９２
９力学与实践２００７年第２９卷
袤燃璺翼要喜
膏’≯辨—嗲溯昀・粉＇≯ｊ０
再谈荡秋千——兼谈自激振动
刘延柱１）
（上海交通大学工程力学系，上海２０００３０）
摘要通过荡秋千运动解释自激振动的特征，叙述其在航天技术中的应用．附录中应用相平面方法作定性分析．关键词秋千，绳系卫星，自激振动，相平面法
武际可教授ＬＩＪ关于荡秋千的文章已对荡秋千的力学原理作了生动的解释．拙文稍作补充．秋千，这一传统的民间体育活动已在中国延续了两千多年．相传远在春秋时期，齐恒公北征山戎时将流行于北方民族的秋千带进了中原．汉武帝时后廷有秋千戏，根据唐高无际（（汉武帝后庭秋千赋》的记载：
“秋千者，千秋也．汉武祈千秋之寿，敌后宫多秋千之
乐．”在民间，秋千已成为清明、端午等传统节日中必不可少的娱乐项目（图１）．不仅限于汉族，正如杜甫在Ⅸ秋千》
诗中所云：
“十年蹴躅将雏远，万里秋千习俗同．”秋千也
是朝鲜族、拉祜族等民族欢庆节日的竞赛活动，被全国少数民族运动会列为竞技体育项目．作为少年儿童喜爱的游戏，秋千更是中外儿童游乐场必备的设施．
图１荡秋千
武教授的文章里曾引用唐代诗人王建的七律《秋千词》［２Ｉ．重抄录如下：
长长系绳紫复碧，袅袅横枝高百尺．
少男少女重秋千，
盘中结带分两边．
身轻裙薄易生力，双手向空如鸟翼．下来立定重系衣，复畏斜风高不得．旁人送上那足贵，终睹鸣趟斗身起．
２００６—１１—０８收到第ｌ稿，２００７—０４—０６收到修改稿
１）Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｙｚｈＱｏｎｌｉｎｅ．ｓｈ．Ｃ１２
万
方数据回回若与高树齐，头上宝钗从堕地．眼前争胜难为休，足踏平地看始愁．
王建的（（秋千词》不仅生动地刻画了荡秋千少女的可爱
形象，而且准确地阐明了荡秋千的力学特征．说明不须“旁
人送上”，秋千也能越荡越高．荡秋千人可由自已“生力”而“斗身起”．荡秋千是需要有些技巧的，刚踏上踏板，秋千会微微摆动．你只要控制住自己的下肢，努力完成在高处屈膝下蹲，低处挺身直立的动作，秋千就会越荡越高，直至“与高树齐”．将秋千简化成一个单摆，荡秋千人的屈伸动作使单摆的摆长周期性改变．在摆动过程中，重力和系绳的合力对秋千做功．由于存在向心加速度，系绳的拉力大于重力．而低处的摆动速度和向心加速度均大于高处，因此在低处直体使摆长缩短，高处下蹲使摆长增加，则拉力的正功必大于负功，积累起来的能量使得秋千越荡越高．同样过程也发生于
体操运动员的单杠振浪运动，运动员借助引体向上的协调动作改变重心与横杠距离，使悬垂状态迅速转变为绕横杆的摆
动［３１．
分析上述过程，运动的能量来源于外力的功，荡秋千人借助重心的变化控制能量的输入．在振动理论中，这种由系统本身的控制阀从恒定能源吸取能量而实现的不衰减振动称为自激振动ＨＪ．在自然界和工程技术中，自激振动是常见的振动形式．发动机的活塞运动、钟表的运动、传动机构由摩擦引起的振动、高层建筑和桥梁在风载下的振动都是典型的自激振动．生活中的自激振动现象更为普遍．微风下树叶的摆动，门轴的吱吱作响，管弦乐器的演奏乃至声带的发声都属于自激振动．
如果在秋千上反其道而行之，在高处挺身直立，低处屈膝下蹲，可以设想，秋千必越荡越低，乃至最后停止不动．这一现象在现代航天技术中可被用于消除绳系卫星的振荡．绳系卫星是用细绳联系的母星和子星组成的航天器，当母星在确定的轨道中运动时，子星作类似于单摆的运动（图２）．子
星从母星释放以后可出现不衰减的自由振荡．按上述规律控制系绳的长度可使振荡得到抑制，最终停留在指向地心的稳定位置Ｌ５ｊ．
附带指出，振动教材（包括笔者编写的教材在内）常将荡
秋千误作参数振动的具体例子ｔ“．但对参数振动的正确理解
应为参数随时间周期变化时出现的振动现象．在荡秋千运动中，作为参数的摆长是随位置变化而并非时间的函数，应归类于自激振动．Ｍａｇｎｕｓ垮Ｊ的振动教材里将荡秋千称为“参
数自激振动”．
第３期刘延柱：再谈荡秋千——兼谈自激振动
图３受控的变长度摆
图２绳系卫星
ｓ＝０为等长度单摆情形，其相轨迹微分方程为
附录：
利用单摆简化模型对荡秋千运动作定性分析．将摆长
