1.2.2函数的表示法
知识要点：
一．函数的表示方法：
1．解析法：用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
2．图像法：用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
3．列表法：列出 表示两个变量之间的对应关系的方法。
二．分段函数：在定义域内 上，有 的 的函数通常叫做分段函数，分段函数是 个函数。
三．映射的概念：
一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种，对于集合Ａ中的集合Ｂ中都有的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作。
给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的 ，而a 叫做b 的。 典型习题：
例1． 某种笔记本单价是5元，买x (x ∈{1, 2, 3, 4, 5}）个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函
数y =f (x ) 。
例2． 某市公共汽车的运营方式为“招手即停”, 票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元
（2）5公里以上，每增加5公里票价增加1元（不足5公里按5公里计算）
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式并画出图像。
题型一作出下列函数的图像：
1x 2-x y =, x ∈(1, +∞) （1）f (x ) =1-x , x ∈Z （2）y =x -4x +3, x ∈(-1, 3] （3）（4）f (x ) = x x -12
⎧1⎪, 0
⎪⎩x , x ≥1
分段函数问题：
⎧x +2, x ≤-1⎪2已知函数f (x ) =⎨x , -1
⎪2x , x ≥2⎩[]
⎧x +4, x ≤0⎪2练习：函数f (x ) =⎨x -2x , 0
⎪-x +2, x >4⎩[]
函数解析式的求法：
1．已知函数类型用待定系数法：
例（1）已知函数f (x ) 为一次函数，且f [f (x ) ]=4x -1，求函数f (x ) ；
（2）已知函数ϕ(x ) =f (x ) +g (x ) ，其中f (x ) 是正比例函数g (x ) 是反比例函数，且ϕ() =16, ϕ(1) =8，求函数ϕ(x ) 解析式。
练习：（1）已知f [f (x ) ]=2x -1，求一次函数f (x ) 。
(2)已知函数f (x ) 为二次函数，若f (0) =0, f (x +1) =f (x ) +x +1，求函数f (x ) 。
13
2． 换元法：
例. （1）已知f (x -1) =x 2+2，求f (x ) ；
（2）已知f (x +1) =x +2x ，求f (x ) ；
（3）已知f (x +
11) =(x -) 2，求f (x ) 。 x x
x +1x 2+11) =++1，求f (x ) 。 练习：(1)已知f (2x +1) =x +2x +1，求f (x ) (2)已知f (2x x x 2
3．解方程法：
12
x
（2）已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f (-x ) =x 2，求f (2) ，f (a ) ，及f (x ) 。
练习：已知函数f (x ) 满足f (x ) +2f () =3x ，求f (x ) 。
例（1）已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f () =x ，求f (2) ，f (a ) ，及f (x ) ； 1x
探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
① A ={1,4,9}, B ={-3, -2, -1,1,2,3}，对应法则：开平方；
② A ={-3, -2, -1,1,2,3}，B ={1,4,9}，对应法则：平方；
③ A ={30︒,45︒,60︒
}, B ={1}, 对应法则：求正弦. 2
新知：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f :A →B ”
关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .
试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？
反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.
※ 典型例题
例1下列对应是否是集合A 到集合B 的映射
（1）A =1,2,3,4}, B ={2,4,6,8}，对应法则是“乘以2”；
（2）A = R*，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；
（3）A ={x |x ≠0}, B =R ，对应法则是“求倒数”.
练习：判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射
①、A=R，B=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝, f ：x →y=|x|
﹡②、A=N，B=N，f ：x →y=|x-1|
2③A=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝，B=R，f ：x →y=x {
1.2.2函数的表示法
知识要点：
一．函数的表示方法：
1．解析法：用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
2．图像法：用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
3．列表法：列出 表示两个变量之间的对应关系的方法。
二．分段函数：在定义域内 上，有 的 的函数通常叫做分段函数，分段函数是 个函数。
三．映射的概念：
一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种，对于集合Ａ中的集合Ｂ中都有的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作。
给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的 ，而a 叫做b 的。 典型习题：
例1． 某种笔记本单价是5元，买x (x ∈{1, 2, 3, 4, 5}）个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函
数y =f (x ) 。
例2． 某市公共汽车的运营方式为“招手即停”, 票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元
（2）5公里以上，每增加5公里票价增加1元（不足5公里按5公里计算）
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式并画出图像。
题型一作出下列函数的图像：
1x 2-x y =, x ∈(1, +∞) （1）f (x ) =1-x , x ∈Z （2）y =x -4x +3, x ∈(-1, 3] （3）（4）f (x ) = x x -12
⎧1⎪, 0
⎪⎩x , x ≥1
分段函数问题：
⎧x +2, x ≤-1⎪2已知函数f (x ) =⎨x , -1
⎪2x , x ≥2⎩[]
⎧x +4, x ≤0⎪2练习：函数f (x ) =⎨x -2x , 0
⎪-x +2, x >4⎩[]
函数解析式的求法：
1．已知函数类型用待定系数法：
例（1）已知函数f (x ) 为一次函数，且f [f (x ) ]=4x -1，求函数f (x ) ；
（2）已知函数ϕ(x ) =f (x ) +g (x ) ，其中f (x ) 是正比例函数g (x ) 是反比例函数，且ϕ() =16, ϕ(1) =8，求函数ϕ(x ) 解析式。
练习：（1）已知f [f (x ) ]=2x -1，求一次函数f (x ) 。
(2)已知函数f (x ) 为二次函数，若f (0) =0, f (x +1) =f (x ) +x +1，求函数f (x ) 。
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2． 换元法：
例. （1）已知f (x -1) =x 2+2，求f (x ) ；
（2）已知f (x +1) =x +2x ，求f (x ) ；
（3）已知f (x +
11) =(x -) 2，求f (x ) 。 x x
x +1x 2+11) =++1，求f (x ) 。 练习：(1)已知f (2x +1) =x +2x +1，求f (x ) (2)已知f (2x x x 2
3．解方程法：
12
x
（2）已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f (-x ) =x 2，求f (2) ，f (a ) ，及f (x ) 。
练习：已知函数f (x ) 满足f (x ) +2f () =3x ，求f (x ) 。
例（1）已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f () =x ，求f (2) ，f (a ) ，及f (x ) ； 1x
探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
① A ={1,4,9}, B ={-3, -2, -1,1,2,3}，对应法则：开平方；
② A ={-3, -2, -1,1,2,3}，B ={1,4,9}，对应法则：平方；
③ A ={30︒,45︒,60︒
}, B ={1}, 对应法则：求正弦. 2
新知：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f :A →B ”
关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .
试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？
反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.
※ 典型例题
例1下列对应是否是集合A 到集合B 的映射
（1）A =1,2,3,4}, B ={2,4,6,8}，对应法则是“乘以2”；
（2）A = R*，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；
（3）A ={x |x ≠0}, B =R ，对应法则是“求倒数”.
练习：判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射
①、A=R，B=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝, f ：x →y=|x|
﹡②、A=N，B=N，f ：x →y=|x-1|
2③A=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝，B=R，f ：x →y=x {