同态基本定理及两个重要的同构定理

同态基本定理及两个重要的同构定理

定理1(同态基本定理) 设是一个群. 则

(1) 的任意商群都是的一个满同态像；

(2) 若是的一个满同态像，比如其同态映射是则

证明: (1)是例5的结论；

(2) 由命题4，是的不变子群，令

.

因为是满同态，中的每一个元素都可写成的形式，并且由命题4证明知道，

是一个双射，又

所以是同构映射.

定理1(2)中的同构映射也称为由同态诱导的同构映射.

上面我们讲了群同态上的一个非常重要的定理，同态基本定理。下面的几个定理是同态基本定理的应用，而这些结论本身也是非常重要的定理。

定理2 设是群的两个不变子群，则都是的不变子群，并且

证明： 首先，是的不变子群，是的不变子群，

与

是的不变

子群，（同学们可以作为一种练习自已证明一下）。所以即它们均构成商群.

的一个映射. 由于

则

且

形式，故所以

理，当且仅当

因此，只须证明

都有意义，是群

到

的每一个元素都有是满射.

另外，对

是同态映射. 按同态基本定

即可. 事实上，

定理3 设是群的两个不变子群，则

证明： 令由可得

所以

所以

是映射，并且

是满同态.

又

当且仅当

所以 由同态基本定理，

同态基本定理及两个重要的同构定理

定理1(同态基本定理) 设是一个群. 则

(1) 的任意商群都是的一个满同态像；

(2) 若是的一个满同态像，比如其同态映射是则

证明: (1)是例5的结论；

(2) 由命题4，是的不变子群，令

.

因为是满同态，中的每一个元素都可写成的形式，并且由命题4证明知道，

是一个双射，又

所以是同构映射.

定理1(2)中的同构映射也称为由同态诱导的同构映射.

上面我们讲了群同态上的一个非常重要的定理，同态基本定理。下面的几个定理是同态基本定理的应用，而这些结论本身也是非常重要的定理。

定理2 设是群的两个不变子群，则都是的不变子群，并且

证明： 首先，是的不变子群，是的不变子群，

与

是的不变

子群，（同学们可以作为一种练习自已证明一下）。所以即它们均构成商群.

的一个映射. 由于

则

且

形式，故所以

理，当且仅当

因此，只须证明

都有意义，是群

到

的每一个元素都有是满射.

另外，对

是同态映射. 按同态基本定

即可. 事实上，

定理3 设是群的两个不变子群，则

证明： 令由可得

所以

所以

是映射，并且

是满同态.

又

当且仅当

所以 由同态基本定理，