五ｄｙ＝一（里ｌｏ）孑
ｄｏ
＼／＂
（６）
、’
ｆ＝ｊ（妒）作为摆动角妒的函数，给出变长度单摆的动力学方
程
所确定的相轨迹为围绕奇点茁＝Ｙ＝０的椭圆族［４］．将变长度单摆的方程（５）与方程（６）对照，其右边第１项接近相
同，所确定的相轨迹仍接近椭圆．第２项为保持正值的斜率
≯＋（孚）“（；）ｓｉｎ
ｓｐ＝０
（１）
增量，其存在使（ｚ，Ｙ）相平面内的方向场偏向椭圆外侧．所确定的相轨迹必向外扩展，表明摆幅将不断增长．对相轨迹曲线作数值计算，得到的结果与定性分析一致［３］．
参考文献
１武际可．从荡秋千说开去——漫话共振．力学与实践，２００３，
其中以点号和撇号表示对时间ｔ和摆动角妒的导数．引入变量ｚ＝妒，Ｙ＝驴，仅保留ｚ的一次项，化为一阶自治系统
五ｄｙ＝一（；）考一（孚）可
为
（２）
方程（２）确定（ｚ，Ｙ）相平面内的相轨迹．设摆长的控制规律
ｆ＝ｌｏ（１＋Ｅｚ）
其中参数￡为小量，其符号与Ｙ的符号相反
ｓ＝－Ｈｓｉｇｎｙ
（４）（３）
２５（２）：７５—７８
２潘百齐．全唐诗精华分类鉴赏集成。南京：河海大学出版社，
１９８９．１２７４
３刘延柱，忻鼎亮．人体的自激摆动．上海力学，
６５，－－，６７
１９８５，６（４）：
４刘延柱，陈文良，陈立群．振动力学．北京：高等教育出版社，
１９９８．２４４
５ＢａｒｋｏｖＢ，ＳｔｅｉｎｄｌＡ，ＴｒｏｇｅｒＨ．Ａｔａｒｇｅｔｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｆｏｒｔｈｅ
控制规律（３），（４）为人体重心缓慢升高，至最高点处快速下降过程的近似表达（图３）．将其代入方程（２），保留￡的一次
项，化为
ｄｅｐｌｏｙｍｅｎｔｏｆ
ａ
ｔｅｔｈｅｒｅｄｓａｔｅｌｌｉｔｅ
ｓｙｓｔｅｍ．ＩＭＡＪＡｐｐｌｉｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，７０：６２６—６４４
６
五ｄｙ＝一（里）兰＋２Ｉ￡Ｉ＼／…’ｌＩ可Ｉ
ｄｚ
Ｙ
ＭａｇｎｕｓＫ．Ｓｃｈｗｉｎｇｕｎｇｅｎ．Ｓｔｕｔｔｇａｒｔ，Ｂ．Ｇ．Ｔｅｕｂｎｅｒ，１９６９．
１３】
（５）
…７
（上接第９５页）
（３）大力士在目＝０时最接近拉坏球门：（Ｔ１—０＂３＝５６．０ＭＰａ；夫人进入圆圈内，ｐ＝９００时可以有０．１—０＂３＝
５７．９ＭＰａ．
（３）解不存在，证明见解题过程．
四、技高一筹的魔术师（２５分）
（１）水晶球Ｄ２涂了新型材料．（２）关键参数ｔ
ｐ１≥ｔａｎＯＳ；纸片重量
３顾此失彼的挑战者（３０分）
（１）最大挠度处：
ｚ＝学ｊ≈ｏ．５８ｆ
（２）滚轴Ｄ更靠近Ｂ点；挠度示意图如下：
Ｇ≥鬟糍，（虻；筹）
（３）关键参数：ｐ２＝ｔａｎ％；初始角速度
ｕ。≈—１５０９ｓ—ｉｎ０Ｂ
ｒ
万方数据
再谈荡秋千——兼谈自激振动
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘延柱， LIU Yanzhu
上海交通大学工程力学系,上海,200030力学与实践
MECHANICS IN ENGINEERING2007,29(3)4次
参考文献(6条)
1. 武际可 从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践 2003(02)2. 潘百齐 全唐诗精华分类鉴赏集成 19893. 刘延柱;忻鼎亮 人体的自激摆动 1985(04)4. 刘延柱;陈文良;陈立群 振动力学 1998
5. Barkov B;Steindl A;Troger H A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system 2005
6. Magnus K Schwingungen 1969
本文读者也读过(10条)
1. 陈建平. 陶秋帆. 袁健 荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践2008,30(2)2. 武际可 从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践2003,25(2)
