艺术中的数学
徐昊（04012442）
（东南大学, 信息科学与工程学院, 南京,211189）
摘 要： 数学对于人类发展的重要性不言而喻。数学不仅与科学发展息息相关，更与人文艺术密不可分。许多杰出的画家同时也是数学家。本文通过文学、美术与音乐三个方面揭示数学与艺术的关系。
关键词： 数学；文学；美术；音乐。
Mathematics In Art
Xu Hao
(Department of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 211189)
Abstract: The importance of mathematics to human development is self-evident. Mathematics is not only closely related to the development of science, but inseparable with art. Many outstanding painters are also mathematicians. In this article, the relationship between the mathematics and art will be shown through literature, art and music.
key words: mathematic; literature; art; music.
1 引言
数学是人类最早研究的文化之一。它对人们的影响涉及了方方面面。众所周知，数学与科学的联系十分紧密，科学离开了数学就不能称其为科学。那么，音乐、美术、文学等艺术中是否也有数学呢? 数学与这些学科的联系也很紧密吗？下面，我们就用艺术的眼光来审视数学，并用数学的眼光来审视艺术。 2 数学与文学
2.1 数学与文学的关系
文学是研究语言的艺术，而数学则是研究模式与结构的科学，它们看似风马牛不相及，实则有着奇妙的同一性。先看几位著名的文学家所发表的关于文学与数学的见解：
雨果说：“数学到了最后阶段就遇到了想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”
福楼拜说：“越往前走，艺术越要科学化科学越艺术化，两者从山麓分手，又在山顶汇合。”
文学与数学的同一性来源于人类两种基本思维形式——艺术思维与科学思维的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验。文学是“以真
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启美”，数学则是“以真传美”，虽然方向不同，但实质却是相同。而文学与数学的统一，归根到底是在符号上的统一。数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系，而文学则是揭示隐秘精神世界的符号体系。一为重建世界的和谐，一为提高人类的素质。
2.2 数字入诗诗添彩
我国许多故事都借用数字来表达一定的意境，是诗的表现力大增。如：
宋代理学家邵康节的《山村咏怀》：
一去二三里，烟村四五家，
亭台六七座，八九十枝花。
这首五言绝句是描写风景的优美。作者把“一”到“十”的数字嵌入诗中，组合成一幅静美如画的山水风景图，质朴素淡，令人耳目一新。
2.3 数学问题诗歌化
不仅数字可以入诗，而且用诗歌描述数学题，会使数学问题变得情趣盎然。如
商人出生的明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中，用词《西江月》给出一道题：
平地秋千未起，踏板一尺离地。
送行二步与人齐，五尺人高曾记。
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。
良工高士素好奇，算出索长有几？
这首词不仅生动地描绘了少女荡秋千的欢快景象，而且又是一道在当时颇有分量的数学题。
3 数学与美术
美术与数学之间似乎没有明显的相似之处，但它与文学一样，和数学也有着深刻而紧密的联系
3.1 数学在美术中的广泛应用
美术作品按材料和制作方法，大体上分为绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术等几大门类。无论是哪种美术作品，材质和色彩可以千变万化，却总离不开形状和尺寸。形和数是数学的研究对象，数形和谐带来美感。许多优秀美术作品将算术、代数、平面几何、立体几何、解析几何、拓扑学、透视方法、对称性质和旋转变换等运用其中，数学使得美术更易掌握，美术使得数学平易近人，可以说，数学是没有上色的美术，美术是数学的形象表达。因此，数学在美术中的应用比比皆是。
3.1.1 黄金分割在美术中的运用
黄金分割在美术中的运用十分普遍，详细情况将在第六章第三节讲到，这里仅举两例加以说明。
众所周知的维纳斯雕像（图1）令无数人惊叹、赞不绝口，这座雕像虽不见双臂，却仍显得美丽动人，仪态万方，充满青春活力。此雕像的尺寸在诸多地方符合黄金比，维纳斯的美，既是艺术的美，更是数学美的体现。
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图1 维纳斯雕像
法国画家米勒（F.Millet ）所作的《拾穗者》（图2）的画面也很美，金色的阳光斜照在三位劳动妇女身上，清新明亮，她们的姿态瞬间如雕像般高贵尊严，《拾穗者》的画面之所以能够这样美，不仅因为作者有高超的绘画技巧和坚实的生活基础，而且也由于画中隐藏着黄金比。
