奖学金发放

奖学金的运营方式

摘要

学校收到一笔1000万元的社会捐款，打算将其存入银行，不同的存款方式会有不同的最终奖学金数额，本论文就是通过建模找出使奖学金最大化的存款方式。

第一个问题是要使使奖学金数额最大，通过查询可知不同存款期限的存款利率不同，为了使奖学金最大化要使奖学金不能出现闲置。又因为奖学金都是在年末发放，所以活期、三个月、半年期都不能选择，依题意可以建立线性方程组，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖学金的最大额：Z=42.43943 万元。通过解线性方程组还可以求解出每年的各种期限存款的存款额度。

第二个问题是在第七年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓励学生在这一年中奖学金数额要比往年增加30%，这一问可以利用问题一的模型，只需要把第七年的奖学金改为原来的1.3倍。解出线性方程组，此种情况下的奖学金数额是41.28148万元。

关键词 线性方程组 lingo软件 最大奖学金额 增加30%

一、问题重述

现在每个学校发奖学金是个很普遍的现象。每年学校都会拿出一部分奖学金来发给优秀学生，本文就是要找出使奖学金最大化的理财方式。

某学校收到一笔数额为1000万元的捐款，可以采取将其存入银行的方式来运营发放奖学金。银行可以随时存款，学校计划在10年内每年拿出一部分资金来奖励优秀学生，要求每年的奖学金数额基本相同。在10年后仍保留原资金数额。为了这个选出最佳的存款方式，题目中要求计算出两种情况下的存款方式。问题一要寻找出最优的存款方式。条件中有各种存款期限的基准。根据表中的数据找出最优的存款方式。问题二中要解决学校在第七年要进行50周年校庆 ，基金会决定这一年发放的奖学金数目要比其他年份多30%，其他年份奖学金数额不变。

中国人民银行公布的各种存款基准利率如下表。

表1：中国人民银行存款基准利率（2015.5.11）

二、模型假设

1、假设每年发放的奖学金数额都是相同的。 2、假设10年内存款基准利率不变。

3、假设资金在年初到位，奖学金在年末发放。 4、假设资金不会发生闲置的情况。

三、符号说明

四、问题分析

问题一中题目要求获得奖学金的最大额，从查询到的各种存款年基准利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，从假设中可知奖学金在每年年末发放，三个月期限、半年期存款的利率小于一年期利率。所以活期、三个月期和半年期存款不能选择，这样可供选择的只有一年期、二年期、三年期和五年期。又因为在任何时候资金都不能闲置。所以解决这道题目时可以建立线行方程组，求出最优解，通过建立线性方程组可以解出在每年年末取出资金后的处理方式，解线性方程组即可求得最大奖学金额。

对于问题二的分析可以从对问题一的分析中找到方法。题目中要求在第七年时因为举行校庆要增加30%的奖学金数额。这时可以建立与问题一中相似的模型，建立线性方程组，此时把第七年的奖学金增加30%，解出线性方程组，可得最大奖学金数额。

五、模型的建立与求解

5.1、问题一模型的建立与求解

问题一种通过分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，三个月期限、半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依题意可知奖学金是定期发放且在每年的年末发放，可知为了使利率的最大化应当舍去三个月期限、半年期和活期的存款方式 。

经过分析可知第一年年末提取的现金只有一个来源，那就是在第一年年初存入银行的一年期存款。第二年的校方所能提取的现金的来源有两个方面分别是第一年存入的两年期存款和第一年年初存入的一年期存款发放第一年奖学金后剩余的钱转存的一年期存款。当然第三年的所能提取的现金就有三个来源。以此类推出每年提取的现金的来源方式。

第一年存入银行的资金1000万元，有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。

x11+x12+x13+x15=1000;

第一年年末的资金的来源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的时候会把第一年年初存入的一年期存款的本息和减去当年年末奖学金的数额再转存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具体方式如下：

x21x22x23x25x11(1r1)z;

第二年的资金来源有二个方向，分别为第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把发去奖学金后剩余的钱在第三年的年初分别按一年期、二年期、三年期、五年期存入银行，表示如下：

x31x32x33x35x12(12r2)x21(1r1)z;

第三年年末的资金来源有三个部分，分别是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。第四年年初的存款方式如下所示：

x41x42x43x45x13(13r3)x22(12r2)x31(1r1)z;

第四年年末的资金来源有四个来源，同样第四年年末的时候还是会把除去发过奖学金后剩余的钱在第五年年初转存一年期、二年期、三年期、五年期存款。

x51x52x53x55x23(13r3)x32(12r2)x41(1r1)z;

