基本群的定义
将基点为x0∈X的圈同伦类构成的集合记为π1于π1
(X,x0)，则其乘积定义为
[α]D[β]=[α∗β]
(X,x0)在乘法运算“D”下构成一个群，此群的单位元是x0点
⎣
。若[α]和[β]属(X,x0)
由上一节最后的引理，此乘积有很好的定义，即它与代表元的选取无关。
定理：π1
的常值圈所属的同伦类⎡cx群。
⎤⎦，称为拓扑空间X
在x0点的基本群或第一同伦
证明：为了证明该定理，我们需要验证乘法“D”满足群的所有公理。在这里，我仅仅讨论结合律。即 或者说
因此我们只需要证明 注意到
([α]D[β])D[γ]=[α]D([β]D[γ])
⎡⎣(α∗β)∗γ⎤⎦=⎡⎣α∗(β∗γ)⎤⎦
(α∗β)∗γ≈α∗(β∗γ)
⎧α(4t) t∈[0,4]⎧(α∗β)(2t)t∈[0,]⎪=−∈β4t1t(α∗β)∗γ(t)=⎨()[⎨,]⎩γ(2t−1) t∈[,1]⎪−∈γ2t1 t()[,1]⎩
以及
⎧α(2t) t∈[0,]⎧α(2t) t∈[0,2]⎪=α∗(β∗γ)=⎨ −∈ttβ42()[⎨2,4]⎩(β∗γ)(2t−1)t∈[2,1]⎪−∈ttγ43()[,1]⎩
现在
当s从(α∗β)∗γ和α∗(β∗γ)之间的伦移函数H可以用图1画出来。
0变为1时，圈(α∗β)∗γ变为了圈α∗(β∗γ)。如果假定这种改变是线性的话，即将点(t=4,s=0)与(t=2,s=1)；(t=2,s=0)与(t=4,s=1)用直线相连接，那么通过几何关系我们可以得到H(t,s)的表
达式
⎧⎛4t⎞⎡1+s⎤⎪α⎜1+s⎟ t∈⎢0,4⎥
⎠⎣⎦⎪⎝
⎪⎡1+s2+s⎤
,H(t,s)=⎨β(4t−1−s) t∈⎢⎥4⎦⎣4⎪
⎪⎛4t−2−s⎞⎡2+s⎤
,1⎥⎪γ⎜⎟ t∈⎢
⎦
⎣4⎩⎝2−s⎠
β
γ
x0x0
s
图1
t
根据这个定理，很显然，π1
(X,x0)依赖于所选择的圈的基点x0。如果相
(X,x0)与
对于不同的基点，基本群不相同，这对于我们来说是一个灾难。幸运的是，对于道路连通的的拓扑空间X，相对于任何两个不同的基点x0和x1，π1
π1(X,x1)是同构的。
定理：若X是道路连通的拓扑空间，x0,x1∈X，则群π1(X,x0)与π1(X,x1)是同构的。
图2
证明：设α0、β0是基点为x0的圈，α1、β1是基点为x1的圈，γ是从x0到
x1的一条道路。从图中可以看出，利用道路γ和γ−1，我们可以将基点在x0的
圈α0变为一个基点为x1的圈，反过来，也可以将基点为x1的圈α1变为基点为
x0的一个圈。因此，我们可以定义下面的同态映射
σr:π1(X,x0)→π1(X,x1)
[α0]6⎡⎣γ
−1
∗α0∗γ⎤⎦
以及
σr:π1(X,x1)→π1(X,x0)
−1
[α1]6⎡⎣γ∗α0∗γ⎤⎦
−1
首先我们证明σr是群同态，即保持群的乘法运算
−1
σr([α0]D[α1])=σr([α0∗α1])=⎡γ⎣∗α0∗α1∗γ⎤⎦
−1
=⎡γ⎣∗α0⎤⎦D[α1∗γ]
−1−1
⎤⎡⎤=⎡∗∗γαγγD0⎦⎣⎣⎦D[α1∗γ]−1−1
⎤⎡=⎡∗∗γαγγD0⎣⎦⎣∗α1∗γ⎤⎦
=σr([α0])Dσr([α1])
