高中数学易错题集
函数错题集 1． 方程组⎨
⎧x +y =1
的解集是___________
⎩x -y =-1
[错解一]{x =0, y =1}或{0,1}[错解二]{(x , y )x =0ory =1}
[错解分析]用列举法把答案写成{x =0, y =1}或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1}≠{(0,1)}．或用描述法把集合写成{(x , y )x =0ory =1}也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点(0, y )或(x ,1) [正解]{(0,1)} 2． " x ≠2且y ≠3" 是" x +y ≠5" 的____________条件
[错解]充分但不必要条件 [错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件
3．在R 内，下列对应是否是一对一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x →y =kx （2）x →y =x
[错解]上述对应皆为一对一映射[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨 [正解]（1）k =0时，不是一对一映射，k ≠0时，是一对一映射 （2）不是一对一映射，当x ≥0(或x ≤0) 时，是一对一映射
x 2
4．若函数f (x -3) =lg 2，则f (x ) 的定义域为
x -4
2
2
[错解]x x >2orx
{}()
[正解]x x >1
{}
5
．函数f (x ) =(x - ______ [错解]f (x ) 为偶函数[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误[正解] f (x ) 为非奇非偶函数 6．函数y =x (x ≤-1) 的反函数是________________ [错解
]y =
2
x ≥0) [错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定[正解
]y =x ≥1)
2
７．当x ∈[0,2]时，函数f (x ) =ax +4(a -1) -3在x =2时取最大值，则实数a 的取值范围是
______________
[错解]⎨a a ≥
⎧⎩2⎫⎧2⎫ora
8．若x 2+y 2=4，那么x 2+8y -5的最大值为__________ [错解]10、12、15[错解分析]忽略了y ∈[-2,2]的限制[正解]11
12
x +nx +m >0的解集为{x 2
12
[错解]不等式可设为(x -2)(x -4)>0这个不等式x +nx +m >0应与同解
m 1-68
；当m =-
, n =∴=
=∴m =±
m =
n =
n m m
9．若不等式
∴
所求的不等式为
的隐含条件 [正解
]
x 2-
x +>
02+x -0[错解分析]忽略了m 0即-x 2+6x -8>0
210．设关于x 的二次方程7x 2-(k +13) x +k 2-k -2=0的两根x 1, x 2满足0
0
⎧1
⎩0
k +13⎧
1
⎪
k 2-k -2⎪
-1) ⋃(2,1[错解分析]从第一步到第二解:⎨得k ∈(10
7⎪
⎪∆=(k +13) 2-28(k 2-k -2) ≥0⎪⎩
步导致了范围的扩大[正解]设f (x ) =7x 2-(k +13) x +k 2-k -2=0 方程f (x ) =0的两个根x 1, x 2满足0
2
⎧f (0)>0⎧k -k -2>0⎪⎪
∴⎨f (1)0⎪k 2-3k >0⎩⎩
∴k ∈(-2, -1) ⋃(3,4)
向量、三角函数
1已知方程x +4ax +3a +1=0（a 为大于1的常数）的两根为tan α，tan β， 且α、β∈ -
2
α+β⎛ππ⎫
的值是_________________. , ⎪，则tan 2⎝22⎭
2
错误分析：忽略了隐含限制tan α, tan β是方程x +4ax +3a +1=0的两个负根，从而导致错误. 正确解法： a >1 ∴t a n α+t a n β=-4a o ∴tan α, tan β是方程x +4ax +3a +1=0的两个负根 又α, β∈ -
2
α+β⎛π⎫⎛ππ⎫⎛π⎫, ⎪ ∴α, β∈ -, 0⎪ 即∈ -, 0⎪ 2222⎝⎭⎝⎭⎝2⎭
4α+βtan α+tan β-4a
=-2. ==可得tan 21-tan α⋅tan β1-3a +13
由tan
答案: -2 .
(α+β)=
2若向量=(x , 2x )，=(-3x , 2)，且，的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.
