计算曲边梯形面积

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上海中学数学2014年第1—2期

计算曲边梯形面积

362261

福建省晋江市养正中学刘华湘

计算曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，笔者从现实背景导人问题，从几何直观到数列求和，从代数推理以及算法编程求和两方面求

快捷便利的瞬间，即可体现“无限”．

(一) 教学目标

1．通过实例的问题探究，使学生理解“以直代曲”、“逐步逼近”、“极限”的思想方法．

2．通过探究过程，使学生能从几何直观上进行分割求和，能提出多种“以直代曲”的近似代替方案，求出每个小直边图形面积的表达式．

3．通过编程实现曲边梯形面积的计算过程，使学生进一步丰富和加深对递归数列求和、算法思想的理解以及积累用“手持技术”做数学的经验．

4．通过H P 399s 编程求出几种近似代替方式

出其极限值，由图形的定性分析过渡到数据的定量

刻画，借助H P 图形计算器的编程功能，以期帮助学

生更好地理解“以直代曲”和“逼近”等思想方法，增强学生用算法思想解决问题的意识．一、教学任务分析

求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，因此教学中，应突出解决问题的思想方法和步骤，从而为引入定积分的概念、体会定积分的基本思想、初步了解定积分的概念奠定基础．

笔者试图通过手持技术帮助学生理解“无限分割”、“逐步逼近”这一抽象的思维过程，并设计有启迪、有引导作用的问题串，逐步加深对“逐步逼近”的

下所有直边图形面积的和，使学生获得合作交流、语

言表达、阐明想法和观点的体验．

(二) 教学重点与难点

重点：探寻曲边梯形面积的求法．

难点：对“以直代曲”、“逐步逼近”、“极限”思想的理解．

理解，“手工”难以实现的事情，手特技术来帮忙，在

还是z+1的范围搞不清楚，也不能真正理解厂(z +1) 与，(z) 到底是什么关系．

所以i 在高中函数学习阶段，讲清楚函数概念中“对应法则”还是很有必要的．三、问题的启示

函数概念的定义经过三百多年的发展、变革，才成为现在的样子，并且随着数学的发展，函数的概念还会继续扩展下去．学生对函数概念的理解当然也需要一个渐进的过程，尤其是学生刚从初中到高中，对于抽象的概念理解起来比较困难．

所以在函数概念教学中，尽量先从实际问题引入概念，注重对概念的分析，引导学生对问题进行讨论，教师从“集合”、“对应”角度启发，最终揭示函数概念的共同特性：(1) 函数所研究的两个变量是相互联系的．(2) 一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化．(3) 对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应．

教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函

的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成

函数概念的内化．这方面可以借鉴国外的做法：英国

教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念．还可以利用其他手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数．

教学中还可以适当介绍函数概念的发展，让学生了解具有不同层次的函数定义，对于基础较好的学生还可以简单介绍函数的“关系说”定义．实际上，

美国九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有

序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系．

实际上教材有这么一句话：“变量之间的对应关系常常可以用解析式来表示．”(上教版高一上P 。。) 也就是说对应关系并不等同于解析式，那么两者的关系到底如何呢? 如果学生认真研读教材并且有质疑精神，就一定会发现问题的．

但遗憾的是，笔者教书十几年来，从来没有学生在这个地

产生疑问，这真的值得教师好好反思：学

生是否习惯了被动地接受，教师是否应该重视培养他们学会质疑，学会提问?

上海中学数学2014年第1—2期

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二、教学方案

中蕴涵怎么样的数学思想方法? 在我们所学知识中哪些地方有过类似的思想方法?

(一) 问题背景

3．通过本节课学习，你有什么收获? 谈谈你的为导入课题，提出以下问题：想法．

我校将重新粉刷宣传栏，请你设计意图：学生将解决问题的想法逐步变成可帮忙计算粉刷面积(如图1) ．

图1

操作的步骤，加深体会“以直代曲”、“逐步逼近”、设计意图：从现实背景中抽象

“极限”思想；总结归纳出解决此类问题的通用解法；出数学问题，使学生体会到数学是有用的、自然的；类比联想到导数概念、曲线的切线等．引出什么是曲边梯形? 我们为什么要学习计算曲边梯形的面积? 点明本课要解决的实际问题．

三、教学过程

(二) 知识准备

如何求由y 一，(．r ) 一z2+作为知识准备，向学生提出以下问题：

1与y —o ，．r 一0，z 一1所围成1．对于一个不规则的直边图形(封闭图形的边的曲边梯形的面积S(如图2) ?