接下来我们还需要证明σr是群同构，也就是说
σrDσr([α0])=[α0] and σrDσr
−1
−1
([α])=[α]
1
1
这是很直接的，譬如
σrDσr([α0])=σr
−1
−1
(
−1⎡γ⎣∗α0∗γ⎤⎦
)
−1−1
⎤γγαγγ=⎡∗∗∗∗0⎣⎦−1−1
⎤⎡⎤DD=⎡∗∗γγαγγ[]0⎣⎦⎣⎦
=⎡⎣cx0⎤⎦D[α0]D⎡⎣cx0⎤⎦=[α0]
类似的，也可证明等二个等式。
该定理说明：对道路连通空间，基本群与基点选择无关（在抽象群的意义上讲）。因此，我们就可以将π1
(X,x0)简写为π1(X)，并称它为道路连通空间
X的基本群。那么对于不同的空间，基本群是否存在联系呢？或者说，我们基
本群是否是拓扑不变量呢？
定理：若X和Y是两个有相同伦型的道路连通的拓扑空间，则
π1(X,x0)与π1(Y,y0)同构，其中x0∈X，y0∈Y。
由于两个同胚的空间必定有相同的伦型，故有下面的推论。
推论：若X和Y是同胚的道路连通的拓扑空间，则π1(X,x0)与
π1(Y,y0)同构，其中x0∈X，y0∈Y。
推论：若X是道路连通拓扑空间，A是X的形变收缩核，则
π1(X,a)与π1(A,a)同构（a∈A）。
这一推论的用处是很明显的。若我们可证明A是X的一个形变收缩，而且我们知道如何计算其中一个空间的基本群，那么，也就同时确定了另一个空间的基本群。
例如，如果拓扑空间X中只有一个点x，那么基点为x的圈就只有一个，即cx，因此π1
({x})就只有一个元素，即恒等元。所以一个点的基本群是平庸
的。由此我们得到任何一个可缩空间的基本群都是平庸的，特别是
π1(En)={1}。如果一个道路连通拓扑空间的基本群是平庸的，我们将其称为
单连通的，否则称它是多连通的。所以可缩空间必然是单连通的；反过来，单连通的空间却未必是可收缩的，譬如S。
再比如，单孔平面E
2
2
−{0}与单位圆S1有相同的伦型，而由这一章引言中
关于圈的讨论，我们预期
π1(S1)与整数加法群是同构的，因此
2
π1(E2−{0})≈Z。
(E−{p}−{q})就应该与π(8)同构。这里，我将通过图形说明π(E−{p}−{q})是一个非Able群。从图3中我
类似的，双孔平面的基本群π1
21
1
们可以推断出，圈α不能连续地变形为β，即
α
另一方面，利用圈γ我们却可以将圈α从变为一个与β同伦的圈，即 因此
γ−1∗α∗γ≈β
[γ]D[α]D[γ]≠[α] or [α]D[γ]≠[γ]D[α]
−1
即π1
2E(−{p}−{q})是非Able的。
图3
到目前为止，我们还没有讨论如何确定给定空间的基本群。下一节，我们将首先引入一个称为多面体的特殊拓扑空间，而后不加证明地给出计算多面体基本群的定理或步骤。简单地说，多面体可看作某个欧氏空间的一个子空间，它是通过将一些称为单形的基本空间粘合而得到的。p单形sp是2维三角形到
p维的
推广：s2是一个三角形，s3是一个四面体，等等。如果单形以这样的方式粘合：使得两个单形要么不相交，要么交于一个公共顶点或边，就得到了多面体。下面我们用精确的语言对其描述。
附录：道路同伦