错误分析：只由a , b 的夹角为钝角得到a ⋅b
为a , b 的夹角为180时也有a ⋅b
2
正确解法: ，的夹角为钝角, ∴a ⋅b =x ⋅(-3x )+2x ⋅2=-3x +4x
4
(1) 3
1
又由a , b 共线且反向可得x =- (2)
3
解得x
由(1),(2)得x 的范围是 -∞, -
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛4⎫
⎪ -, 0⎪ , +∞⎪ 3⎭⎝3⎭⎝3⎭
答案: -∞, -
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛4⎫
⎪ -, 0⎪ , +∞⎪. 3⎭⎝3⎭⎝3⎭
⎛⎝
3为了得到函数y =sin 2x -
π⎫
⎪的图象，可以将函数y =cos 2x 的图象（ ） 6⎭
A 向右平移
ππππ B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移 6363
错误分析:审题不仔细, 把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
答案: B
4 函数y =sin x 1+tan x ⋅tan ⎪的最小正周期为 ( )
⎛⎝x ⎫2⎭
A
π B 2π C
π3π D
22
错误分析:将函数解析式化为y =tan x 后得到周期T =π, 而忽视了定义域的限制, 导致出错. 答案: B 5
2
已知5cos α+4cos 2β=4cos α, 则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________.错误分析:由
5225cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α-cos 2α代入cos α+cos β中, 化为关于cos α
4
的二次函数在[-1, 1]上的范围, 而忽视了cos α的隐含限制, 导致错误. 答案: ⎢0,
5⎡16⎤2222
cos β=cos α-cos α (1) . 略解: 由得5cos α+4cos β=4cos α⎥4⎣25⎦
c o 2s β∈[0, 1]
⎡4⎤22
∴cos α∈⎢0, ⎥ 将（1）代入c o αs +c o βs 得
⎣5⎦
cos 2α+cos 2β=-
116⎤(cos α-2)2+1∈⎡. 0, ⎢⎥425⎣⎦
6若A ∈(0, π), 且sin A +cos A =
75sin A +4cos A
=_______________. , 则
1315sin A -7cos A
722
错误分析:直接由sin A +cos A =, 及sin A +cos A =1求sin A , cos A 的值代入求得两解, 忽略隐
13
8⎛π⎫
. , π⎪出错. 答案: 432⎝⎭
含限制A ∈
7在∆ABC 中, a =5, b =8, C =60︒, 则⋅的值为 ( )
A 20 B -20 C D -3 错误分析:
=C =60︒, 从而出错. 答案: B
略解:
=120︒, 故⋅
=5⨯8⨯ -
⎛1⎫
⎪=-20. ⎝2⎭
8 关于非零向量a 和b ，有下列四个命题：
a （1）“a +b =a +b ”的充要条件是“和b 的方向相同”；
（2）“a +b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”；
（3）“a +b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“a -b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
错误分析:对不等式a -b ≤a ±b ≤a +的认识不清. 答案: B.
⎛33⎫ ⎛x x ⎫⎡π⎤
9 已知向量a = cos x , sin x ⎪, b = cos , -sin ⎪, 且x ∈⎢0, ⎥, 求
22⎭22⎭⎝⎝⎣2⎦
(1) a ⋅b 及a +b ;
3
(2)若f (x )=a ⋅b -2λa +b 的最小值是-, 求实数λ的值.
2
错误分析:(1)求出a +b =2+2cos 2x 后, 而不知进一步化为2cos x , 人为增加难度;
(2)化为关于cos x 的二次函数在[0, 1]的最值问题, 不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求a ⋅b =cos 2x , a +b =2cos x ;
2
(2) f (x )=a ⋅b -2λa +b =cos 2x -2λ⋅2cos x =2cos x -4λcos x -1
=2(cos x -λ)-2λ2-1
2
x ∈⎢0,
⎡π⎤
∴c o s x ∈[0, 1] ⎥2⎣⎦
从而:当λ≤0时, f (x )min =-1与题意矛盾, λ≤0 不合题意;
2
当0
321 ; 2
当λ≥1时, f (x )min =1-4λ=-, 解得λ= 综合可得: 实数λ的值为
325
, 不满足λ≥1; 8
1. 2
10 在∆ABC 中, 已知=(2, 3), =(1, k ), 且∆ABC 的一个内角为直角, 求实数k 的值.