界均为线段) ，你会如何求出其面积?

学生预设：学生经历过问设计意图：使学生用分割的方式，转化为规则题背景以及知识准备，面对这图2

的图形，或者在其内部任取一点转化为若干个三角一问题时，具有一定想法，教师用“问题串”形式将其

形面积之和．

想法表现出来．

2．圆内接正四边形、内接正八边形的面积与圆问题1

在一定误差范围内，我们可以用哪些

的面积有什么关系?

学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形面积S? 设计意图：使学生体会近似代替的思想，以及我们应该如何减小误差?

如何提高近似代替程度．

3．循环结构中的循环体具有什么作用? 什么设计意图：未知问题转化为已知问题，旨在学是累加变量? 什么是计数变量?

生发现：近似代替、分割、再近似代替、再分割、求和，设计意图：使学生想到重复操作的事件可以用得到解决问题的想法，体会“以直代曲”的思想．

循环体来实现，数列的求和与累加变量的关系，为编问题2我们把大曲边梯形分割成竹个小曲边程求和作铺垫．

梯形，每个小曲边梯形面积均可用小直边图形面积(三) 实例探寻

近似代替．你能求出每个直边图形的面积n 。吗? 并填入表1：

有了以上的知识准备，笔者以“问题串”形式设表1

计了以下实例：

如何求由y 一，(．r ) 一z2+1与y —o ，Ir —o ，．r 一第女个直边图形

12是

九

1所围成的曲边梯形的面积S ?

I 其面积口。的表达式

设计意图：使学生体会特殊与一般转化思想，分割后的矩形面积更直观，矩形的高即为纵坐标值更明显，便于计算．

(四) 拓展应用

如果汽车做变速直线运动，在时刻f 的速度为掣(f ) 一一f 2+2(单位：km ／h) ，那么它在o ≤f ≤1(单学生预设：学生在计算等分点横坐标及矩形的位：h) 这段时间内行驶的路程S(单位：km ) 是多少?

高时很容易出错，如何求出S 。的表达式?

设计意图：使学生能用类似思想，采取“以不变设计意图：使学生求出每个直边图形面积，培代变”的方法，把变速直线运动的路程问题，化归为养学生的递推归纳能力，发现累加求和具有明确的求匀速直线运动的路程问题．

步骤性和可操作性，蕴涵算法思想，为引入用H P (五) 归纳总结

399s 图形计算器的编程功能求面积和做准备．

在归纳总结阶段，准备向学生提出以下几个问题：问题3—1

求72个直边图形面积的和S 。具有

1．我们经历了探求曲边梯形面积的过程，我们明确的步骤性和可操作性，如何求出S 。的值? 你能应如何计算曲边梯形面积? 能归纳出一般的步骤

编写一个程序，借助于H P 399s 图形计算器实现：吗7

输入竹的值，输出咒个直边图形面积的和S 。，填人

2．如何减少近似代替误差? 减少误差的过程

表2：

8D

上海中学数学

表2

2014年第1—2期神，一种探索的精神．

竹的值s 。的值

81988

北京15中学隋丽丽老师评价：该案例试图通过手持技术帮助学生理解“无限分割”、“无限逼近”这一抽象的思维过程，并设计有启迪、有引导作用的问题串，逐步加深对“无限逼近”的理解．是一个非常好的设计思路，有新意，也有创意．“手工”难以实现的事情，手持技术来帮忙，在快捷便利的瞬间，即可体现“无限”，折射出教师对手持技术与课程整合的深刻认识和理解．

在教学实践中，借助适当的手持技术手段，能使教师更好、更直观地展示数学本质；进而帮助学生更好地理解和把握数学核心概念．以下三个小问题很好地反映了学生对于定积分概念的理解程度．

r 6

问题3—2求行个直边图形面积和S 。关于变量咒的表达式，并利用12+22+32+…+行2一

丛旦上岂￥尘业进行化简．当咒趋向于正无穷大

U

时，面积S 。趋向于何值?

