点到直线的距离与对称问题
问题一：点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0) 的距离是多少？
d =
问题二：两平行直线l 1:Ax +By +C 1
=0与l 2:Ax +By +C 2=0之间的距离是多少？ d =
思考：已知∆ABC 中三顶点的坐标，怎样求∆ABC 的面积？
例1点P(－1,3) 到直线l ：y ＝k(x－2) 的距离的最大值等于________．
分析 直线l ：y ＝k(x－2) 的方程化为
kx －y －2k ＝0，所以点P(－1,3) 到该直线的距离为
d ＝3|k＋1|
k ＋1＝3k ＋2k ＋13k ＋11＋2k ， k ＋12k 由于≤1，所以d≤32. 即距离的最大值等于32. k ＋1
分析2：直线l ：y ＝k(x－2) 过定点Q(2,0)，所以所求距离的最大值即为|PQ|＝32. 练习：已知直线l 1过点A (1,3)，直线l 2过点B (-2,4) ，且两直线相互平行，求当两直线之
间的距离最大时，直线l 1的方程。
例2 直线l 1过点A(0,1)，l 2过点B(5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方
程．
分析：若l 1，l 2的斜率都存在时，设直线的斜率为k ，
由斜截式得l 1的方程
y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，
由点斜式可得l 2的方程y ＝k(x－5) ，即kx －y －5k ＝0.
在直线l 1上取点A(0,1)，则点A 到直线l 2的距离 d ＝|1＋5k|
1＋k ＝5，
12. 5∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝
∴l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.
若l 1、l 2的斜率不存在，
则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5. 同样满足条件．
则满足条件的直线方程有以下两组：
⎧⎪l 1：12x －5y ＋5＝0，⎨⎪l 2：12x －5y －60＝0；⎩ ⎧⎪l 1：x ＝0
，或⎨⎪l 2：x ＝5. ⎩
分析2：由题意可以设直线l 1的方程为Ax +By -B =0，直线l 2的方程为Ax +By -5A =0，则由l 1与l 2的距离为5可得
12=5⇒B =0或A =B 5所以当B =⎧⎪l 1：x ＝0
，0时，⎨⎪l 2：x ＝5. ⎩ 当A =⎧l 1：12x －5y ＋5＝0
，⎪12B ，⎨⎪⎩l 2：12x －5y －60＝0；5
问题三：点P (x 0, y 0) 关于直线l :Ax +By +C
关于一些特殊直线对称的直线的方程的结论：
①直线
②直线
③直线
④直线
⑤直线
⑥直线
⑦直线
⑧直线=0对称的点的坐标怎么求？ f (x , y ) =0关于x 轴对称的直线方程为f (x , -y ) =0； f (x , y ) =0关于y 轴对称的直线方程为f (-x , y ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =x 对称的直线方程为f (y , x ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =-x 对称的直线方程为f (-y , -x ) =0； f (x , y ) =0关于直线x =a 对称的直线方程为f (2a -x , y ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =b 对称的直线方程为f (x ,2b -y ) =0； f (x , y ) =0关于原点对称的直线方程为f (-x , -y ) =0； f (x , y ) =0关于点(a , b ) 对称的直线方程为f (2a -x ,2b -y ) =0。
问题四：有关光线反射问题实为关于直线对称的问题。
例3 如下图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )
A ．210 B ．6 C ．33 D ．25
答案 A
分析： 如图，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4,2)、P 2(－2,0) ，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P 2|＝210，故选A.
思考：1、若要求第一条由点P 出发的光线所在直线的方程呢？
2、有关折叠问题实质是什么？
例4 将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合，则与点(－4,1) 重合的点是( )
A ．(4，－1) B ．(－4,3) C ．(－4，－3) D ．(8,3)
分析：以点(2,0)与(2,4)为端点的线段的垂直平分线为y ＝2，即为对称轴，故与点(－4,1)
重合的点是(－4,3) ．
1练习：若函数y ＝ax ＋8与y ＝－x ＋b 的图像关于直线y ＝x 对称， 2
则a ＋b ＝________.
答案 2
分析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为
⎧⎪a ＝－21x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－＋b 为同一直线，故得⎨2⎪b ＝4⎩ ，所以a ＋b ＝2.
例5 (1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
甲
分析：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b) ，则
k BB′·k l ＝－1，
b －4即1. a
∴a ＋3b －12＝0. ①
又由于线段BB′的中点坐标为
a b ＋4() ，且在直线l 上， 22
a b ＋4∴－－1＝0， 22
即3a －b －6＝0. ②
解①②，得a ＝3，b ＝3，∴B′(3,3)．
y －1x －4于是AB′的方程为 3－13－4
即2x ＋y －9＝0.