错误分析:是自以为是, 凭直觉认为某个角度是直角, 而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若∠BAC =90︒, 即⊥AC
故⋅=0, 从而2+3k =0, 解得k =-
2; 3
(2)若∠BCA =90︒, 即⊥, 也就是⋅=0, 而=-=(-1, k -3), 故
-1+k (k -3)=0, 解得k =
3±; 2
(3)若∠ABC =90︒, 即⊥, 也就是⋅=0, 而=(-1, k -3), 故
-2+3(k -3)=0, 解得k =
综合上面讨论可知, k =-数列
11. 3
2113±或k =或k =. 332
1．在等比数列{a n }中，若a 3=-9, a 7=-1, 则a 5的值为____________ [错解]3或-3
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解]-3
2．实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若
S 1031
=，则公比q 等于________- S 532
[错解]
1 81 2
[错解分析]用前n 项的和公式求解本题, 计算量大, 出错, 应活用性质 [正解]-
3．从集合{1, 2, 3, 4, ⋅⋅⋅, 20}中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有-_________ [错解]90个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况, 思考欠全面 [正解]180个
*
4．设数列{a n }, {b n }(b n >0), n ∈N 满足a n =
lg b 1+lg b 2+⋅⋅⋅+lg b n
，则{a n }为等差数列是{b n }为等比
n
数列的____________条件 [错解]充分
[错解分析] 对数运算不清, 判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要
5．若数列{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ，则b n =
*
S n
, n ∈N *, {b n }也是等差数列，类比以上性质，n
等比数列{c n }, c n >0, n ∈N ，则d n =__________，{d n }也是等比数列 [错解]
S n
n
S n
仔细分析, 其为算术平均数, n
[错解分析] 没有对[正解
6．已知数列{a n }中，a 1=3, a 2=6, a n +2=a n +1-a n , 则a 2003等于______________ [错解]6或 3或-3
[错解分析] 盲目下结论, 没能归纳出该数列项的特点 [正解]-6
7．已知数列{a n }中，a n =n 2+λn （λ是与n 无关的实数常数），且满足a 1
[错解分析]审题不清, 若能结合函数分析会较好 [正解](-3, +∞)
8．一种产品的年产量第一年为a 件，第二年比第一年增长p 1﹪，第三年比第二年增长p 2﹪，且
p 1>0, p 2>0, p 1+p 2=2p ，若年平均增长x ﹪，则有x ___p (填≤或≥或=)
[错解]≥
[错解分析]实际问题的处理较生疏, 基本不等式的使用不娴熟 [正解]≤
⒐设数列的前n 项和为S n =n 2+2n +4(n ∈N +) ，求这个数列的通项公公式 [错解]
a n =S n -S n -1, ∴a n =2n +1(n ∈N
*
)
*
[错解分析]此题错在没有分析n =1的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有a n =S n -S n -1n ∈N
()
[正解]
n =1时, a 1=S 1=7,
n ≥2时, a n =S n -S n -1=2n -1
因此数列的通项公式是a n =⎨
⎧7(n =1) ⎩2n +1(n ≥2)
1
16
⒑已知一个等比数列{a n }前四项之积为[错解]
四个数成等比数列，可设其分别为
a a 3
, , aq , aq ,
3
q q
1⎧4
a =⎪16⎪
则有⎨q =
1或q =1，
a ⎪+aq =⎪⎩
q
故原数列的公比为q 2=3+
q 2=3-
[错解分析]按上述设法，等比数列公比q 2>0，各项一定同号，而原题中无此条件 [正解]设四个数分别为a , aq , aq 2, aq 3,
⎧461
4⎪a q =
16，∴(1+q )=64q 2由q >
0时，可得q 2-6q +1=0, ∴q =3± 则⎨
⎪aq +aq 2=⎩
当q
0时，可得q 2+10q +1=0, ∴q =-5-不等式