第五年的分析方法和以上分析方法一样，第五年年末也是把发过奖学金后剩余的钱在第六年年初转存四种存款方式，如下所示:

x61x62x63x65x15(15r5)x33(13r3)x42(12r2)x51(1r1)z; 其后几年的处理方式和前几年的处理方式相同。计算方式表示如下：

x71x72x73x25(15r5)x43(13r3)x52(12r2)x61(1r1)z;x81x82x83x35(15r5)x53(13r3)x62(12r2)x71(1r1)z;x91x92x45(15r5)x63(13r3)x72(12r2)x81(1r1)z;x101x55(15r5)x73(13r3)x82(12r2)x91(1r1)z;

从以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初时可以存入一年期和两年期存款，第十年年初时可以存入一年期存款。在第六年年末时可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款。在第七年年末时可以取出的资金是第三年年初存入的五年期存

款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。在第八年年末时可以取出的资金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年存入的二年期、第八年存入的一年期。第九年年末时可以取出的资金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期。

在最后一年时也就是第十年的年末把所有的资金全部取出。除去发奖学金的以外，剩余的资金要正好等于开始存钱的资金。表示如下：

1000Mx65(15r5)x83(13r3)x92(12r2)x101(1r1)z.

联立以上线性方程解出最终的答案：奖学金最大数额

Z=42.43943万元；

另外还可以根据解得线性方程组中xij的值，即是每年应该以哪种方式存款才能使奖学金数额最大化。如下表所示：

表2:每年年初可以选择的存款方式

5.2、问题二模型的建立与求解

可以借鉴问题一的模型只是把第七年的奖学金变为原来的1.3倍，列出第七年奖学金的发放情况如下所示：

x41x42x43x45x13(13r3)x22(12r2)x31(1r1)1.3z1.2z;；

可以将问题一中第七年奖学金的情况进行变换如上式所示，建立如问题一的线性规划模型。解得方程组如下所示：

Z=41.28148万元；

表3:每年年初可以选择的存款方式

六、模型的检验

问题一的检验可以采取将全部资金分为不同的存款方式，以题意可知要想获得最大的奖学金数额必须使存款时间最长，可以采取将每年到期的本息和全部用来发放奖学金，例如第一年年末的时候把一年期存款取出，所得的本息和全部用来发放第一年的奖学金。第二年年末把二年期存款取出，所得本息和全部用来发放第二年的奖学金。

定理1

在年利率不变的情况下，把一笔固定数额的资金N先存定期k年再存定期j年与先存定期j年再存定期k年，本金和利息相同。

证明：定义pk和pk是存款k年和j年的年利率，N为一笔固定数额的金额。由上述可得先存定期k年再存定期j年所得的本金和利息为N(1pk)(1pj)，先

存定期j年再存定期k年的本金和利息为N(1pj)(1pk)。显然可得：

N(1pk)(1pj)N(1pj)(1pk)

定理2

使一定数额的资金存款n年后本息和最大的存款策略为 当n1时，存定期1年； 当n2时，存定期2年； 当n3时，存定期3年；

当n4时，先存定期3年，然后再存定期1年； 当n5时，存定期5年；

n

当n5时，首先存储个5年定期，剩余的情况与n5相同

5

证明：运用枚举法将存款n年的所有组合列出来，再比较本息即可求出上述定理2，

定理3

基金M使用n年的情况，首先把M分成n份，其中第i份基金存款年限为i年，那么只有当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖学金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

证明：当n1时，命题显然成立；

当n1时，首先需要证明：第一份基金Ai存入银行定期，到期后本息和正好等于奖学金数额z，即Ai(11.8%)z。

假设Ai(11.8%)z，运用反证法证明，分两种情况：

假设Ai(11.8%)z，这种情况下说明不够支付奖学金，就必须从其他部分取出，使得其他部分转化为活期，显然这种话情况获得的总利息少。为获得最大的奖学金， Ai(11.8%)z不成立。

Ai(11.8%)z，这种情况下支付奖学金后还有剩余资金，又为了不让资金闲置，必须再次存款，显然这样获得的利息不如直接将神谕的资金转存为其它年限。所以为获得最大的奖学金，Ai(11.8%)z不成立。

同理可证当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖学

金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

定理3得证。

根据以上三个定理即可列出将资金M分成n份的线性表达式，在每年年末取出本息和用于当年奖学金的发放列出线性方程组如下：

A11.018z;A21.03888z;A31.0648z;A41.08397z;A51.1152z;A61.13527z;A71.15856z;

A81.18746z;A91.20884z;A101.24367z5000;

A1A2A3A4A5A6A7A8A9A105000;

