含字母系数的一元二次方程常见错解剖析
河北省滦平县第二中学（068250）许志儒
一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：
一、忽视二次项系数a ≠0导致字母系数取值范围扩大
例1. 已知关于x 的一元二次方程a 2-1x 2+2(a +2)x +1=0有实根，求a 的
()
取值范围。 错解：因为方程有实根，所以△≥0 即4(a +2) 2-4(a 2-1) ≥0
5
解得a ≥-
4
剖析：由一元二次方程的定义知：a 2-1≠0。 而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为：
2⎧⎪a -1≠0
依题意得：⎨ 22
⎪⎩∆=4(a +2) -4(a -1) ≥05
解得a ≥-且a ≠±1
4
（注：例1等价于：已知关于x 的方程a 2-1x 2+2(a +2)x +1=0有两个实
()
数根，求a 的取值范围）
二、忽视△≥0导致错解
2
+x 2 例2. 已知：x 1、x 2是方程x 2-(k -2)x +k 2+3k +5=0的两实根，求x 12的最大值。
错解：由根与系数的关系得：
x 1+x 2=k -2，x 1x 2=k 2+3k +5
2
+x 2所以x 12=(x 1+x 2)-2x 1x 2
2
=(k -2)-2k 2+3k +5
2
()
=-k 2-10k -6
=-(k +5)+19
2
2
+x 2所以当k =-5时，x 12有最大值19。
剖析：当k =-5时，原方程变为x 2+7x +15=0，此时△＜0，方程无实根！
错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：
[-(k -2) ]2-4(k 2+3k +5)≥0
解得-4≤k ≤
4 3
2
所以当k =-4时，x 1+x 22有最大值18。
三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例3. 已知关于x 的方程kx 2-2(k +1)x +k -1=0，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以△≥0 即[-2(k +1)]-4k (k -1)≥0
2
1
解得k ≥-，又因为k ≠0
31
所以k ≥-且k ≠0
3
剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。
1
（1）当k ＝0时，原方程变为一元一次方程-2x =1，其实根为x =-，故
2
k 可取0。
1
（2）当k ≠0时，原方程为一元二次方程，须满足△≥0，即k ≥-且k ≠0，
3
1
综合（1）、（2）知：k ≥-。
3
四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大
例4. 若二次方程x 2-6x +5-m =0的两实根都大于2，则m 的取值范围为_________。 错解：设方程两实根为x 1、x 2，则x 1>2，x 2>2 所以x 1+x 2>4，x 1x 2>4
⎧x 1+x 2=6>4⎪
依题意得⎨x 1x 2=5-m >4
⎪∆=36-4(5-m ) ≥0⎩
解得-4≤m
剖析：当m ＝0时，原方程为x 2-6x +5=0，其根为x 1=1，x 2=5，显然不合题意，错因在于：由x 1>2，且x 2>2得x 1+x 2>4，x 1x 2>4成立；反之，由x 1·x 2>4则不一定有x 1>2且x 2>2成立。 正解：设方程的两实根为x 1、x 2，则
x 1-2>0，x 2-2>0
⎧∆=36-4(5-m ) ≥0⎪(x -2)(x -2) >0⎪12
依题意得⎨
(x -2) +(x -2) >02⎪1⎪⎩x 1+x 2=6，x 1x 2=5-m
解得-4≤m
例5. 已知方程x 2-ax +4-a 2=0的两实根中仅有一根为负数，求a 的取值范围。 错解：设方程两实根为x 1、x 2，因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或正数，故有： x 1x 2=-a 2+4≤0
解得a ≥2或a ≤-2
剖析：当x 1≥0且x 2
根中必有一个为负数！ 正确解法应分两种情况：
⎧x 1+x 2=a
（1）当x 1
⎩x 1x 2=-a +4=0
即a =-2
（2）当x 10时，有x 1x 2=-a 2+42或a 2或a ≤-2
五、忽视题目中的隐含条件导致错解
例6. 已知a 、b 是方程x 2+(k -1)x +k +1=0的两个根且a 、b 是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k 的值。 错解：因为a 、b 是方程x 2+(k -1)x +k +1=0的两个根
所以a +b =1-k ，ab =k +1 又由已知得：a 2+b 2=1 所以(a +b )-2ab =1
2
即k 2-4k -2=0 解得k =2±6 剖析：由于a ，b 既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以
从而a +b >0，ab >0，当k =2+6时 a +b =1-k =-1-0，b >0，
故 k =2+6不合题意，舍去。
当 k =2-6时，a +b =1-k =-1，ab =k +1=3->0，故k 的值为
2-6。
注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。
（初三）
含字母系数的一元二次方程常见错解剖析
河北省滦平县第二中学（068250）许志儒
一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：
一、忽视二次项系数a ≠0导致字母系数取值范围扩大
例1. 已知关于x 的一元二次方程a 2-1x 2+2(a +2)x +1=0有实根，求a 的
()
取值范围。 错解：因为方程有实根，所以△≥0 即4(a +2) 2-4(a 2-1) ≥0
5
解得a ≥-