1、 设f (x ) =lg x , 若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1
错解原因是没有数形结合意识, 正解是作出函数f (x ) =lg x 的图象, 由图可得出选D. 2、 设x , y ∈R , 则使x +y >1成立的充分不必要条件是
A x +y ≥1 B x >
11
或y > C x ≥1 D x
错解:选B, 对充分不必要条件的概念理解不清, “或”与“且”概念不清，正确答案为D 。 3、
不等式(x -≥0的解集是
A {x |x >1} B {x |x ≥1} C {x |x ≥-2且x ≠1} D {x |x =-2或x ≥1}
错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D 。
4、 某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x, 则
A x =
a +b a +b a +b a +b
B x ≤ C x > D x ≥ 2222
错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B 。 5、 已知-1
[1**********]13, ) B (-, ) C (-, ) D (-, ) 22222222
错解：对条件“-1
51
扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)-(a-b),求出结果为D 。
22
A (-
b 2
+a 2=
1，则6、 设a ≥0, b ≥0, 2
b 2b 222
+a =1得：a =1-，且错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由a ≥0, b ≥0, 22
0≤b ≤1，原式
=1。
2
7
、若x , y ∈R +, a 的最小值是m +n , ≤，
即
2 错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：
由
≤a
8、 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x +)(y +
1
x 1
) 的最小值为。 y
错解一、因为对a>0,恒有a +
111
≥2, 从而z=(x +)(y +) ≥4, 所以z 的最小值是4。 a x y
2+x 2y 2-2xy 2错解二
、z ==(+xy ) -
2≥-2=1) ，所以z 的最小值
是
xy xy 1) 。
错解分析：解一等号成立的条件是x =
11
且y =, 即x =1且y =1, 与x +y =1相矛盾。解二等号成立的
x y
条件是
12
=xy , 即xy =0
4xy
111y x 1(x +y ) 2-2xy 2++=xy ++正解：z=(x +)(y +) =xy +=+xy -2，令t=xy, 则
x y xy x y xy xy xy 0
x +y 212⎛1⎤12
) =，由f (t ) =t +在 0, ⎥上单调递减, 故当t=时 f (t ) =t +有最小值24t ⎝4⎦4t
33125
, 所以当x =y =时z 有最小值。
244
9、是否存在常数 c ，使得不等式
x y x y
+≤c ≤+对任意正数 x,y 恒成立？
2x +y x +2y x +2y 2x +y
错解：证明不等式
x y x y +≤+恒成立，故说明c 存在。
2x +y x +2y x +2y 2x +y
正解：令x=y得
222x y 2x y ≤c ≤，故猜想c=, 下证不等式+≤≤+恒成立。 3332x +y x +2y 3x +2y 2x +y
要证不等式
x y 2+≤，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即
2x +y x +2y 3
证3x 2+12xy +3y 2≤2(2x 2+2y 2+5xy ) , 即2xy ≤x 2+y 2，而此不等式恒成立，同理不等式
22x y
也成立，故存在c=使原不等式恒成立。 ≤+
33x +2y 2x +y
2
10、已知适合不等式x -4x +p +x -3≤5的x 的最大值为3，求p 的值。
错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。
2
正解：因为x 的最大值为3，故x-3
x 2-5x +p -2≤0(1)
即-x -2≤x -4x +p ≤x +2，则{2，
x -3x +p +2≥0(2)
2
设（1）（2）的根分别为x 1、x 2(x 2>x 1), x 3、x 4(x 4>x 3) ，则x 2=3或x 4=3 若x 2=3，则9-15+p-2=0，p=8 若x 4=3，则9-9+p+2=0,p=-2 当a=-2时，原方程组无解，则p=8