3. 李纯 荡秋千能量转换分析[期刊论文]-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)4. 林毅贞 关于荡秋千的功能问题讨论[期刊论文]-青年与社会·中外教育研究2009(2)5. 刘世清 秋千非线性参变共振解的简单推导[期刊论文]-大学物理2004,23(2)
6. 贺承绪. 张可. 谈应朝. 杨国华. He Chengxu. Zhang Ke. Tan Yingchao. Yang Guohua 关于荡秋千的能量分析[期刊论文]-物理与工程2005,15(1)
7. 刘延柱 漫话踢毽子、羽毛球和射箭[期刊论文]-力学与实践2008,30(3)8. 李烨然. 何国敬 再谈秋千越摆越高的力学原理[期刊论文]-物理教师2009,30(6)
9. 佘守宪. SHE Shou-xian 秋千--力学模型,初等分析与参数共振微扰解析解[期刊论文]-大学物理2005,24(5)10. 刘延柱. LIU Yanzhu 曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践2007,29(6)
引证文献(4条)
1. 刘延柱 太空中的单摆[期刊论文]-力学与实践 2013(4)
2. 尤明庆 关于荡秋千力学原理的一个注记[期刊论文]-力学与实践 2010(3)
3. 陈建平. 陶秋帆. 袁健 荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践 2008(2)4. 刘延柱 曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践 2007(6)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_lxysj200703024.aspx
９２
９力学与实践２００７年第２９卷
袤燃璺翼要喜
膏’≯辨—嗲溯昀・粉＇≯ｊ０
再谈荡秋千——兼谈自激振动
刘延柱１）
（上海交通大学工程力学系，上海２０００３０）
摘要通过荡秋千运动解释自激振动的特征，叙述其在航天技术中的应用．附录中应用相平面方法作定性分析．关键词秋千，绳系卫星，自激振动，相平面法
武际可教授ＬＩＪ关于荡秋千的文章已对荡秋千的力学原理作了生动的解释．拙文稍作补充．秋千，这一传统的民间体育活动已在中国延续了两千多年．相传远在春秋时期，齐恒公北征山戎时将流行于北方民族的秋千带进了中原．汉武帝时后廷有秋千戏，根据唐高无际（（汉武帝后庭秋千赋》的记载：
“秋千者，千秋也．汉武祈千秋之寿，敌后宫多秋千之
乐．”在民间，秋千已成为清明、端午等传统节日中必不可少的娱乐项目（图１）．不仅限于汉族，正如杜甫在Ⅸ秋千》
诗中所云：
“十年蹴躅将雏远，万里秋千习俗同．”秋千也
是朝鲜族、拉祜族等民族欢庆节日的竞赛活动，被全国少数民族运动会列为竞技体育项目．作为少年儿童喜爱的游戏，秋千更是中外儿童游乐场必备的设施．
图１荡秋千
武教授的文章里曾引用唐代诗人王建的七律《秋千词》［２Ｉ．重抄录如下：
长长系绳紫复碧，袅袅横枝高百尺．
少男少女重秋千，
盘中结带分两边．
身轻裙薄易生力，双手向空如鸟翼．下来立定重系衣，复畏斜风高不得．旁人送上那足贵，终睹鸣趟斗身起．
２００６—１１—０８收到第ｌ稿，２００７—０４—０６收到修改稿
１）Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｙｚｈＱｏｎｌｉｎｅ．ｓｈ．Ｃ１２
万
方数据回回若与高树齐，头上宝钗从堕地．眼前争胜难为休，足踏平地看始愁．
王建的（（秋千词》不仅生动地刻画了荡秋千少女的可爱
形象，而且准确地阐明了荡秋千的力学特征．说明不须“旁