图2 拾穗者
3.1.2 旋转、对称、几何镶嵌在美术中的应用
把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做一个平移，而对称则有轴对称；中心对称、旋转对称和平移对称。如果两个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，那么这两个图形就关于这条直线轴对称；中心对称是指，若两个图像绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，则称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心；如果将某个图形绕一个定点旋转定角后，仍与原图重合，就说这个图形是旋转对称，定点叫做旋转中心；平移对称图案是一个单元图案沿直线平行移动而产生的。 几何图形大量应用与平面镶嵌画面中。用多边形镶嵌出来的精美图案，让人感动赏心悦目，心旷神怡。在正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形才能镶嵌整个平面；在非正多边形中，三角形、任何非凸四边形可以镶嵌整个平面；对于凸五边形，只有特定的凸五边形才能镶嵌一个平面；对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（三组对边平行）才可以平面镶嵌。图3是多边形镶嵌的地砖图案，画面显得独特而富有现代化气息。
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图3 多边形镶嵌
大量的绘画、剪纸、雕塑等美术作品都运用了数学中的旋转、对称变换。图4是一幅“喜”字剪纸，它是对称、喜庆和优美的；图5的装饰画图案，既是一个旋转图形，又是一个对称图形，它显得既端庄又华贵。
图4 中国剪纸图案 图5 装饰画图案
4 数学与音乐
数学是研究数与形的一门科学，是对事物在量上的抽象，是逻辑思维的产物；而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，是对自然音响的抽象，是心灵和情感在声音方面的外化。那么，这是否说明“冷酷”的数学与“多情”的音乐没有任何关系呢？
4.1 数学与音乐的关系
德国数学家、哲学家莱布尼茨说“音乐是数学在灵魂中无意识的运算，音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”数学家西尔威斯特（J.J.Sylvester ）说，可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐。因此，数学与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀更留下“数学还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。
代表理性的数学，其规律、和谐与秩序所产生的美感，虽无声音的传递，但与音乐是根本相通的；而代表感谢的音乐，其音强、音高、音色、节奏、旋律、曲式及风格，虽无明显的数学表达，但其中数学的踪影却处处可见。因此可以说，数学与音乐是相互融合，交相辉映的。
4.2 律学中的数学
4.2.1 律学理论的产生
人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长，这最早可以追溯到公元前6世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来，毕达哥拉斯发现，声音是否悦耳动听，与琴弦的长短有关。
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弹琴时，手指在琴弦上移动，不断改变弦的长度，琴就会发出高低起伏、抑扬顿挫的声音。当长度比是3：4:6的三根弦同时发音时，声音才最和谐、最优美，因此他就把这里的3,4,6叫做“音乐数”。同时，他进一步还发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程，如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等。毕达哥拉斯继而发现弦的每一和谐组合都可被表示成整数比，按整数比增加弦的长度，就能产生整个音阶。于是，毕达哥拉斯的音阶和调音理论就诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位。 后来，虽然托勒玫对毕达哥拉斯音阶的理论进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位，直到十二平均律音阶及相应的调音理论出现，才被彻底动摇。
在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，其产生时间大约在春秋中期，《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述。到了明代，朱载堉著有《律学新说》，其中对十二平均律的计算方法作了概述，他又在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次。