高中数学易错题集
函数错题集 1． 方程组⎨
⎧x +y =1
的解集是___________
⎩x -y =-1
[错解一]{x =0, y =1}或{0,1}[错解二]{(x , y )x =0ory =1}
[错解分析]用列举法把答案写成{x =0, y =1}或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1}≠{(0,1)}．或用描述法把集合写成{(x , y )x =0ory =1}也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点(0, y )或(x ,1) [正解]{(0,1)} 2． " x ≠2且y ≠3" 是" x +y ≠5" 的____________条件
[错解]充分但不必要条件 [错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件
3．在R 内，下列对应是否是一对一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x →y =kx （2）x →y =x
[错解]上述对应皆为一对一映射[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨 [正解]（1）k =0时，不是一对一映射，k ≠0时，是一对一映射 （2）不是一对一映射，当x ≥0(或x ≤0) 时，是一对一映射
x 2
4．若函数f (x -3) =lg 2，则f (x ) 的定义域为
x -4
2
2
[错解]x x >2orx
{}()
[正解]x x >1
{}
5
．函数f (x ) =(x - ______ [错解]f (x ) 为偶函数[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误[正解] f (x ) 为非奇非偶函数 6．函数y =x (x ≤-1) 的反函数是________________ [错解
]y =
2
x ≥0) [错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定[正解
]y =x ≥1)
2
７．当x ∈[0,2]时，函数f (x ) =ax +4(a -1) -3在x =2时取最大值，则实数a 的取值范围是
______________
[错解]⎨a a ≥
⎧⎩2⎫⎧2⎫ora
8．若x 2+y 2=4，那么x 2+8y -5的最大值为__________ [错解]10、12、15[错解分析]忽略了y ∈[-2,2]的限制[正解]11
12
x +nx +m >0的解集为{x 2
12
[错解]不等式可设为(x -2)(x -4)>0这个不等式x +nx +m >0应与同解
m 1-68
；当m =-
, n =∴=
=∴m =±
m =
n =
n m m
9．若不等式
∴
所求的不等式为
的隐含条件 [正解
]
x 2-
x +>
02+x -0[错解分析]忽略了m 0即-x 2+6x -8>0
210．设关于x 的二次方程7x 2-(k +13) x +k 2-k -2=0的两根x 1, x 2满足0
0
⎧1
⎩0
k +13⎧
1
⎪
k 2-k -2⎪
-1) ⋃(2,1[错解分析]从第一步到第二解:⎨得k ∈(10
7⎪
⎪∆=(k +13) 2-28(k 2-k -2) ≥0⎪⎩
步导致了范围的扩大[正解]设f (x ) =7x 2-(k +13) x +k 2-k -2=0 方程f (x ) =0的两个根x 1, x 2满足0
2
⎧f (0)>0⎧k -k -2>0⎪⎪
∴⎨f (1)0⎪k 2-3k >0⎩⎩
∴k ∈(-2, -1) ⋃(3,4)
向量、三角函数
1已知方程x +4ax +3a +1=0（a 为大于1的常数）的两根为tan α，tan β， 且α、β∈ -
2
α+β⎛ππ⎫
的值是_________________. , ⎪，则tan 2⎝22⎭
2
错误分析：忽略了隐含限制tan α, tan β是方程x +4ax +3a +1=0的两个负根，从而导致错误. 正确解法： a >1 ∴t a n α+t a n β=-4a o ∴tan α, tan β是方程x +4ax +3a +1=0的两个负根 又α, β∈ -
2
α+β⎛π⎫⎛ππ⎫⎛π⎫, ⎪ ∴α, β∈ -, 0⎪ 即∈ -, 0⎪ 2222⎝⎭⎝⎭⎝2⎭
4α+βtan α+tan β-4a
=-2. ==可得tan 21-tan α⋅tan β1-3a +13
由tan
答案: -2 .
(α+β)=
2若向量=(x , 2x )，=(-3x , 2)，且，的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.