这里有必要交待一下道路乘积以及道路同伦的概念。设α是X中从x0到x1的道路，而β是从x1到x2的道路，即α的终点是β的起点（α对于这样两条道路，我们可以定义它们的乘积γ路：
，(1)=β(0)）
=α∗β为一条x0到x2的道
⎧⎪α(2t) t∈[2]γ(t)=α∗β(t)=⎨
⎪⎩β(2t−1)t∈[2,1]
而对于从
x0到x1的两条道路α
和α′，如果存在一个连续映射
H:I×I→X，使得对I中每一个s，t都有
H(t,0)=α(t), H t ,1)=α′(t)(
H(0,s)=x0, H(1,s)=x1
则称α与α′同伦，记为α
≈α′，并称H是α与α′间的伦移。
类似于圈的情形，我们也可以将从x0到x1的所有道路划分为一些同伦类， 并在从x0到x1的道路同伦类与从x1到x2的道路同伦类之间定义一种乘法运算：
[α]D[β]=[α∗β]
因此，圈同伦可以看作道路同伦的特殊情形。你可以证明下面一个很有用的结论（留做习题）：
如果γ是从x0到x1的一条道路，那么
γDγ−1≈cx and γ−1Dγ≈cx
1
附录：若X和Y是有相同伦型的道路连通拓扑空间，则其基本群同构。
引理：设F中
:X×I→Y是两个映射fi:X→Y(i=0,1)间的伦移，其
fi(x0)=yi；γ是Y中从y0到y1的一条道路。那么σrDf0∗=f1∗。这里
fi∗:π1(X,x0)→π1(Y,yi) (i=0,1)
[α]6⎡⎣fi(α)⎤⎦ [α]∈π1(X,x0)
σγ:π1(Y,y0)→π1(Y,y1)
⎡γ [β]6⎣
−1
⎤ [β]∈π1(Y,y0)∗β∗γ⎦
证明：由于我们感兴趣的是因此，我们考虑下面的映射 它由
定义，其中α
对于固定的s，G
fi∗对圈同伦类的作用，而映射f0和f1是同伦的，G:I×I→Y
G(t,s)=F(α(t),s)
(t)表示X中基点为x0的圈。这个映射可以用图来表示。
y1
f1(α)
y1
γγ
s
f0αy0
(t,s)是Y中基点为γ(s)的圈，不妨记为Gs(t)，因此，
这个映射沿着道路γ将圈从γ
f0(α)连续地变为圈f1(α)。现在如果令γs(t)表示
(s)到y1=γ(1)的道路，它就可以表示
γs(t)=γ((1−s)t+s)
with γs(0)=γ(s) and γs(1)=γ(1)=y1
−1
因此γs∗Gs∗γs就是Y中基点为为y1的圈。当s从0变为1时，Y中基点为
就连续地变为基点为
γ(0)=y0的圈γ0−1∗G0∗γ0=γ−1∗f0(α)∗γ
−1
∗f1(α)∗cy1，所以我们得到结论： γ(1)=y1的圈γ1−1∗G1∗γ1=cy1
因此
−1
γ−1∗f0(α)∗γ≈cy∗f1(α)∗cy≈f1(α)
1
1
−1∗
⎡⎤σγDf0∗([α])=σγ(⎡fαγfαγfαf⎤=∗∗=⎡⎤=()()())0⎣0⎦⎣⎦1([α])⎦⎣1
即σγ
Df0∗=f1∗。
##
现在由于
X和Y有相同的伦型，因此我们有连续映射f:X→Y和
g:Y→X，并且
由引理得到
fDg≈idY and gDf≈idX
σγDid=(fDg)=f∗Dg∗
∗
Y
∗
∗
由于σγ是一个同构，并且显然idY也是同构，所以上式意味着构。同样可证明g
∗
f∗Dg∗也是同
Df∗为同构。这样我们就证明了X和Y的基本群是同构的。