由此可见，在古代，当音乐理论开始产生和形成时，音乐就与数学紧密联系在一起了。
4.3 律制中的数学
乐音体系中各音的绝对准确高度及其相互关系叫做音律，研究音律的学问叫律学。律学曾一度被学术界称为绝学，它是音乐声学、数学和音乐学相互渗透的一门交叉学科。
律学中，调的推算以及音律、音程的计算，用的是五度相生法、隔八相生法、三分损益法等数学方法进行的。生律的方法有三种：古代是通过发音体的长度比例关系来计算，近代是通过音程的频率比来计算，现代则是由音高的音程值来计算的。无论哪种方法，都与数学知识分不开。因此《隋书·律历志》有“数因律起，律以数成”的说法。
古今中外，律制包括三分损益律、新律、纯律、十二平均律等，目前被纾解各国广泛采用的是“十二平均律”。下面我们仅介绍其中的三分损益律与数学的联系。
4.3.1 三分损益律
弦乐器的发声是因为琴弦的振动，而音高，也就是振动的频率，是与琴弦的长度成反比的。我国的《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中，分别记述了计算音高的一种特殊办法——三分损益法：以一条弦长为基数，将其均分成三段，舍一取二，三分损一，便发出第一个上五度音；再在余下的两段的基础上增加三分之一，三分益一，便发出第一个下五4度音；用这种方法继续推算下去，就可得到全部7个音。
我们用“三分损益法”计算频率的方法是：设弦的全长音是“1”，则去掉弦长的1/3后，剩下2/3部分的频率就变成“1”的3/2，既“5”音的频率；以“5”音为基础，弦长增加1/3而成为“5”音弦长的4/3，则频率变成“5”音的3/4，既“1”的9/8，这就是“2”音的频率；再在此基础上三分损一就得“6”的频率，三分益一得“3”的频率„„如此交替损益下去，就得到全部7个音，此方法得到的七音频率与纯律七声音阶频率之间的误差小于2.5%。因此，这种方法被誉为音乐史上的惊人发现。
5 结语
从文学、美术和音乐三个方面，我们看到了数学和艺术的紧密联系。其实艺术中的数学不止于此，生活中的数学更是不胜枚举，需要我们用敏锐的观察力和寻找美的心态去发现它们。这样，你才会知道，数学文化不只是课堂所学，更多源于生活，用于生活。就让我们细细品味数学，品味生活中的数学文化吧!
6 参考文献
[1] 潘建辉，李玲. 数学文化与鉴赏[M].北京：北京理工大学出版社，2012.
[2] 童忠良，王忠人，王斌清. 音乐与数学[M]. 北京：人民音乐出版社，1993.
[3] 顾沛. 数学文化[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
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艺术中的数学
徐昊（04012442）
（东南大学, 信息科学与工程学院, 南京,211189）
摘 要： 数学对于人类发展的重要性不言而喻。数学不仅与科学发展息息相关，更与人文艺术密不可分。许多杰出的画家同时也是数学家。本文通过文学、美术与音乐三个方面揭示数学与艺术的关系。
关键词： 数学；文学；美术；音乐。
Mathematics In Art
Xu Hao
(Department of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 211189)
Abstract: The importance of mathematics to human development is self-evident. Mathematics is not only closely related to the development of science, but inseparable with art. Many outstanding painters are also mathematicians. In this article, the relationship between the mathematics and art will be shown through literature, art and music.
key words: mathematic; literature; art; music.
1 引言
数学是人类最早研究的文化之一。它对人们的影响涉及了方方面面。众所周知，数学与科学的联系十分紧密，科学离开了数学就不能称其为科学。那么，音乐、美术、文学等艺术中是否也有数学呢? 数学与这些学科的联系也很紧密吗？下面，我们就用艺术的眼光来审视数学，并用数学的眼光来审视艺术。 2 数学与文学
2.1 数学与文学的关系
文学是研究语言的艺术，而数学则是研究模式与结构的科学，它们看似风马牛不相及，实则有着奇妙的同一性。先看几位著名的文学家所发表的关于文学与数学的见解：
雨果说：“数学到了最后阶段就遇到了想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”
福楼拜说：“越往前走，艺术越要科学化科学越艺术化，两者从山麓分手，又在山顶汇合。”
文学与数学的同一性来源于人类两种基本思维形式——艺术思维与科学思维的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验。文学是“以真