开始第一年时候把奖学金分成十份，每年年末取出对应的本息和作为当年的奖学金，在第十年年末取出的资金除去发奖学金的资金以外，剩余的应当是最初的资金金额，解出以上线性方程组：奖学金金额：

z109.8165(万元）

从结果可知计算结果与问题一的结果基本相等，所建模型不同，所以计算结果会有些误差，从而验证模型建立的合理性。

对于第二问的问题可以采取同样的模型，结果可以验证模型建立的合理性。所建模型均是最优模型。

七、模型评价与改进

7.1模型的优缺点

1.本文主要使用了线性规划模型，并使用lingo进行求解，方便运算，简单实用。

2.模型细致，逐年具体分析，将各种情况考虑进去。最后用图表进行表示，使结果更加直观。

3.假设过于理想化，与现实生活有一定差异，实际操作时必须考虑每年的利率，税收变化，以进行调整。

4.重复计算较多，计算过程比较繁琐，不借助软件很难进行求解。 7.2模型的改进方向

本文虽然对每年的各种投资都进行了考虑，但从计算结果可以看出，其实有很多计算不需要的。从而导致计算过于繁琐。因此在改进模型时可以先对一些在理论上需要考虑，但是实际上由于获得的利息过低而不需要考虑的投资进行排除，如在问题二中，只需要考虑前五年的投资方式，之后的五年不需要考虑。因此在模型的建立之前可以进行适当的估算，以减少不必要的运算。

八、模型推广

该模型适用于各种投资规划，在已知必要的约束条件下，能比较全面的在时间和空间上对资源进行调整，以达到最优的目标。除了基金的使用计划外，还能对生产，运输进行规划，以最小的成本，达到最大的利润。

奖学金的运营方式

摘要

学校收到一笔1000万元的社会捐款，打算将其存入银行，不同的存款方式会有不同的最终奖学金数额，本论文就是通过建模找出使奖学金最大化的存款方式。

第一个问题是要使使奖学金数额最大，通过查询可知不同存款期限的存款利率不同，为了使奖学金最大化要使奖学金不能出现闲置。又因为奖学金都是在年末发放，所以活期、三个月、半年期都不能选择，依题意可以建立线性方程组，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖学金的最大额：Z=42.43943 万元。通过解线性方程组还可以求解出每年的各种期限存款的存款额度。

第二个问题是在第七年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓励学生在这一年中奖学金数额要比往年增加30%，这一问可以利用问题一的模型，只需要把第七年的奖学金改为原来的1.3倍。解出线性方程组，此种情况下的奖学金数额是41.28148万元。

关键词 线性方程组 lingo软件 最大奖学金额 增加30%

一、问题重述

现在每个学校发奖学金是个很普遍的现象。每年学校都会拿出一部分奖学金来发给优秀学生，本文就是要找出使奖学金最大化的理财方式。

某学校收到一笔数额为1000万元的捐款，可以采取将其存入银行的方式来运营发放奖学金。银行可以随时存款，学校计划在10年内每年拿出一部分资金来奖励优秀学生，要求每年的奖学金数额基本相同。在10年后仍保留原资金数额。为了这个选出最佳的存款方式，题目中要求计算出两种情况下的存款方式。问题一要寻找出最优的存款方式。条件中有各种存款期限的基准。根据表中的数据找出最优的存款方式。问题二中要解决学校在第七年要进行50周年校庆 ，基金会决定这一年发放的奖学金数目要比其他年份多30%，其他年份奖学金数额不变。

中国人民银行公布的各种存款基准利率如下表。

表1：中国人民银行存款基准利率（2015.5.11）

二、模型假设

1、假设每年发放的奖学金数额都是相同的。 2、假设10年内存款基准利率不变。

3、假设资金在年初到位，奖学金在年末发放。 4、假设资金不会发生闲置的情况。

三、符号说明

四、问题分析

问题一中题目要求获得奖学金的最大额，从查询到的各种存款年基准利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，从假设中可知奖学金在每年年末发放，三个月期限、半年期存款的利率小于一年期利率。所以活期、三个月期和半年期存款不能选择，这样可供选择的只有一年期、二年期、三年期和五年期。又因为在任何时候资金都不能闲置。所以解决这道题目时可以建立线行方程组，求出最优解，通过建立线性方程组可以解出在每年年末取出资金后的处理方式，解线性方程组即可求得最大奖学金额。

对于问题二的分析可以从对问题一的分析中找到方法。题目中要求在第七年时因为举行校庆要增加30%的奖学金数额。这时可以建立与问题一中相似的模型，建立线性方程组，此时把第七年的奖学金增加30%，解出线性方程组，可得最大奖学金数额。

五、模型的建立与求解

5.1、问题一模型的建立与求解

问题一种通过分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，三个月期限、半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依题意可知奖学金是定期发放且在每年的年末发放，可知为了使利率的最大化应当舍去三个月期限、半年期和活期的存款方式 。

经过分析可知第一年年末提取的现金只有一个来源，那就是在第一年年初存入银行的一年期存款。第二年的校方所能提取的现金的来源有两个方面分别是第一年存入的两年期存款和第一年年初存入的一年期存款发放第一年奖学金后剩余的钱转存的一年期存款。当然第三年的所能提取的现金就有三个来源。以此类推出每年提取的现金的来源方式。

