．ｒ
解：此极限中ｘｏ＝３，Ｙｏ＝２，
嘞邝…ｓｏｆ，２＋ｔｓｉｎ咖ｌ，ｉ卅ｒａ怒等麓等
＝ｌｉｍ（，２
ｔⅢ
ｓｉｎ２ＯｆＣＯＳ２ｏｆ）＝０。从而（Ｉ－Ｍｌｉｍ．：）而（ｘ－矿３）２丽（ｙ－２）２ｒ＝。．
例ｌｌ求ｍＭｌｉｒａ）研Ｘ４＿ｙ２０
．
（ｒ．，）—（Ｏ．）工’＋Ｖ‘
解：此极限中ｘｏ－－－０，Ｙｏ＝０，
＝ｌ，ｉ＋ｒａｆ（，ｃｏＳ口，ＩＳｔｎ班ｌ，ｉ卅ｍ等等蔫筹
ｌｉｍ＿ｔ２ＣＯＳ４０ｆ－ｓｉｎ２０弘觚
，埘ｔ‘ＣＯＳ’口＋ｓｉｎ２口
ｆ：』１Ｉ—ｌ，
’
口≠ｋｘ
８利用二元函数的洛必达法贝Ｕ求解
定理２若二元函数ｆ（Ｐ）满足：（ｉ）ｇ（Ｘｏ。Ｙｏ）为有限点；
（ｉｉ）溉，（Ｐ）２舰ｇ（一＝０；（ｉｉｉ）ｆ（Ｐ），ｇ（Ｐ）在点Ｐｏ（Ｘｏｔｙｏ）的
某空心邻域内可微。且ｇＩ（Ｐ）与毋（尸）不同时为零；
＠，避笳饕簧篇矧以则Ｍｌｉｒａ器以
（条件（ｉｉ）改为３骧，（Ｐ）＝，１．＋ｉｍ局ｇ（Ｐ）＝＊时结论仍然成立・）
例１２求，Ｉｉｍ．、［ｓｉｎ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（砂）】．（ｊ．ｙ）－“ｏ．Ｏ）
……解：由定理２可知
（ｗｌＭｉｒａ。）［ｓｉｎ（Ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（拶）】
＝，ｌｉｍ．、亡［ｅｏｓ（ｘ２Ｊ，＋ｊｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｙ２）工＋（ｆ．ｙ）－“ｏ．０）Ｚ．Ｗ
’
。
。
ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｘ２）川
２毛要ｍｏ．。）［ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２№＋ｙ）】－０
参考文献：
【ｌ】卫民波．关于二元函数极限的讨论叨．山西农业大学学
报。２００６，（６）：１２３～１２４．
【２】费定晖，周学圣．Ｂ．兀．且ＥＩ，硒ＯＢＨｑ数学分析习题集题
解（五）【Ｍ】．济南：山东科学技术出版社，２００１．２７．究，２００３，（１）：３２，４３．
上海：上海科学技术文献出版社。１９９０：１９－２１．南阳师范学院学报。２００４，（１２）：２５－２７．
用［Ｊ】．怀化学院学报，２００７，（２）：３４￣３６．
（责任编辑张继金］
（下转第８６页）
有定义，昂（而，％）是Ｄ的内点或界点，
若（。熙㈨ｇ（Ｊ，ｙ）＝一且（Ⅵ熙㈨ＪＩｌ（ｘ，ｙ）＝Ａ，则有
而。ｗｌ州ｉｍ…）（南＋南］２烛由＋墼由２０，所以
６利用重要极限公式求解
和受（１＋ｌ／工ｒ＝ｅ直接求解二元函数的极限．
令ｔ＝ｘｙ，则
故
【３】冯英杰，李丽霞．二元函数极限的求法【Ｊ】．高等数学研
【４】王向东，熊道统．数学分析的概念与方法（下）［ＭＩ．
【５】丁殿坤，吕端良，李淑英．多元函教极限的一种求法【Ｊ】．
７把二元函数的极限转化为一元函数的极限
【６】宁效琦，游淑军．二元函数的Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则及其应
定义，ｃｏｓ口，ｓｉｎａ是向量（ｘ－ｘｏ，Ｊ，一％）的方向余弦，若
ｌ蛔ｆ（ｘｏ＋ＩＣＯＳ口，Ｙｏ＋ｔｓｉｎｏｆ）＝Ａ，则有：
・８６－
彭建勋，詹润涛：基于统计分析的学生学习态度量化研究
是使学生能较为系统地理解财务管理的基本理论，评价建筑企业、房地产企业的投资、融资方法对企业价值最大化目标的实现程度【３】．该课程所涉及的数学知识学生在高中已经掌握，根据观察两类学生中尤其是女生表现出强烈的学习兴趣，笔者结合课程特点特采取以下教学方法：①在教学过程中应坚持理论分析与案例分析相结合的方法，使学生能真正理解和掌握财务管理学科的基本内容；②对于课程的知识点，由于可用案例较多，应选取足够的素材来讲解知识点；③采用启发式教学方法，即课堂加强师生之间互动，启发学生思考实际问题，课堂上尽量采用提问方式教学．
表２同等人数下运筹学课程均值分析ｚ检验检验指标平均成绩ｉ样本方差ｓ２班级人数以平均成绩差ｄ统计量ｚ
Ｚ０．０５
务管理），通过教师的努力，可以消除学生学习成绩差异的显著性．
（３）对于抽象性强的课程（如运筹学），启发式教学对知识素质较差的学生不一定能带来良好的教学效果，而对应用强、不太抽象、数学能力要求不太高的课程（如财务管理），够带来良好的教学效果．
（４）学生的学习态度对学习成绩的离散性有较大影响，离散系数在一定程度上可反映整个班级学习态度之问的差异．
表３
０４工管财务管理课程均值分析ｚ检验
检验指标
平均成绩ｉ样本方差Ｓ２离散系数Ｖ班级人数甩平均成绩差ｄ统计量ｚ
统招生
６６．６０１１５．５０．１６ｌ３５
Ｏ１．８ｌ１．９６
专升本生
６２．２４１２５．０Ｏ．１７９５０
统招生