错误分析：只由a , b 的夹角为钝角得到a ⋅b
为a , b 的夹角为180时也有a ⋅b
2
正确解法: ，的夹角为钝角, ∴a ⋅b =x ⋅(-3x )+2x ⋅2=-3x +4x
4
(1) 3
1
又由a , b 共线且反向可得x =- (2)
3
解得x
由(1),(2)得x 的范围是 -∞, -
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛4⎫
⎪ -, 0⎪ , +∞⎪ 3⎭⎝3⎭⎝3⎭
答案: -∞, -
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛4⎫
⎪ -, 0⎪ , +∞⎪. 3⎭⎝3⎭⎝3⎭
⎛⎝
3为了得到函数y =sin 2x -
π⎫
⎪的图象，可以将函数y =cos 2x 的图象（ ） 6⎭
A 向右平移
ππππ B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移 6363
错误分析:审题不仔细, 把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
答案: B
4 函数y =sin x 1+tan x ⋅tan ⎪的最小正周期为 ( )
⎛⎝x ⎫2⎭
A
π B 2π C
π3π D
22
错误分析:将函数解析式化为y =tan x 后得到周期T =π, 而忽视了定义域的限制, 导致出错. 答案: B 5
2
已知5cos α+4cos 2β=4cos α, 则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________.错误分析:由
5225cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α-cos 2α代入cos α+cos β中, 化为关于cos α
4
的二次函数在[-1, 1]上的范围, 而忽视了cos α的隐含限制, 导致错误. 答案: ⎢0,
5⎡16⎤2222
cos β=cos α-cos α (1) . 略解: 由得5cos α+4cos β=4cos α⎥4⎣25⎦
c o 2s β∈[0, 1]
⎡4⎤22
∴cos α∈⎢0, ⎥ 将（1）代入c o αs +c o βs 得
⎣5⎦
cos 2α+cos 2β=-
116⎤(cos α-2)2+1∈⎡. 0, ⎢⎥425⎣⎦
6若A ∈(0, π), 且sin A +cos A =
75sin A +4cos A
=_______________. , 则
1315sin A -7cos A
722
错误分析:直接由sin A +cos A =, 及sin A +cos A =1求sin A , cos A 的值代入求得两解, 忽略隐
13
8⎛π⎫
. , π⎪出错. 答案: 432⎝⎭
含限制A ∈
7在∆ABC 中, a =5, b =8, C =60︒, 则⋅的值为 ( )
A 20 B -20 C D -3 错误分析:
=C =60︒, 从而出错. 答案: B
略解:
=120︒, 故⋅
=5⨯8⨯ -
⎛1⎫
⎪=-20. ⎝2⎭
8 关于非零向量a 和b ，有下列四个命题：
a （1）“a +b =a +b ”的充要条件是“和b 的方向相同”；
（2）“a +b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”；
（3）“a +b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“a -b =a -b ” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
错误分析:对不等式a -b ≤a ±b ≤a +的认识不清. 答案: B.
⎛33⎫ ⎛x x ⎫⎡π⎤
9 已知向量a = cos x , sin x ⎪, b = cos , -sin ⎪, 且x ∈⎢0, ⎥, 求
22⎭22⎭⎝⎝⎣2⎦
(1) a ⋅b 及a +b ;
3
(2)若f (x )=a ⋅b -2λa +b 的最小值是-, 求实数λ的值.
2
错误分析:(1)求出a +b =2+2cos 2x 后, 而不知进一步化为2cos x , 人为增加难度;
(2)化为关于cos x 的二次函数在[0, 1]的最值问题, 不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求a ⋅b =cos 2x , a +b =2cos x ;
2
(2) f (x )=a ⋅b -2λa +b =cos 2x -2λ⋅2cos x =2cos x -4λcos x -1
=2(cos x -λ)-2λ2-1
2
x ∈⎢0,
⎡π⎤
∴c o s x ∈[0, 1] ⎥2⎣⎦
从而:当λ≤0时, f (x )min =-1与题意矛盾, λ≤0 不合题意;
2
当0
321 ; 2
当λ≥1时, f (x )min =1-4λ=-, 解得λ= 综合可得: 实数λ的值为
325
, 不满足λ≥1; 8
1. 2
10 在∆ABC 中, 已知=(2, 3), =(1, k ), 且∆ABC 的一个内角为直角, 求实数k 的值.
