1.1 因动点产生的相似三角形问题
例 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
1
满分解答
（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．
在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，
所以AH ＝1，OH
A (-1．
因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，
设y ＝ax (x －2) ，代入点
A (-
1，可得a =．
所以抛物线的表达式为y =2x (x -2) =x ． （2
）由y =2 x x =x -1) 2 ．所以tan ∠BOM =得抛物线的顶点M
的坐标为(1,
所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．
（3）由
A (-1、B (2,0)、
M (1,，
得tan ∠ABO =
，AB =
OM =
所以∠ABO ＝30
°，OA = OM
因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．
△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：
①如图3
，当BA OA ==
时，BC ==2．此时C (4,0)． BC OM BC OA ==
时，BC ==6．此时C (8,0)．
BA OM ②如图4
，当
图3 图4
2.2 由面积产生的函数关系问题
例 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y =-
y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数y =3x +3的图像与412x +bx +c 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四8
边形ABCD 能构成平行四边形．
（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？
②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B
的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得
到．
2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段
AP 、CQ 、AQ 的长表示出来．
3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．
满分解答
（1）由y =-3x +3，得A (0,3)，C (4,0)． 4
由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0) ，BC ＝8．
因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．
将B (－4,0) 、D (8,3)分别代入y =12⎧2-4b +c =0, x +bx +c ，得⎨8⎩8+8b +c =3.
解得b =-111，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为y =x 2-x -3． 484
4． 5（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ． 如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝
当PQ ⊥AC 时，AQ 45-t 425．
=．所以=．解得AP =t =AP 5t 59
图2 图3
②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．
111333AP ⋅QH =AP ⋅AQ sin ∠PAQ =t (5-t ) ⨯=-t 2+t ， 2225102
11S △ACD ＝AD ⋅OA =⨯8⨯3=12， 22
333581所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝12-(-t 2+t ) =(t -) 2+． 1021028
581所以当AP ＝时，四边形PDCQ 的最小值是． 28由于S △APQ ＝
3.3因动点产生的等腰三角形问题
例 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0) 、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P
AC
的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0) 、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3) ，
代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3) ＝－x 2＋2x ＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．
当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．
设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． BH PH 由，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． =BO CO
所以点P 的坐标为(1, 2)．
（3）点M 的坐标为(1, 1)、
、
(1,) 或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M 的坐标为(1,m ) ．
在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3) 2，MA 2＝4＋m 2．
①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3) 2，得m ＝1．
此时点M 的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10
，得m =．
此时点M 的坐标为
或
(1,．
③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3) 2＝10，得m ＝0或6．
当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
4.4几何证明及通过几何计算进行说理问题
例 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3) ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积；
②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．
满分解答
（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3) 分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得
⎧c =1, ⎧b =0, 解得 ⎨⎨⎩-4+2b +1=-3. ⎩c =1.
所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．
（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1) ，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．
解方程－x 2＋1＝2x
，得x =-1
所以点A
1．
因此正方形ABCD
的面积等于1)]2=12-
②设OP 与AB 交于点F
，那么PF =OP -OF =1-1) =3-=1) 2．
PF 2
所以tan ∠PAE ===1．
AF
又因为tan ∠PDA =tan ∠DPO =
所以∠P AE ＝∠PDA ．
OD =1， OP
又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：
如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1) ，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1) ＝x 2． PF x 2
所以tan ∠PAE ===x ． AF x
又因为tan ∠PDA =tan ∠DPO =OD =x ， OP
所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
1
满分解答
（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．
在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，
所以AH ＝1，OH
A (-1．
因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，
设y ＝ax (x －2) ，代入点
A (-
1，可得a =．
所以抛物线的表达式为y =2x (x -2) =x ． （2
）由y =2 x x =x -1) 2 ．所以tan ∠BOM =得抛物线的顶点M
的坐标为(1,
所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．
（3）由
A (-1、B (2,0)、
M (1,，
得tan ∠ABO =
，AB =
OM =
所以∠ABO ＝30
°，OA = OM
因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．
△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：
①如图3
，当BA OA ==
时，BC ==2．此时C (4,0)． BC OM BC OA ==
时，BC ==6．此时C (8,0)．
BA OM ②如图4
，当
图3 图4
2.2 由面积产生的函数关系问题
例 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y =-
y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数y =3x +3的图像与412x +bx +c 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四8
边形ABCD 能构成平行四边形．
（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？
②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B
的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得
到．
2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段
AP 、CQ 、AQ 的长表示出来．
3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．
满分解答
（1）由y =-3x +3，得A (0,3)，C (4,0)． 4
由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0) ，BC ＝8．
因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．
将B (－4,0) 、D (8,3)分别代入y =12⎧2-4b +c =0, x +bx +c ，得⎨8⎩8+8b +c =3.
解得b =-111，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为y =x 2-x -3． 484
4． 5（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ． 如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝
当PQ ⊥AC 时，AQ 45-t 425．
=．所以=．解得AP =t =AP 5t 59
图2 图3
②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．
111333AP ⋅QH =AP ⋅AQ sin ∠PAQ =t (5-t ) ⨯=-t 2+t ， 2225102
11S △ACD ＝AD ⋅OA =⨯8⨯3=12， 22
333581所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝12-(-t 2+t ) =(t -) 2+． 1021028
581所以当AP ＝时，四边形PDCQ 的最小值是． 28由于S △APQ ＝
3.3因动点产生的等腰三角形问题
例 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0) 、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P
AC
的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0) 、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3) ，
代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3) ＝－x 2＋2x ＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．
当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．
设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． BH PH 由，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． =BO CO
所以点P 的坐标为(1, 2)．
（3）点M 的坐标为(1, 1)、
、
(1,) 或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M 的坐标为(1,m ) ．
在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3) 2，MA 2＝4＋m 2．
①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3) 2，得m ＝1．
此时点M 的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10
，得m =．
此时点M 的坐标为
或
(1,．
③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3) 2＝10，得m ＝0或6．
当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
4.4几何证明及通过几何计算进行说理问题
例 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3) ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积；
②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．
满分解答
（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3) 分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得
⎧c =1, ⎧b =0, 解得 ⎨⎨⎩-4+2b +1=-3. ⎩c =1.
所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．
（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1) ，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．
解方程－x 2＋1＝2x
，得x =-1
所以点A
1．
因此正方形ABCD
的面积等于1)]2=12-
②设OP 与AB 交于点F
，那么PF =OP -OF =1-1) =3-=1) 2．
PF 2
所以tan ∠PAE ===1．
AF
又因为tan ∠PDA =tan ∠DPO =
所以∠P AE ＝∠PDA ．
OD =1， OP
又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：
如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1) ，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1) ＝x 2． PF x 2
所以tan ∠PAE ===x ． AF x
又因为tan ∠PDA =tan ∠DPO =OD =x ， OP
所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．