第1讲 集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？„
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为22－1，2－1，2－2.
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且
B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则
3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“
【例1】 已知集合A＝{x|x－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若
求实数p的取值范围．
【例2】 设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由． 2n,nnn∩B}，若A＝{x∈R|y＝x－3x}，2P为________． ∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________． ，
【例3】 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________．
A. T，V中至少有一个关于乘法封闭 B. T，V中至多有一个关于乘法封闭
C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭 D. T，V中每一个关于乘法封闭
【例4】 已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0
∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2(2) 当b>1时，证明：
1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．
3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若
是(c，＋∞)，其中c＝________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝
________.
6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是________个．
，则实数a的取值范围
(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1
1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－a12＋， a
由此可知x10，(3分)
① 当a>0时，A＝{x|xx2}，(5分)
116A∩B≠的充要条件是x2＜3，即2＋
② 当a
1A∩B≠的充要条件是x2>1，即＋a12＋>1，解得a
6综上，使A∩B≠成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪⎛，＋∞⎫.(14分) ⎝7⎭112＋，x2＝＋aa
第1讲 集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？„
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为22－1，2－1，2－2.
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且
B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则
3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“
【例1】 已知集合A＝{x|x－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若
求实数p的取值范围．
【例2】 设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由． 2n,nnn∩B}，若A＝{x∈R|y＝x－3x}，2P为________． ∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________． ，
【例3】 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________．
A. T，V中至少有一个关于乘法封闭 B. T，V中至多有一个关于乘法封闭
C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭 D. T，V中每一个关于乘法封闭
【例4】 已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0
∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2(2) 当b>1时，证明：
1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．
3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若
是(c，＋∞)，其中c＝________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝
________.
6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是________个．
，则实数a的取值范围
(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1
1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－a12＋， a
由此可知x10，(3分)
① 当a>0时，A＝{x|xx2}，(5分)
116A∩B≠的充要条件是x2＜3，即2＋
② 当a
1A∩B≠的充要条件是x2>1，即＋a12＋>1，解得a
6综上，使A∩B≠成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪⎛，＋∞⎫.(14分) ⎝7⎭112＋，x2＝＋aa