错误分析:是自以为是, 凭直觉认为某个角度是直角, 而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若∠BAC =90︒, 即⊥AC
故⋅=0, 从而2+3k =0, 解得k =-
2; 3
(2)若∠BCA =90︒, 即⊥, 也就是⋅=0, 而=-=(-1, k -3), 故
-1+k (k -3)=0, 解得k =
3±; 2
(3)若∠ABC =90︒, 即⊥, 也就是⋅=0, 而=(-1, k -3), 故
-2+3(k -3)=0, 解得k =
综合上面讨论可知, k =-数列
11. 3
2113±或k =或k =. 332
1．在等比数列{a n }中，若a 3=-9, a 7=-1, 则a 5的值为____________ [错解]3或-3
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解]-3
2．实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若
S 1031
=，则公比q 等于________- S 532
[错解]
1 81 2
[错解分析]用前n 项的和公式求解本题, 计算量大, 出错, 应活用性质 [正解]-
3．从集合{1, 2, 3, 4, ⋅⋅⋅, 20}中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有-_________ [错解]90个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况, 思考欠全面 [正解]180个
*
4．设数列{a n }, {b n }(b n >0), n ∈N 满足a n =
lg b 1+lg b 2+⋅⋅⋅+lg b n
，则{a n }为等差数列是{b n }为等比
n
数列的____________条件 [错解]充分
[错解分析] 对数运算不清, 判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要
5．若数列{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ，则b n =
*
S n
, n ∈N *, {b n }也是等差数列，类比以上性质，n
等比数列{c n }, c n >0, n ∈N ，则d n =__________，{d n }也是等比数列 [错解]
S n
n
S n
仔细分析, 其为算术平均数, n
[错解分析] 没有对[正解
6．已知数列{a n }中，a 1=3, a 2=6, a n +2=a n +1-a n , 则a 2003等于______________ [错解]6或 3或-3
[错解分析] 盲目下结论, 没能归纳出该数列项的特点 [正解]-6
7．已知数列{a n }中，a n =n 2+λn （λ是与n 无关的实数常数），且满足a 1
[错解分析]审题不清, 若能结合函数分析会较好 [正解](-3, +∞)
8．一种产品的年产量第一年为a 件，第二年比第一年增长p 1﹪，第三年比第二年增长p 2﹪，且
p 1>0, p 2>0, p 1+p 2=2p ，若年平均增长x ﹪，则有x ___p (填≤或≥或=)
[错解]≥
[错解分析]实际问题的处理较生疏, 基本不等式的使用不娴熟 [正解]≤
⒐设数列的前n 项和为S n =n 2+2n +4(n ∈N +) ，求这个数列的通项公公式 [错解]
a n =S n -S n -1, ∴a n =2n +1(n ∈N
*
)
*
[错解分析]此题错在没有分析n =1的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有a n =S n -S n -1n ∈N
()
[正解]
n =1时, a 1=S 1=7,
n ≥2时, a n =S n -S n -1=2n -1
因此数列的通项公式是a n =⎨
⎧7(n =1) ⎩2n +1(n ≥2)
1
16
⒑已知一个等比数列{a n }前四项之积为[错解]
四个数成等比数列，可设其分别为
a a 3
, , aq , aq ,
3
q q
1⎧4
a =⎪16⎪
则有⎨q =
1或q =1，
a ⎪+aq =⎪⎩
q
故原数列的公比为q 2=3+
q 2=3-
[错解分析]按上述设法，等比数列公比q 2>0，各项一定同号，而原题中无此条件 [正解]设四个数分别为a , aq , aq 2, aq 3,
⎧461
4⎪a q =
16，∴(1+q )=64q 2由q >
0时，可得q 2-6q +1=0, ∴q =3± 则⎨
⎪aq +aq 2=⎩
当q
0时，可得q 2+10q +1=0, ∴q =-5-不等式