学生预设：用几何直观和列表计算相结合的方法，引导学生观察近似值的变化趋势．虽然可以使学生猜测出其极限值，但是失去了让学生动手操作、探索发现、合作交流的一次机会．如果能利用“手持技术”，由学生动手编出程序，不同组学生以不同近似代替方式感知出其极限值，无疑会使学生获得很大成就感．

设计意图：为不同层次学生提供不同的学习平台，从代数推理以及算法编程两方面求出其极限值，利用H P 399s 编程定量计算出所有直边图形面积的和，展示逼近过程，由学生动手操作体会感知曲边梯形面积S 的值，进而理解“逐步逼近”、“极限”的思想方法．

问题4我们作了“用直边图形面积近似代替曲边梯形面积”的尝试．曲边梯形面积S 的不足近似值记为S 。、过剩近似值记为L ，面积S 。、S 、T 。有何关系? 咒趋向于正无穷大时，S 。和T 。有怎样的变化趋势? 你能求出曲边梯形面积S 的值吗?

学生预设：在进行有限等分时，以左端点的函数值代替矩形的高，还是以右端点的函数值代替矩形的高，矩形面积明显有误差；如果进行无限等分时，情况会如何不易想象．

设计意图：从不足近似和过剩近似同时逼近曲边梯形面积S ，使学生理解进行无限等分时，矩形的高可以用区间内任一点的函数值来代替，从而加深理解“逐步逼近”、“极限”的思想．四、教学评价及说明

清华大学附属中学赵鸿雁老师评价：该案例的选材很好，适合体现手持技术在数学学科上的应用，能体现技术如何帮助学生理解和解决数学问题．但在设计上应该以数学概念的理解为主线，在问题解决的过程中如何让学生自发地借助技术工具，结合具体的

学问题提出算法，利用技术解决

学思想

是关键也是难点，

学课堂上要提倡一种实践的精

1．如图3、图4的阴影部分的面积为f (，(．r )

J

8

一g(T ) ) 出，学生对于图3的面积很好理解；而对于

图4的面积，受到积分的正、负与面积关系影响，大部分学生认为此公式不成立．虽然可以通过定积分的性质加以证明，但不如用定积分的概念来解释显得深刻．

隼

图3

／／

D

／

一I

一1

奠-1) ．

L ＼

—渴．

一．————、

g “)

扫

』

图6

上海中学数学2014年第l 一2期

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一道习题的探究性学习

355001

福建省福安市第二中学陈平生

题目：设函数y 一厂(z) 的定义域为D ，若对于任数厂Q )=6z一6，令厂(z)=融一6一o ．得z 一1，．．．函

意zl 、z 2∈D 且z 1+z 2=2口，恒有，(z1) +厂(z 2) =数，(z ) =z3—322图像对称中心为(1，一2) ，而函

26，则称点(n ，6) 为函数y=，(z) 图像的对称中心．数y 一一s i n(脚) 的图像的对称中心有一个为

研究并利用函数，(z) =z3—322一si n(，髓) 对称中

(1，0) ，．。．函数，(z)一z3—322一si n(眦) 对称中心

机求厂(志)+厂(盎) +．．．+，(麓)+为(1，一2+0)=(1，一2) ．

学生3：(图像法) 如图12_

厂(渊) 的值．

作出函数厂(z) =z3—322一^

0s i n(7啊) 的图像，观察并猜测f

i ：

本题属于“学习迁移型”试题，高三复习课后学其对称中心为(1，一2) ，’．．习、思考与研究的一次探究作业题，其关键要求出函，(z ) +，(2一z) 一z3—322

数3，=，(z) 图像的对称中心．在展示研究成果时，有一s i n(嬲) +(2一z)3—3(2

些学生独特的解法与探究精神让笔者惊讶不已，也一z) 2一s i n 7r (2一z) 一一4，

使笔者对函数图像的对称中心探求方法有了新认识．‘．函数厂(z) 一z3—322一厂

V 和新思考，经整理、修改展示如下．si n(7啊) 图像的对称中心为

图1

1探求对称中心

(1．一2) ．

函数，(z) =z3—322一si n(艘) 图像的对称中

学生4：(特殊值法) 在函数厂(z) 一一一3，～心探求方法精彩纷呈：

s i n(7髓) 图像上取两点A (～1，一4) 、B (1，一2) ，设其学生1：(定义法) 根据对称中心的定义即有图像对称中心为P(口，6) ，则点A 、B 关于P 点的对厂(．z) +．厂(2口一z)=26，代人整理得6(口一1) z2—