人送上”，秋千也能越荡越高．荡秋千人可由自已“生力”而“斗身起”．荡秋千是需要有些技巧的，刚踏上踏板，秋千会微微摆动．你只要控制住自己的下肢，努力完成在高处屈膝下蹲，低处挺身直立的动作，秋千就会越荡越高，直至“与高树齐”．将秋千简化成一个单摆，荡秋千人的屈伸动作使单摆的摆长周期性改变．在摆动过程中，重力和系绳的合力对秋千做功．由于存在向心加速度，系绳的拉力大于重力．而低处的摆动速度和向心加速度均大于高处，因此在低处直体使摆长缩短，高处下蹲使摆长增加，则拉力的正功必大于负功，积累起来的能量使得秋千越荡越高．同样过程也发生于
体操运动员的单杠振浪运动，运动员借助引体向上的协调动作改变重心与横杠距离，使悬垂状态迅速转变为绕横杆的摆
动［３１．
分析上述过程，运动的能量来源于外力的功，荡秋千人借助重心的变化控制能量的输入．在振动理论中，这种由系统本身的控制阀从恒定能源吸取能量而实现的不衰减振动称为自激振动ＨＪ．在自然界和工程技术中，自激振动是常见的振动形式．发动机的活塞运动、钟表的运动、传动机构由摩擦引起的振动、高层建筑和桥梁在风载下的振动都是典型的自激振动．生活中的自激振动现象更为普遍．微风下树叶的摆动，门轴的吱吱作响，管弦乐器的演奏乃至声带的发声都属于自激振动．
如果在秋千上反其道而行之，在高处挺身直立，低处屈膝下蹲，可以设想，秋千必越荡越低，乃至最后停止不动．这一现象在现代航天技术中可被用于消除绳系卫星的振荡．绳系卫星是用细绳联系的母星和子星组成的航天器，当母星在确定的轨道中运动时，子星作类似于单摆的运动（图２）．子
星从母星释放以后可出现不衰减的自由振荡．按上述规律控制系绳的长度可使振荡得到抑制，最终停留在指向地心的稳定位置Ｌ５ｊ．
附带指出，振动教材（包括笔者编写的教材在内）常将荡
秋千误作参数振动的具体例子ｔ“．但对参数振动的正确理解
应为参数随时间周期变化时出现的振动现象．在荡秋千运动中，作为参数的摆长是随位置变化而并非时间的函数，应归类于自激振动．Ｍａｇｎｕｓ垮Ｊ的振动教材里将荡秋千称为“参
数自激振动”．
第３期刘延柱：再谈荡秋千——兼谈自激振动
图３受控的变长度摆
图２绳系卫星
ｓ＝０为等长度单摆情形，其相轨迹微分方程为
附录：
利用单摆简化模型对荡秋千运动作定性分析．将摆长
五ｄｙ＝一（里ｌｏ）孑
ｄｏ
＼／＂
（６）
、’
ｆ＝ｊ（妒）作为摆动角妒的函数，给出变长度单摆的动力学方
程
所确定的相轨迹为围绕奇点茁＝Ｙ＝０的椭圆族［４］．将变长度单摆的方程（５）与方程（６）对照，其右边第１项接近相
同，所确定的相轨迹仍接近椭圆．第２项为保持正值的斜率
≯＋（孚）“（；）ｓｉｎ
ｓｐ＝０
（１）
增量，其存在使（ｚ，Ｙ）相平面内的方向场偏向椭圆外侧．所确定的相轨迹必向外扩展，表明摆幅将不断增长．对相轨迹曲线作数值计算，得到的结果与定性分析一致［３］．
参考文献
１武际可．从荡秋千说开去——漫话共振．力学与实践，２００３，
其中以点号和撇号表示对时间ｔ和摆动角妒的导数．引入变量ｚ＝妒，Ｙ＝驴，仅保留ｚ的一次项，化为一阶自治系统
五ｄｙ＝一（；）考一（孚）可
为
（２）
方程（２）确定（ｚ，Ｙ）相平面内的相轨迹．设摆长的控制规律
ｆ＝ｌｏ（１＋Ｅｚ）
其中参数￡为小量，其符号与Ｙ的符号相反
ｓ＝－Ｈｓｉｇｎｙ
（４）（３）
２５（２）：７５—７８
２潘百齐．全唐诗精华分类鉴赏集成。南京：河海大学出版社，
１９８９．１２７４
３刘延柱，忻鼎亮．人体的自激摆动．上海力学，
６５，－－，６７
１９８５，６（４）：
４刘延柱，陈文良，陈立群．振动力学．北京：高等教育出版社，
１９９８．２４４
５ＢａｒｋｏｖＢ，ＳｔｅｉｎｄｌＡ，ＴｒｏｇｅｒＨ．Ａｔａｒｇｅｔｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｆｏｒｔｈｅ
控制规律（３），（４）为人体重心缓慢升高，至最高点处快速下降过程的近似表达（图３）．将其代入方程（２），保留￡的一次
项，化为
ｄｅｐｌｏｙｍｅｎｔｏｆ
ａ
ｔｅｔｈｅｒｅｄｓａｔｅｌｌｉｔｅ
ｓｙｓｔｅｍ．ＩＭＡＪＡｐｐｌｉｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，７０：６２６—６４４
６
五ｄｙ＝一（里）兰＋２Ｉ￡Ｉ＼／…’ｌＩ可Ｉ