基本群的定义
将基点为x0∈X的圈同伦类构成的集合记为π1于π1
(X,x0)，则其乘积定义为
[α]D[β]=[α∗β]
(X,x0)在乘法运算“D”下构成一个群，此群的单位元是x0点
⎣
。若[α]和[β]属(X,x0)
由上一节最后的引理，此乘积有很好的定义，即它与代表元的选取无关。
定理：π1
的常值圈所属的同伦类⎡cx群。
⎤⎦，称为拓扑空间X
在x0点的基本群或第一同伦
证明：为了证明该定理，我们需要验证乘法“D”满足群的所有公理。在这里，我仅仅讨论结合律。即 或者说
因此我们只需要证明 注意到
([α]D[β])D[γ]=[α]D([β]D[γ])
⎡⎣(α∗β)∗γ⎤⎦=⎡⎣α∗(β∗γ)⎤⎦
(α∗β)∗γ≈α∗(β∗γ)
⎧α(4t) t∈[0,4]⎧(α∗β)(2t)t∈[0,]⎪=−∈β4t1t(α∗β)∗γ(t)=⎨()[⎨,]⎩γ(2t−1) t∈[,1]⎪−∈γ2t1 t()[,1]⎩
以及
⎧α(2t) t∈[0,]⎧α(2t) t∈[0,2]⎪=α∗(β∗γ)=⎨ −∈ttβ42()[⎨2,4]⎩(β∗γ)(2t−1)t∈[2,1]⎪−∈ttγ43()[,1]⎩
现在
当s从(α∗β)∗γ和α∗(β∗γ)之间的伦移函数H可以用图1画出来。
0变为1时，圈(α∗β)∗γ变为了圈α∗(β∗γ)。如果假定这种改变是线性的话，即将点(t=4,s=0)与(t=2,s=1)；(t=2,s=0)与(t=4,s=1)用直线相连接，那么通过几何关系我们可以得到H(t,s)的表
达式
⎧⎛4t⎞⎡1+s⎤⎪α⎜1+s⎟ t∈⎢0,4⎥
⎠⎣⎦⎪⎝
⎪⎡1+s2+s⎤
,H(t,s)=⎨β(4t−1−s) t∈⎢⎥4⎦⎣4⎪
⎪⎛4t−2−s⎞⎡2+s⎤
,1⎥⎪γ⎜⎟ t∈⎢
⎦
⎣4⎩⎝2−s⎠
β
γ
x0x0
s
图1
t
根据这个定理，很显然，π1
(X,x0)依赖于所选择的圈的基点x0。如果相
(X,x0)与
对于不同的基点，基本群不相同，这对于我们来说是一个灾难。幸运的是，对于道路连通的的拓扑空间X，相对于任何两个不同的基点x0和x1，π1
π1(X,x1)是同构的。
定理：若X是道路连通的拓扑空间，x0,x1∈X，则群π1(X,x0)与π1(X,x1)是同构的。
图2
证明：设α0、β0是基点为x0的圈，α1、β1是基点为x1的圈，γ是从x0到
x1的一条道路。从图中可以看出，利用道路γ和γ−1，我们可以将基点在x0的
圈α0变为一个基点为x1的圈，反过来，也可以将基点为x1的圈α1变为基点为
x0的一个圈。因此，我们可以定义下面的同态映射
σr:π1(X,x0)→π1(X,x1)
[α0]6⎡⎣γ
−1
∗α0∗γ⎤⎦
以及
σr:π1(X,x1)→π1(X,x0)
−1
[α1]6⎡⎣γ∗α0∗γ⎤⎦
−1
首先我们证明σr是群同态，即保持群的乘法运算
−1
σr([α0]D[α1])=σr([α0∗α1])=⎡γ⎣∗α0∗α1∗γ⎤⎦
−1
=⎡γ⎣∗α0⎤⎦D[α1∗γ]
−1−1
⎤⎡⎤=⎡∗∗γαγγD0⎦⎣⎣⎦D[α1∗γ]−1−1
⎤⎡=⎡∗∗γαγγD0⎣⎦⎣∗α1∗γ⎤⎦
=σr([α0])Dσr([α1])