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启美”，数学则是“以真传美”，虽然方向不同，但实质却是相同。而文学与数学的统一，归根到底是在符号上的统一。数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系，而文学则是揭示隐秘精神世界的符号体系。一为重建世界的和谐，一为提高人类的素质。
2.2 数字入诗诗添彩
我国许多故事都借用数字来表达一定的意境，是诗的表现力大增。如：
宋代理学家邵康节的《山村咏怀》：
一去二三里，烟村四五家，
亭台六七座，八九十枝花。
这首五言绝句是描写风景的优美。作者把“一”到“十”的数字嵌入诗中，组合成一幅静美如画的山水风景图，质朴素淡，令人耳目一新。
2.3 数学问题诗歌化
不仅数字可以入诗，而且用诗歌描述数学题，会使数学问题变得情趣盎然。如
商人出生的明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中，用词《西江月》给出一道题：
平地秋千未起，踏板一尺离地。
送行二步与人齐，五尺人高曾记。
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。
良工高士素好奇，算出索长有几？
这首词不仅生动地描绘了少女荡秋千的欢快景象，而且又是一道在当时颇有分量的数学题。
3 数学与美术
美术与数学之间似乎没有明显的相似之处，但它与文学一样，和数学也有着深刻而紧密的联系
3.1 数学在美术中的广泛应用
美术作品按材料和制作方法，大体上分为绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术等几大门类。无论是哪种美术作品，材质和色彩可以千变万化，却总离不开形状和尺寸。形和数是数学的研究对象，数形和谐带来美感。许多优秀美术作品将算术、代数、平面几何、立体几何、解析几何、拓扑学、透视方法、对称性质和旋转变换等运用其中，数学使得美术更易掌握，美术使得数学平易近人，可以说，数学是没有上色的美术，美术是数学的形象表达。因此，数学在美术中的应用比比皆是。
3.1.1 黄金分割在美术中的运用
黄金分割在美术中的运用十分普遍，详细情况将在第六章第三节讲到，这里仅举两例加以说明。
众所周知的维纳斯雕像（图1）令无数人惊叹、赞不绝口，这座雕像虽不见双臂，却仍显得美丽动人，仪态万方，充满青春活力。此雕像的尺寸在诸多地方符合黄金比，维纳斯的美，既是艺术的美，更是数学美的体现。
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图1 维纳斯雕像
法国画家米勒（F.Millet ）所作的《拾穗者》（图2）的画面也很美，金色的阳光斜照在三位劳动妇女身上，清新明亮，她们的姿态瞬间如雕像般高贵尊严，《拾穗者》的画面之所以能够这样美，不仅因为作者有高超的绘画技巧和坚实的生活基础，而且也由于画中隐藏着黄金比。
图2 拾穗者
3.1.2 旋转、对称、几何镶嵌在美术中的应用
把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做一个平移，而对称则有轴对称；中心对称、旋转对称和平移对称。如果两个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，那么这两个图形就关于这条直线轴对称；中心对称是指，若两个图像绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，则称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心；如果将某个图形绕一个定点旋转定角后，仍与原图重合，就说这个图形是旋转对称，定点叫做旋转中心；平移对称图案是一个单元图案沿直线平行移动而产生的。 几何图形大量应用与平面镶嵌画面中。用多边形镶嵌出来的精美图案，让人感动赏心悦目，心旷神怡。在正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形才能镶嵌整个平面；在非正多边形中，三角形、任何非凸四边形可以镶嵌整个平面；对于凸五边形，只有特定的凸五边形才能镶嵌一个平面；对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（三组对边平行）才可以平面镶嵌。图3是多边形镶嵌的地砖图案，画面显得独特而富有现代化气息。
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图3 多边形镶嵌
大量的绘画、剪纸、雕塑等美术作品都运用了数学中的旋转、对称变换。图4是一幅“喜”字剪纸，它是对称、喜庆和优美的；图5的装饰画图案，既是一个旋转图形，又是一个对称图形，它显得既端庄又华贵。
图4 中国剪纸图案 图5 装饰画图案
4 数学与音乐
数学是研究数与形的一门科学，是对事物在量上的抽象，是逻辑思维的产物；而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，是对自然音响的抽象，是心灵和情感在声音方面的外化。那么，这是否说明“冷酷”的数学与“多情”的音乐没有任何关系呢？
4.1 数学与音乐的关系