称点A7(2口+1，26+4)、B ’(2口一1，26+2)也在其函12口(口一1) z+8口3—12口2一si n 嬲一s i n(2n ，r 一7啊) =

数的图像上．则26+4一(2口+1)3—3(2口+1)2一s i n 26，此等式对一切实数z 恒成立，当且仅当口=1，6[(2口+1)7r ]，26+2一(2口一1) 3—3(2口一1) 2一si n 一一2时恒成立，．‘．函数y 一，(z) 图像的一个对称

[(2口一1) 7r ]，两式相减得12口2—12口一12口(口一1) =中心为(1，一2) ．

0．．．．口一O 或口=1，．．．当口=O时，6=一3，当口=1

学生2：(同一法) 函数．厂(z) =，一谨的二阶导函

时，6=一2；由于连续函数的对称中心在其自身图像

3．证明：1+丢+丢+

的面积之和，如图6所示，原不等式显然成立．

同理利用定积分概念的不足近似及过剩近似，

…+二>ln(竹+1)(，z ∈N ’)

容易证明：茅毛+茅b+…+万击乏

分析：这是一道通常与函数结合的证明题，由导数

茅最+…+西寺了(竹∈N ’) ，如图7所示

知识易知，(z 一1) >l眦对于

z>1图7

参考文献

恒成立．令z=半，是

[1]张淑梅，李建华，杨照宇等．数学必修3[M ]．人民教育出

—1，2…竹，两边累加即证之．部分学生利用定积分概念

版社，2008．

[2]钱瑕玲，王嵘等．数学选修2—2(A 版) [M ]．人民教育出

证明，右边表示函数y=丢在z 一1，z=”+1和3，亍。围

版社，2009．

r " +l

1

[3]李龙才，章建跃等．数学选修2—2(教师教学用书) [M ]．

成的曲边梯形面积，即l 三出=1n(竹+1) ；左边

人民教育出版社，2009．[4]聂必凯，汪秉彝，吕传汉．关于

学问题提出的若干思考

为竹个小矩形(每个矩形的宽为1，高为{，忌=1，2…恕)

[J]．学教育学报，2003。5．

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上海中学数学2014年第1—2期

计算曲边梯形面积

362261

福建省晋江市养正中学刘华湘

计算曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，笔者从现实背景导人问题，从几何直观到数列求和，从代数推理以及算法编程求和两方面求

快捷便利的瞬间，即可体现“无限”．

(一) 教学目标

1．通过实例的问题探究，使学生理解“以直代曲”、“逐步逼近”、“极限”的思想方法．

2．通过探究过程，使学生能从几何直观上进行分割求和，能提出多种“以直代曲”的近似代替方案，求出每个小直边图形面积的表达式．

3．通过编程实现曲边梯形面积的计算过程，使学生进一步丰富和加深对递归数列求和、算法思想的理解以及积累用“手持技术”做数学的经验．

4．通过H P 399s 编程求出几种近似代替方式

出其极限值，由图形的定性分析过渡到数据的定量

刻画，借助H P 图形计算器的编程功能，以期帮助学

生更好地理解“以直代曲”和“逼近”等思想方法，增强学生用算法思想解决问题的意识．一、教学任务分析

求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，因此教学中，应突出解决问题的思想方法和步骤，从而为引入定积分的概念、体会定积分的基本思想、初步了解定积分的概念奠定基础．

笔者试图通过手持技术帮助学生理解“无限分割”、“逐步逼近”这一抽象的思维过程，并设计有启迪、有引导作用的问题串，逐步加深对“逐步逼近”的

下所有直边图形面积的和，使学生获得合作交流、语

言表达、阐明想法和观点的体验．

(二) 教学重点与难点

重点：探寻曲边梯形面积的求法．

难点：对“以直代曲”、“逐步逼近”、“极限”思想的理解．

理解，“手工”难以实现的事情，手特技术来帮忙，在

还是z+1的范围搞不清楚，也不能真正理解厂(z +1) 与，(z) 到底是什么关系．

所以i 在高中函数学习阶段，讲清楚函数概念中“对应法则”还是很有必要的．三、问题的启示

函数概念的定义经过三百多年的发展、变革，才成为现在的样子，并且随着数学的发展，函数的概念还会继续扩展下去．学生对函数概念的理解当然也需要一个渐进的过程，尤其是学生刚从初中到高中，对于抽象的概念理解起来比较困难．