７５．９４４０４．７３５
０１．６ｌ１．９６
专升本生
６９．３４１８６．１３５
Ｚ０．０５
为检验以上教学效果是否可行，利用双样本均值ｚ检验进行双侧检验差异性．表３列出了检验结果．３结论
通过对专升本生和统招生合班教学的运筹学和财务管理两门课程成绩的统计分析，得出如下结论．
（１）对于理论性强、比较抽象、数学能力要求较高的课程（如运筹学），虽然经过教师的教学努力，但由于学生基本素质的差异，只能消除一定数量的专升本生和统招生学习成绩差异的显著性，而不能完全消除这种差异的显著性．
（２）对于应用性强、数学要求不高的课程（如财
以上的结论和心得还需要在更多的样本空间进行验证，在此仅作为抛砖引玉的作用，为以后如何因材施教的教学研究提供一个良好的借鉴．随着教学工作的进行，差异素质学生中的教学方法研究会更加成熟．
参考文献：
【ｌ】袁卫，庞皓，曾五一，等．统计学【Ｍ】．北京：高等教
育出版社，２００５．４２－６１．
【２】宋学峰，魏晓平．运筹学［Ｍ】．南京：东南大学出版社
２００３．８６～１０７．
【３】温作明，许敏．财务管理［Ｍ】．南京：东南大学出版社
２００６．８６＂－１０７．
［责任编辑牛建兵］
（上接第４页）
ＭｅｔｈｏｄｓｏｆＲｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅＬｉｍｉｔｏｆＢｉｎａｒｙＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＴＡＯＨｕｉ－ｑｉａｎｇ，ＬＵＯＣｈｅｎｇ—ｇｕａｎｇ（ＨｕａｎｇｈｕａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ
Ｈｅｎａｎ４６３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ
ｏｆｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｌ砌￡ｏｆｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｍｅｓｆｒｏｍ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｍｏ他ｃｏｍｐｌｅｘｂｅｃａ眦ｏｆ
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅ
ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｍｏｒｅ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｙｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ｂｕｔｔｈｅｌｉｍｉｔ
ｐａｐｅｒｇｅｔｓｔｈｅ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅ．Ｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄｓｏｆｒｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｂｉｎａｒｙ
０１１
ｌｉｍｉｔｏｆｏｎｅｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｉｖｅｓｅｘａｍｐｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｆｕｎｃｆｉｏｎ；Ｌ’ＨｏｓｐｉｔａｌＲｕｌ
万方数据
二元函数极限的计算方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陶会强， 罗成广， TAO Hui-qiang， LUO Cheng-guang黄淮学院,河南,驻马店,463000天中学刊
JOURNAL OF TIANZHONG2009，24(2)0次
参考文献(6条)
1. 卫民波 关于二元函数极限的讨论[期刊论文]-山西农业大学学报 2006(06)2. 费定晖. 周学圣 Б.Π.ДЕИДОВИЧ数学分析习题集题解(五) 20013. 冯英杰. 李丽霞 二元函数极限的求法[期刊论文]-高等数学研究 2003(01)4. 王向东. 熊道统 数学分析的概念与方法(下) 1990
5. 丁殿坤. 吕端良. 李淑英 多元函数极限的一种求法[期刊论文]-南阳师范学院学报 2004(12)6. 宁效琦. 游淑军 二元函数的L' Hospital法则及其应用[期刊论文]-怀化学院学报 2007(02)
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