德国数学家、哲学家莱布尼茨说“音乐是数学在灵魂中无意识的运算，音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”数学家西尔威斯特（J.J.Sylvester ）说，可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐。因此，数学与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀更留下“数学还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。
代表理性的数学，其规律、和谐与秩序所产生的美感，虽无声音的传递，但与音乐是根本相通的；而代表感谢的音乐，其音强、音高、音色、节奏、旋律、曲式及风格，虽无明显的数学表达，但其中数学的踪影却处处可见。因此可以说，数学与音乐是相互融合，交相辉映的。
4.2 律学中的数学
4.2.1 律学理论的产生
人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长，这最早可以追溯到公元前6世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来，毕达哥拉斯发现，声音是否悦耳动听，与琴弦的长短有关。
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弹琴时，手指在琴弦上移动，不断改变弦的长度，琴就会发出高低起伏、抑扬顿挫的声音。当长度比是3：4:6的三根弦同时发音时，声音才最和谐、最优美，因此他就把这里的3,4,6叫做“音乐数”。同时，他进一步还发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程，如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等。毕达哥拉斯继而发现弦的每一和谐组合都可被表示成整数比，按整数比增加弦的长度，就能产生整个音阶。于是，毕达哥拉斯的音阶和调音理论就诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位。 后来，虽然托勒玫对毕达哥拉斯音阶的理论进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位，直到十二平均律音阶及相应的调音理论出现，才被彻底动摇。
在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，其产生时间大约在春秋中期，《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述。到了明代，朱载堉著有《律学新说》，其中对十二平均律的计算方法作了概述，他又在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次。
由此可见，在古代，当音乐理论开始产生和形成时，音乐就与数学紧密联系在一起了。
4.3 律制中的数学
乐音体系中各音的绝对准确高度及其相互关系叫做音律，研究音律的学问叫律学。律学曾一度被学术界称为绝学，它是音乐声学、数学和音乐学相互渗透的一门交叉学科。
律学中，调的推算以及音律、音程的计算，用的是五度相生法、隔八相生法、三分损益法等数学方法进行的。生律的方法有三种：古代是通过发音体的长度比例关系来计算，近代是通过音程的频率比来计算，现代则是由音高的音程值来计算的。无论哪种方法，都与数学知识分不开。因此《隋书·律历志》有“数因律起，律以数成”的说法。
古今中外，律制包括三分损益律、新律、纯律、十二平均律等，目前被纾解各国广泛采用的是“十二平均律”。下面我们仅介绍其中的三分损益律与数学的联系。
4.3.1 三分损益律
弦乐器的发声是因为琴弦的振动，而音高，也就是振动的频率，是与琴弦的长度成反比的。我国的《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中，分别记述了计算音高的一种特殊办法——三分损益法：以一条弦长为基数，将其均分成三段，舍一取二，三分损一，便发出第一个上五度音；再在余下的两段的基础上增加三分之一，三分益一，便发出第一个下五4度音；用这种方法继续推算下去，就可得到全部7个音。
我们用“三分损益法”计算频率的方法是：设弦的全长音是“1”，则去掉弦长的1/3后，剩下2/3部分的频率就变成“1”的3/2，既“5”音的频率；以“5”音为基础，弦长增加1/3而成为“5”音弦长的4/3，则频率变成“5”音的3/4，既“1”的9/8，这就是“2”音的频率；再在此基础上三分损一就得“6”的频率，三分益一得“3”的频率„„如此交替损益下去，就得到全部7个音，此方法得到的七音频率与纯律七声音阶频率之间的误差小于2.5%。因此，这种方法被誉为音乐史上的惊人发现。
5 结语
从文学、美术和音乐三个方面，我们看到了数学和艺术的紧密联系。其实艺术中的数学不止于此，生活中的数学更是不胜枚举，需要我们用敏锐的观察力和寻找美的心态去发现它们。这样，你才会知道，数学文化不只是课堂所学，更多源于生活，用于生活。就让我们细细品味数学，品味生活中的数学文化吧!
6 参考文献
[1] 潘建辉，李玲. 数学文化与鉴赏[M].北京：北京理工大学出版社，2012.
[2] 童忠良，王忠人，王斌清. 音乐与数学[M]. 北京：人民音乐出版社，1993.
[3] 顾沛. 数学文化[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
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