所以在函数概念教学中，尽量先从实际问题引入概念，注重对概念的分析，引导学生对问题进行讨论，教师从“集合”、“对应”角度启发，最终揭示函数概念的共同特性：(1) 函数所研究的两个变量是相互联系的．(2) 一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化．(3) 对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应．

教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函

的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成

函数概念的内化．这方面可以借鉴国外的做法：英国

教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念．还可以利用其他手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数．

教学中还可以适当介绍函数概念的发展，让学生了解具有不同层次的函数定义，对于基础较好的学生还可以简单介绍函数的“关系说”定义．实际上，

美国九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有

序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系．

实际上教材有这么一句话：“变量之间的对应关系常常可以用解析式来表示．”(上教版高一上P 。。) 也就是说对应关系并不等同于解析式，那么两者的关系到底如何呢? 如果学生认真研读教材并且有质疑精神，就一定会发现问题的．

但遗憾的是，笔者教书十几年来，从来没有学生在这个地

产生疑问，这真的值得教师好好反思：学

生是否习惯了被动地接受，教师是否应该重视培养他们学会质疑，学会提问?

上海中学数学2014年第1—2期

79

二、教学方案

中蕴涵怎么样的数学思想方法? 在我们所学知识中哪些地方有过类似的思想方法?

(一) 问题背景

3．通过本节课学习，你有什么收获? 谈谈你的为导入课题，提出以下问题：想法．

我校将重新粉刷宣传栏，请你设计意图：学生将解决问题的想法逐步变成可帮忙计算粉刷面积(如图1) ．

图1

操作的步骤，加深体会“以直代曲”、“逐步逼近”、设计意图：从现实背景中抽象

“极限”思想；总结归纳出解决此类问题的通用解法；出数学问题，使学生体会到数学是有用的、自然的；类比联想到导数概念、曲线的切线等．引出什么是曲边梯形? 我们为什么要学习计算曲边梯形的面积? 点明本课要解决的实际问题．

三、教学过程

(二) 知识准备

如何求由y 一，(．r ) 一z2+作为知识准备，向学生提出以下问题：

1与y —o ，．r 一0，z 一1所围成1．对于一个不规则的直边图形(封闭图形的边的曲边梯形的面积S(如图2) ?

界均为线段) ，你会如何求出其面积?

学生预设：学生经历过问设计意图：使学生用分割的方式，转化为规则题背景以及知识准备，面对这图2

的图形，或者在其内部任取一点转化为若干个三角一问题时，具有一定想法，教师用“问题串”形式将其

形面积之和．

想法表现出来．

2．圆内接正四边形、内接正八边形的面积与圆问题1

在一定误差范围内，我们可以用哪些

的面积有什么关系?

学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形面积S? 设计意图：使学生体会近似代替的思想，以及我们应该如何减小误差?

如何提高近似代替程度．

3．循环结构中的循环体具有什么作用? 什么设计意图：未知问题转化为已知问题，旨在学是累加变量? 什么是计数变量?

生发现：近似代替、分割、再近似代替、再分割、求和，设计意图：使学生想到重复操作的事件可以用得到解决问题的想法，体会“以直代曲”的思想．

循环体来实现，数列的求和与累加变量的关系，为编问题2我们把大曲边梯形分割成竹个小曲边程求和作铺垫．

梯形，每个小曲边梯形面积均可用小直边图形面积(三) 实例探寻

近似代替．你能求出每个直边图形的面积n 。吗? 并填入表1：

有了以上的知识准备，笔者以“问题串”形式设表1

计了以下实例：

如何求由y 一，(．r ) 一z2+1与y —o ，Ir —o ，．r 一第女个直边图形

12是

九

1所围成的曲边梯形的面积S ?