ｄｚ
Ｙ
ＭａｇｎｕｓＫ．Ｓｃｈｗｉｎｇｕｎｇｅｎ．Ｓｔｕｔｔｇａｒｔ，Ｂ．Ｇ．Ｔｅｕｂｎｅｒ，１９６９．
１３】
（５）
…７
（上接第９５页）
（３）大力士在目＝０时最接近拉坏球门：（Ｔ１—０＂３＝５６．０ＭＰａ；夫人进入圆圈内，ｐ＝９００时可以有０．１—０＂３＝
５７．９ＭＰａ．
（３）解不存在，证明见解题过程．
四、技高一筹的魔术师（２５分）
（１）水晶球Ｄ２涂了新型材料．（２）关键参数ｔ
ｐ１≥ｔａｎＯＳ；纸片重量
３顾此失彼的挑战者（３０分）
（１）最大挠度处：
ｚ＝学ｊ≈ｏ．５８ｆ
（２）滚轴Ｄ更靠近Ｂ点；挠度示意图如下：
Ｇ≥鬟糍，（虻；筹）
（３）关键参数：ｐ２＝ｔａｎ％；初始角速度
ｕ。≈—１５０９ｓ—ｉｎ０Ｂ
ｒ
万方数据
再谈荡秋千——兼谈自激振动
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘延柱， LIU Yanzhu
上海交通大学工程力学系,上海,200030力学与实践
MECHANICS IN ENGINEERING2007,29(3)4次
参考文献(6条)
1. 武际可 从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践 2003(02)2. 潘百齐 全唐诗精华分类鉴赏集成 19893. 刘延柱;忻鼎亮 人体的自激摆动 1985(04)4. 刘延柱;陈文良;陈立群 振动力学 1998
5. Barkov B;Steindl A;Troger H A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system 2005
6. Magnus K Schwingungen 1969
本文读者也读过(10条)
1. 陈建平. 陶秋帆. 袁健 荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践2008,30(2)2. 武际可 从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践2003,25(2)
3. 李纯 荡秋千能量转换分析[期刊论文]-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)4. 林毅贞 关于荡秋千的功能问题讨论[期刊论文]-青年与社会·中外教育研究2009(2)5. 刘世清 秋千非线性参变共振解的简单推导[期刊论文]-大学物理2004,23(2)
6. 贺承绪. 张可. 谈应朝. 杨国华. He Chengxu. Zhang Ke. Tan Yingchao. Yang Guohua 关于荡秋千的能量分析[期刊论文]-物理与工程2005,15(1)
7. 刘延柱 漫话踢毽子、羽毛球和射箭[期刊论文]-力学与实践2008,30(3)8. 李烨然. 何国敬 再谈秋千越摆越高的力学原理[期刊论文]-物理教师2009,30(6)
9. 佘守宪. SHE Shou-xian 秋千--力学模型,初等分析与参数共振微扰解析解[期刊论文]-大学物理2005,24(5)10. 刘延柱. LIU Yanzhu 曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践2007,29(6)
引证文献(4条)
1. 刘延柱 太空中的单摆[期刊论文]-力学与实践 2013(4)
2. 尤明庆 关于荡秋千力学原理的一个注记[期刊论文]-力学与实践 2010(3)
3. 陈建平. 陶秋帆. 袁健 荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践 2008(2)4. 刘延柱 曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践 2007(6)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_lxysj200703024.aspx