⎧⎧⎪3x －y －1＝0，⎪x ＝2，⎨解得⎨ ⎪2x ＋y －9＝0，⎪⎩⎩y ＝5，
即l 与AB′的交点坐标为P(2,5)．
324(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C′，求出C′的坐标为() ． 55
∴AC′所在直线的方程为
19x ＋17y －93＝0，
1126AC′和l 交点坐标为(，， 77
1126故Q 点坐标为(，． 77
点到直线的距离与对称问题
问题一：点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0) 的距离是多少？
d =
问题二：两平行直线l 1:Ax +By +C 1
=0与l 2:Ax +By +C 2=0之间的距离是多少？ d =
思考：已知∆ABC 中三顶点的坐标，怎样求∆ABC 的面积？
例1点P(－1,3) 到直线l ：y ＝k(x－2) 的距离的最大值等于________．
分析 直线l ：y ＝k(x－2) 的方程化为
kx －y －2k ＝0，所以点P(－1,3) 到该直线的距离为
d ＝3|k＋1|
k ＋1＝3k ＋2k ＋13k ＋11＋2k ， k ＋12k 由于≤1，所以d≤32. 即距离的最大值等于32. k ＋1
分析2：直线l ：y ＝k(x－2) 过定点Q(2,0)，所以所求距离的最大值即为|PQ|＝32. 练习：已知直线l 1过点A (1,3)，直线l 2过点B (-2,4) ，且两直线相互平行，求当两直线之
间的距离最大时，直线l 1的方程。
例2 直线l 1过点A(0,1)，l 2过点B(5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方
程．
分析：若l 1，l 2的斜率都存在时，设直线的斜率为k ，
由斜截式得l 1的方程
y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，
由点斜式可得l 2的方程y ＝k(x－5) ，即kx －y －5k ＝0.
在直线l 1上取点A(0,1)，则点A 到直线l 2的距离 d ＝|1＋5k|
1＋k ＝5，
12. 5∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝
∴l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.
若l 1、l 2的斜率不存在，
则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5. 同样满足条件．
则满足条件的直线方程有以下两组：
⎧⎪l 1：12x －5y ＋5＝0，⎨⎪l 2：12x －5y －60＝0；⎩ ⎧⎪l 1：x ＝0
，或⎨⎪l 2：x ＝5. ⎩
分析2：由题意可以设直线l 1的方程为Ax +By -B =0，直线l 2的方程为Ax +By -5A =0，则由l 1与l 2的距离为5可得
12=5⇒B =0或A =B 5所以当B =⎧⎪l 1：x ＝0
，0时，⎨⎪l 2：x ＝5. ⎩ 当A =⎧l 1：12x －5y ＋5＝0
，⎪12B ，⎨⎪⎩l 2：12x －5y －60＝0；5
问题三：点P (x 0, y 0) 关于直线l :Ax +By +C
关于一些特殊直线对称的直线的方程的结论：
①直线
②直线
③直线
④直线
⑤直线
⑥直线
⑦直线
⑧直线=0对称的点的坐标怎么求？ f (x , y ) =0关于x 轴对称的直线方程为f (x , -y ) =0； f (x , y ) =0关于y 轴对称的直线方程为f (-x , y ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =x 对称的直线方程为f (y , x ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =-x 对称的直线方程为f (-y , -x ) =0； f (x , y ) =0关于直线x =a 对称的直线方程为f (2a -x , y ) =0； f (x , y ) =0关于直线y =b 对称的直线方程为f (x ,2b -y ) =0； f (x , y ) =0关于原点对称的直线方程为f (-x , -y ) =0； f (x , y ) =0关于点(a , b ) 对称的直线方程为f (2a -x ,2b -y ) =0。
问题四：有关光线反射问题实为关于直线对称的问题。
例3 如下图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )
A ．210 B ．6 C ．33 D ．25
答案 A
分析： 如图，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4,2)、P 2(－2,0) ，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P 2|＝210，故选A.
思考：1、若要求第一条由点P 出发的光线所在直线的方程呢？
2、有关折叠问题实质是什么？
例4 将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合，则与点(－4,1) 重合的点是( )
A ．(4，－1) B ．(－4,3) C ．(－4，－3) D ．(8,3)
分析：以点(2,0)与(2,4)为端点的线段的垂直平分线为y ＝2，即为对称轴，故与点(－4,1)
重合的点是(－4,3) ．
1练习：若函数y ＝ax ＋8与y ＝－x ＋b 的图像关于直线y ＝x 对称， 2
则a ＋b ＝________.
答案 2
分析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为
⎧⎪a ＝－21x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－＋b 为同一直线，故得⎨2⎪b ＝4⎩ ，所以a ＋b ＝2.
例5 (1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
甲
分析：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a，b) ，则
k BB′·k l ＝－1，
b －4即1. a
∴a ＋3b －12＝0. ①
又由于线段BB′的中点坐标为
a b ＋4() ，且在直线l 上， 22
a b ＋4∴－－1＝0， 22
即3a －b －6＝0. ②
解①②，得a ＝3，b ＝3，∴B′(3,3)．
y －1x －4于是AB′的方程为 3－13－4
即2x ＋y －9＝0.
⎧⎧⎪3x －y －1＝0，⎪x ＝2，⎨解得⎨ ⎪2x ＋y －9＝0，⎪⎩⎩y ＝5，
即l 与AB′的交点坐标为P(2,5)．
324(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C′，求出C′的坐标为() ． 55
∴AC′所在直线的方程为
19x ＋17y －93＝0，
1126AC′和l 交点坐标为(，， 77
1126故Q 点坐标为(，． 77