接下来我们还需要证明σr是群同构，也就是说
σrDσr([α0])=[α0] and σrDσr
−1
−1
([α])=[α]
1
1
这是很直接的，譬如
σrDσr([α0])=σr
−1
−1
(
−1⎡γ⎣∗α0∗γ⎤⎦
)
−1−1
⎤γγαγγ=⎡∗∗∗∗0⎣⎦−1−1
⎤⎡⎤DD=⎡∗∗γγαγγ[]0⎣⎦⎣⎦
=⎡⎣cx0⎤⎦D[α0]D⎡⎣cx0⎤⎦=[α0]
类似的，也可证明等二个等式。
该定理说明：对道路连通空间，基本群与基点选择无关（在抽象群的意义上讲）。因此，我们就可以将π1
(X,x0)简写为π1(X)，并称它为道路连通空间
X的基本群。那么对于不同的空间，基本群是否存在联系呢？或者说，我们基
本群是否是拓扑不变量呢？
定理：若X和Y是两个有相同伦型的道路连通的拓扑空间，则
π1(X,x0)与π1(Y,y0)同构，其中x0∈X，y0∈Y。
由于两个同胚的空间必定有相同的伦型，故有下面的推论。
推论：若X和Y是同胚的道路连通的拓扑空间，则π1(X,x0)与
π1(Y,y0)同构，其中x0∈X，y0∈Y。
推论：若X是道路连通拓扑空间，A是X的形变收缩核，则
π1(X,a)与π1(A,a)同构（a∈A）。
这一推论的用处是很明显的。若我们可证明A是X的一个形变收缩，而且我们知道如何计算其中一个空间的基本群，那么，也就同时确定了另一个空间的基本群。
例如，如果拓扑空间X中只有一个点x，那么基点为x的圈就只有一个，即cx，因此π1
({x})就只有一个元素，即恒等元。所以一个点的基本群是平庸
的。由此我们得到任何一个可缩空间的基本群都是平庸的，特别是
π1(En)={1}。如果一个道路连通拓扑空间的基本群是平庸的，我们将其称为
单连通的，否则称它是多连通的。所以可缩空间必然是单连通的；反过来，单连通的空间却未必是可收缩的，譬如S。
再比如，单孔平面E
2
2
−{0}与单位圆S1有相同的伦型，而由这一章引言中
关于圈的讨论，我们预期
π1(S1)与整数加法群是同构的，因此
2
π1(E2−{0})≈Z。
(E−{p}−{q})就应该与π(8)同构。这里，我将通过图形说明π(E−{p}−{q})是一个非Able群。从图3中我
类似的，双孔平面的基本群π1
21
1
们可以推断出，圈α不能连续地变形为β，即
α
另一方面，利用圈γ我们却可以将圈α从变为一个与β同伦的圈，即 因此
γ−1∗α∗γ≈β
[γ]D[α]D[γ]≠[α] or [α]D[γ]≠[γ]D[α]
−1
即π1
2E(−{p}−{q})是非Able的。
图3
到目前为止，我们还没有讨论如何确定给定空间的基本群。下一节，我们将首先引入一个称为多面体的特殊拓扑空间，而后不加证明地给出计算多面体基本群的定理或步骤。简单地说，多面体可看作某个欧氏空间的一个子空间，它是通过将一些称为单形的基本空间粘合而得到的。p单形sp是2维三角形到
p维的
推广：s2是一个三角形，s3是一个四面体，等等。如果单形以这样的方式粘合：使得两个单形要么不相交，要么交于一个公共顶点或边，就得到了多面体。下面我们用精确的语言对其描述。
附录：道路同伦