I 其面积口。的表达式

设计意图：使学生体会特殊与一般转化思想，分割后的矩形面积更直观，矩形的高即为纵坐标值更明显，便于计算．

(四) 拓展应用

如果汽车做变速直线运动，在时刻f 的速度为掣(f ) 一一f 2+2(单位：km ／h) ，那么它在o ≤f ≤1(单学生预设：学生在计算等分点横坐标及矩形的位：h) 这段时间内行驶的路程S(单位：km ) 是多少?

高时很容易出错，如何求出S 。的表达式?

设计意图：使学生能用类似思想，采取“以不变设计意图：使学生求出每个直边图形面积，培代变”的方法，把变速直线运动的路程问题，化归为养学生的递推归纳能力，发现累加求和具有明确的求匀速直线运动的路程问题．

步骤性和可操作性，蕴涵算法思想，为引入用H P (五) 归纳总结

399s 图形计算器的编程功能求面积和做准备．

在归纳总结阶段，准备向学生提出以下几个问题：问题3—1

求72个直边图形面积的和S 。具有

1．我们经历了探求曲边梯形面积的过程，我们明确的步骤性和可操作性，如何求出S 。的值? 你能应如何计算曲边梯形面积? 能归纳出一般的步骤

编写一个程序，借助于H P 399s 图形计算器实现：吗7

输入竹的值，输出咒个直边图形面积的和S 。，填人

2．如何减少近似代替误差? 减少误差的过程

表2：

8D

上海中学数学

表2

2014年第1—2期神，一种探索的精神．

竹的值s 。的值

81988

北京15中学隋丽丽老师评价：该案例试图通过手持技术帮助学生理解“无限分割”、“无限逼近”这一抽象的思维过程，并设计有启迪、有引导作用的问题串，逐步加深对“无限逼近”的理解．是一个非常好的设计思路，有新意，也有创意．“手工”难以实现的事情，手持技术来帮忙，在快捷便利的瞬间，即可体现“无限”，折射出教师对手持技术与课程整合的深刻认识和理解．

在教学实践中，借助适当的手持技术手段，能使教师更好、更直观地展示数学本质；进而帮助学生更好地理解和把握数学核心概念．以下三个小问题很好地反映了学生对于定积分概念的理解程度．

r 6

问题3—2求行个直边图形面积和S 。关于变量咒的表达式，并利用12+22+32+…+行2一

丛旦上岂￥尘业进行化简．当咒趋向于正无穷大

U

时，面积S 。趋向于何值?

学生预设：用几何直观和列表计算相结合的方法，引导学生观察近似值的变化趋势．虽然可以使学生猜测出其极限值，但是失去了让学生动手操作、探索发现、合作交流的一次机会．如果能利用“手持技术”，由学生动手编出程序，不同组学生以不同近似代替方式感知出其极限值，无疑会使学生获得很大成就感．

设计意图：为不同层次学生提供不同的学习平台，从代数推理以及算法编程两方面求出其极限值，利用H P 399s 编程定量计算出所有直边图形面积的和，展示逼近过程，由学生动手操作体会感知曲边梯形面积S 的值，进而理解“逐步逼近”、“极限”的思想方法．

问题4我们作了“用直边图形面积近似代替曲边梯形面积”的尝试．曲边梯形面积S 的不足近似值记为S 。、过剩近似值记为L ，面积S 。、S 、T 。有何关系? 咒趋向于正无穷大时，S 。和T 。有怎样的变化趋势? 你能求出曲边梯形面积S 的值吗?

学生预设：在进行有限等分时，以左端点的函数值代替矩形的高，还是以右端点的函数值代替矩形的高，矩形面积明显有误差；如果进行无限等分时，情况会如何不易想象．

设计意图：从不足近似和过剩近似同时逼近曲边梯形面积S ，使学生理解进行无限等分时，矩形的高可以用区间内任一点的函数值来代替，从而加深理解“逐步逼近”、“极限”的思想．四、教学评价及说明

清华大学附属中学赵鸿雁老师评价：该案例的选材很好，适合体现手持技术在数学学科上的应用，能体现技术如何帮助学生理解和解决数学问题．但在设计上应该以数学概念的理解为主线，在问题解决的过程中如何让学生自发地借助技术工具，结合具体的

学问题提出算法，利用技术解决

学思想

是关键也是难点，

学课堂上要提倡一种实践的精

1．如图3、图4的阴影部分的面积为f (，(．r )