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剖析：由一元二次方程的定义知：a 2-1≠0。 而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为：
2⎧⎪a -1≠0
依题意得：⎨ 22
⎪⎩∆=4(a +2) -4(a -1) ≥05
解得a ≥-且a ≠±1
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（注：例1等价于：已知关于x 的方程a 2-1x 2+2(a +2)x +1=0有两个实
()
数根，求a 的取值范围）
二、忽视△≥0导致错解
2
+x 2 例2. 已知：x 1、x 2是方程x 2-(k -2)x +k 2+3k +5=0的两实根，求x 12的最大值。
错解：由根与系数的关系得：
x 1+x 2=k -2，x 1x 2=k 2+3k +5
2
+x 2所以x 12=(x 1+x 2)-2x 1x 2
2
=(k -2)-2k 2+3k +5
2
()
=-k 2-10k -6
=-(k +5)+19
2
2
+x 2所以当k =-5时，x 12有最大值19。
剖析：当k =-5时，原方程变为x 2+7x +15=0，此时△＜0，方程无实根！
错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：
[-(k -2) ]2-4(k 2+3k +5)≥0
解得-4≤k ≤
4 3
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所以当k =-4时，x 1+x 22有最大值18。
三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例3. 已知关于x 的方程kx 2-2(k +1)x +k -1=0，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以△≥0 即[-2(k +1)]-4k (k -1)≥0
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解得k ≥-，又因为k ≠0
31
所以k ≥-且k ≠0
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剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。
1
（1）当k ＝0时，原方程变为一元一次方程-2x =1，其实根为x =-，故
2
k 可取0。
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（2）当k ≠0时，原方程为一元二次方程，须满足△≥0，即k ≥-且k ≠0，
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综合（1）、（2）知：k ≥-。
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四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大
例4. 若二次方程x 2-6x +5-m =0的两实根都大于2，则m 的取值范围为_________。 错解：设方程两实根为x 1、x 2，则x 1>2，x 2>2 所以x 1+x 2>4，x 1x 2>4
⎧x 1+x 2=6>4⎪
依题意得⎨x 1x 2=5-m >4
⎪∆=36-4(5-m ) ≥0⎩
解得-4≤m
剖析：当m ＝0时，原方程为x 2-6x +5=0，其根为x 1=1，x 2=5，显然不合题意，错因在于：由x 1>2，且x 2>2得x 1+x 2>4，x 1x 2>4成立；反之，由x 1·x 2>4则不一定有x 1>2且x 2>2成立。 正解：设方程的两实根为x 1、x 2，则
x 1-2>0，x 2-2>0
⎧∆=36-4(5-m ) ≥0⎪(x -2)(x -2) >0⎪12
依题意得⎨
(x -2) +(x -2) >02⎪1⎪⎩x 1+x 2=6，x 1x 2=5-m
解得-4≤m
例5. 已知方程x 2-ax +4-a 2=0的两实根中仅有一根为负数，求a 的取值范围。 错解：设方程两实根为x 1、x 2，因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或正数，故有： x 1x 2=-a 2+4≤0
解得a ≥2或a ≤-2
剖析：当x 1≥0且x 2
根中必有一个为负数！ 正确解法应分两种情况：
⎧x 1+x 2=a
（1）当x 1
⎩x 1x 2=-a +4=0
即a =-2
（2）当x 10时，有x 1x 2=-a 2+42或a 2或a ≤-2
五、忽视题目中的隐含条件导致错解
例6. 已知a 、b 是方程x 2+(k -1)x +k +1=0的两个根且a 、b 是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k 的值。 错解：因为a 、b 是方程x 2+(k -1)x +k +1=0的两个根
所以a +b =1-k ，ab =k +1 又由已知得：a 2+b 2=1 所以(a +b )-2ab =1
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即k 2-4k -2=0 解得k =2±6 剖析：由于a ，b 既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以
从而a +b >0，ab >0，当k =2+6时 a +b =1-k =-1-0，b >0，
故 k =2+6不合题意，舍去。
当 k =2-6时，a +b =1-k =-1，ab =k +1=3->0，故k 的值为
2-6。
注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。
（初三）