这里有必要交待一下道路乘积以及道路同伦的概念。设α是X中从x0到x1的道路，而β是从x1到x2的道路，即α的终点是β的起点（α对于这样两条道路，我们可以定义它们的乘积γ路：
，(1)=β(0)）
=α∗β为一条x0到x2的道
⎧⎪α(2t) t∈[2]γ(t)=α∗β(t)=⎨
⎪⎩β(2t−1)t∈[2,1]
而对于从
x0到x1的两条道路α
和α′，如果存在一个连续映射
H:I×I→X，使得对I中每一个s，t都有
H(t,0)=α(t), H t ,1)=α′(t)(
H(0,s)=x0, H(1,s)=x1
则称α与α′同伦，记为α
≈α′，并称H是α与α′间的伦移。
类似于圈的情形，我们也可以将从x0到x1的所有道路划分为一些同伦类， 并在从x0到x1的道路同伦类与从x1到x2的道路同伦类之间定义一种乘法运算：
[α]D[β]=[α∗β]
因此，圈同伦可以看作道路同伦的特殊情形。你可以证明下面一个很有用的结论（留做习题）：
如果γ是从x0到x1的一条道路，那么
γDγ−1≈cx and γ−1Dγ≈cx
1
附录：若X和Y是有相同伦型的道路连通拓扑空间，则其基本群同构。
引理：设F中
:X×I→Y是两个映射fi:X→Y(i=0,1)间的伦移，其
fi(x0)=yi；γ是Y中从y0到y1的一条道路。那么σrDf0∗=f1∗。这里
fi∗:π1(X,x0)→π1(Y,yi) (i=0,1)
[α]6⎡⎣fi(α)⎤⎦ [α]∈π1(X,x0)
σγ:π1(Y,y0)→π1(Y,y1)
⎡γ [β]6⎣
−1
⎤ [β]∈π1(Y,y0)∗β∗γ⎦
证明：由于我们感兴趣的是因此，我们考虑下面的映射 它由
定义，其中α
对于固定的s，G
fi∗对圈同伦类的作用，而映射f0和f1是同伦的，G:I×I→Y
G(t,s)=F(α(t),s)
(t)表示X中基点为x0的圈。这个映射可以用图来表示。
y1
f1(α)
y1
γγ
s
f0αy0
(t,s)是Y中基点为γ(s)的圈，不妨记为Gs(t)，因此，
这个映射沿着道路γ将圈从γ
f0(α)连续地变为圈f1(α)。现在如果令γs(t)表示
(s)到y1=γ(1)的道路，它就可以表示
γs(t)=γ((1−s)t+s)
with γs(0)=γ(s) and γs(1)=γ(1)=y1
−1
因此γs∗Gs∗γs就是Y中基点为为y1的圈。当s从0变为1时，Y中基点为
就连续地变为基点为
γ(0)=y0的圈γ0−1∗G0∗γ0=γ−1∗f0(α)∗γ
−1
∗f1(α)∗cy1，所以我们得到结论： γ(1)=y1的圈γ1−1∗G1∗γ1=cy1
因此
−1
γ−1∗f0(α)∗γ≈cy∗f1(α)∗cy≈f1(α)
1
1
−1∗
⎡⎤σγDf0∗([α])=σγ(⎡fαγfαγfαf⎤=∗∗=⎡⎤=()()())0⎣0⎦⎣⎦1([α])⎦⎣1
即σγ
Df0∗=f1∗。
##
现在由于
X和Y有相同的伦型，因此我们有连续映射f:X→Y和
g:Y→X，并且
由引理得到
fDg≈idY and gDf≈idX
σγDid=(fDg)=f∗Dg∗
∗
Y
∗
∗
由于σγ是一个同构，并且显然idY也是同构，所以上式意味着构。同样可证明g
∗
f∗Dg∗也是同
Df∗为同构。这样我们就证明了X和Y的基本群是同构的。