J

8

一g(T ) ) 出，学生对于图3的面积很好理解；而对于

图4的面积，受到积分的正、负与面积关系影响，大部分学生认为此公式不成立．虽然可以通过定积分的性质加以证明，但不如用定积分的概念来解释显得深刻．

隼

图3

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一I

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奠-1) ．

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—渴．

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图6

上海中学数学2014年第l 一2期

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一道习题的探究性学习

355001

福建省福安市第二中学陈平生

题目：设函数y 一厂(z) 的定义域为D ，若对于任数厂Q )=6z一6，令厂(z)=融一6一o ．得z 一1，．．．函

意zl 、z 2∈D 且z 1+z 2=2口，恒有，(z1) +厂(z 2) =数，(z ) =z3—322图像对称中心为(1，一2) ，而函

26，则称点(n ，6) 为函数y=，(z) 图像的对称中心．数y 一一s i n(脚) 的图像的对称中心有一个为

研究并利用函数，(z) =z3—322一si n(，髓) 对称中

(1，0) ，．。．函数，(z)一z3—322一si n(眦) 对称中心

机求厂(志)+厂(盎) +．．．+，(麓)+为(1，一2+0)=(1，一2) ．

学生3：(图像法) 如图12_

厂(渊) 的值．

作出函数厂(z) =z3—322一^

0s i n(7啊) 的图像，观察并猜测f

i ：

本题属于“学习迁移型”试题，高三复习课后学其对称中心为(1，一2) ，’．．习、思考与研究的一次探究作业题，其关键要求出函，(z ) +，(2一z) 一z3—322

数3，=，(z) 图像的对称中心．在展示研究成果时，有一s i n(嬲) +(2一z)3—3(2

些学生独特的解法与探究精神让笔者惊讶不已，也一z) 2一s i n 7r (2一z) 一一4，

使笔者对函数图像的对称中心探求方法有了新认识．‘．函数厂(z) 一z3—322一厂

V 和新思考，经整理、修改展示如下．si n(7啊) 图像的对称中心为

图1

1探求对称中心

(1．一2) ．

函数，(z) =z3—322一si n(艘) 图像的对称中

学生4：(特殊值法) 在函数厂(z) 一一一3，～心探求方法精彩纷呈：

s i n(7髓) 图像上取两点A (～1，一4) 、B (1，一2) ，设其学生1：(定义法) 根据对称中心的定义即有图像对称中心为P(口，6) ，则点A 、B 关于P 点的对厂(．z) +．厂(2口一z)=26，代人整理得6(口一1) z2—

称点A7(2口+1，26+4)、B ’(2口一1，26+2)也在其函12口(口一1) z+8口3—12口2一si n 嬲一s i n(2n ，r 一7啊) =

数的图像上．则26+4一(2口+1)3—3(2口+1)2一s i n 26，此等式对一切实数z 恒成立，当且仅当口=1，6[(2口+1)7r ]，26+2一(2口一1) 3—3(2口一1) 2一si n 一一2时恒成立，．‘．函数y 一，(z) 图像的一个对称

[(2口一1) 7r ]，两式相减得12口2—12口一12口(口一1) =中心为(1，一2) ．

0．．．．口一O 或口=1，．．．当口=O时，6=一3，当口=1

学生2：(同一法) 函数．厂(z) =，一谨的二阶导函

时，6=一2；由于连续函数的对称中心在其自身图像

3．证明：1+丢+丢+

的面积之和，如图6所示，原不等式显然成立．

同理利用定积分概念的不足近似及过剩近似，

…+二>ln(竹+1)(，z ∈N ’)

容易证明：茅毛+茅b+…+万击乏

分析：这是一道通常与函数结合的证明题，由导数

茅最+…+西寺了(竹∈N ’) ，如图7所示

知识易知，(z 一1) >l眦对于

z>1图7

参考文献

恒成立．令z=半，是

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—1，2…竹，两边累加即证之．部分学生利用定积分概念

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证明，右边表示函数y=丢在z 一1，z=”+1和3，亍。围

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r " +l

1

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成的曲边梯形面积，即l 三出=1n(竹+1) ；左边

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学问题提出的若干思考

为竹个小矩形(每个矩形的宽为1，高为{，忌=1，2…恕)

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