1、 设f (x ) =lg x , 若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1
错解原因是没有数形结合意识, 正解是作出函数f (x ) =lg x 的图象, 由图可得出选D. 2、 设x , y ∈R , 则使x +y >1成立的充分不必要条件是
A x +y ≥1 B x >
11
或y > C x ≥1 D x
错解:选B, 对充分不必要条件的概念理解不清, “或”与“且”概念不清，正确答案为D 。 3、
不等式(x -≥0的解集是
A {x |x >1} B {x |x ≥1} C {x |x ≥-2且x ≠1} D {x |x =-2或x ≥1}
错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D 。
4、 某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x, 则
A x =
a +b a +b a +b a +b
B x ≤ C x > D x ≥ 2222
错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B 。 5、 已知-1
[1**********]13, ) B (-, ) C (-, ) D (-, ) 22222222
错解：对条件“-1
51
扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)-(a-b),求出结果为D 。
22
A (-
b 2
+a 2=
1，则6、 设a ≥0, b ≥0, 2
b 2b 222
+a =1得：a =1-，且错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由a ≥0, b ≥0, 22
0≤b ≤1，原式
=1。
2
7
、若x , y ∈R +, a 的最小值是m +n , ≤，
即
2 错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：
由
≤a
8、 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x +)(y +
1
x 1
) 的最小值为。 y
错解一、因为对a>0,恒有a +
111
≥2, 从而z=(x +)(y +) ≥4, 所以z 的最小值是4。 a x y
2+x 2y 2-2xy 2错解二
、z ==(+xy ) -
2≥-2=1) ，所以z 的最小值
是
xy xy 1) 。
错解分析：解一等号成立的条件是x =
11
且y =, 即x =1且y =1, 与x +y =1相矛盾。解二等号成立的
x y
条件是
12
=xy , 即xy =0
4xy
111y x 1(x +y ) 2-2xy 2++=xy ++正解：z=(x +)(y +) =xy +=+xy -2，令t=xy, 则
x y xy x y xy xy xy 0
x +y 212⎛1⎤12
) =，由f (t ) =t +在 0, ⎥上单调递减, 故当t=时 f (t ) =t +有最小值24t ⎝4⎦4t
33125
, 所以当x =y =时z 有最小值。
244
9、是否存在常数 c ，使得不等式
x y x y
+≤c ≤+对任意正数 x,y 恒成立？
2x +y x +2y x +2y 2x +y
错解：证明不等式
x y x y +≤+恒成立，故说明c 存在。
2x +y x +2y x +2y 2x +y
正解：令x=y得
222x y 2x y ≤c ≤，故猜想c=, 下证不等式+≤≤+恒成立。 3332x +y x +2y 3x +2y 2x +y
要证不等式
x y 2+≤，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即
2x +y x +2y 3
证3x 2+12xy +3y 2≤2(2x 2+2y 2+5xy ) , 即2xy ≤x 2+y 2，而此不等式恒成立，同理不等式
22x y
也成立，故存在c=使原不等式恒成立。 ≤+
33x +2y 2x +y
2
10、已知适合不等式x -4x +p +x -3≤5的x 的最大值为3，求p 的值。
错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。
2
正解：因为x 的最大值为3，故x-3
x 2-5x +p -2≤0(1)
即-x -2≤x -4x +p ≤x +2，则{2，
x -3x +p +2≥0(2)
2
设（1）（2）的根分别为x 1、x 2(x 2>x 1), x 3、x 4(x 4>x 3) ，则x 2=3或x 4=3 若x 2=3，则9-15+p-2=0，p=8 若x 4=3，则9-9+p+2=0,p=-2 当a=-2时，原方程组无解，则p=8