第一年存入银行的资金1000万元，有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。

x11+x12+x13+x15=1000;

第一年年末的资金的来源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的时候会把第一年年初存入的一年期存款的本息和减去当年年末奖学金的数额再转存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具体方式如下：

x21x22x23x25x11(1r1)z;

第二年的资金来源有二个方向，分别为第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把发去奖学金后剩余的钱在第三年的年初分别按一年期、二年期、三年期、五年期存入银行，表示如下：

x31x32x33x35x12(12r2)x21(1r1)z;

第三年年末的资金来源有三个部分，分别是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。第四年年初的存款方式如下所示：

x41x42x43x45x13(13r3)x22(12r2)x31(1r1)z;

第四年年末的资金来源有四个来源，同样第四年年末的时候还是会把除去发过奖学金后剩余的钱在第五年年初转存一年期、二年期、三年期、五年期存款。

x51x52x53x55x23(13r3)x32(12r2)x41(1r1)z;

第五年的分析方法和以上分析方法一样，第五年年末也是把发过奖学金后剩余的钱在第六年年初转存四种存款方式，如下所示:

x61x62x63x65x15(15r5)x33(13r3)x42(12r2)x51(1r1)z; 其后几年的处理方式和前几年的处理方式相同。计算方式表示如下：

x71x72x73x25(15r5)x43(13r3)x52(12r2)x61(1r1)z;x81x82x83x35(15r5)x53(13r3)x62(12r2)x71(1r1)z;x91x92x45(15r5)x63(13r3)x72(12r2)x81(1r1)z;x101x55(15r5)x73(13r3)x82(12r2)x91(1r1)z;

从以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初时可以存入一年期和两年期存款，第十年年初时可以存入一年期存款。在第六年年末时可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款。在第七年年末时可以取出的资金是第三年年初存入的五年期存

款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。在第八年年末时可以取出的资金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年存入的二年期、第八年存入的一年期。第九年年末时可以取出的资金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期。

在最后一年时也就是第十年的年末把所有的资金全部取出。除去发奖学金的以外，剩余的资金要正好等于开始存钱的资金。表示如下：

1000Mx65(15r5)x83(13r3)x92(12r2)x101(1r1)z.

联立以上线性方程解出最终的答案：奖学金最大数额

Z=42.43943万元；

另外还可以根据解得线性方程组中xij的值，即是每年应该以哪种方式存款才能使奖学金数额最大化。如下表所示：

表2:每年年初可以选择的存款方式

5.2、问题二模型的建立与求解

可以借鉴问题一的模型只是把第七年的奖学金变为原来的1.3倍，列出第七年奖学金的发放情况如下所示：

x41x42x43x45x13(13r3)x22(12r2)x31(1r1)1.3z1.2z;；

可以将问题一中第七年奖学金的情况进行变换如上式所示，建立如问题一的线性规划模型。解得方程组如下所示：

Z=41.28148万元；

表3:每年年初可以选择的存款方式

六、模型的检验

问题一的检验可以采取将全部资金分为不同的存款方式，以题意可知要想获得最大的奖学金数额必须使存款时间最长，可以采取将每年到期的本息和全部用来发放奖学金，例如第一年年末的时候把一年期存款取出，所得的本息和全部用来发放第一年的奖学金。第二年年末把二年期存款取出，所得本息和全部用来发放第二年的奖学金。

定理1

在年利率不变的情况下，把一笔固定数额的资金N先存定期k年再存定期j年与先存定期j年再存定期k年，本金和利息相同。

证明：定义pk和pk是存款k年和j年的年利率，N为一笔固定数额的金额。由上述可得先存定期k年再存定期j年所得的本金和利息为N(1pk)(1pj)，先

存定期j年再存定期k年的本金和利息为N(1pj)(1pk)。显然可得：

N(1pk)(1pj)N(1pj)(1pk)

定理2

使一定数额的资金存款n年后本息和最大的存款策略为 当n1时，存定期1年； 当n2时，存定期2年； 当n3时，存定期3年；

当n4时，先存定期3年，然后再存定期1年； 当n5时，存定期5年；

n

当n5时，首先存储个5年定期，剩余的情况与n5相同

5

证明：运用枚举法将存款n年的所有组合列出来，再比较本息即可求出上述定理2，

定理3

基金M使用n年的情况，首先把M分成n份，其中第i份基金存款年限为i年，那么只有当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖学金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

证明：当n1时，命题显然成立；

当n1时，首先需要证明：第一份基金Ai存入银行定期，到期后本息和正好等于奖学金数额z，即Ai(11.8%)z。

假设Ai(11.8%)z，运用反证法证明，分两种情况：

假设Ai(11.8%)z，这种情况下说明不够支付奖学金，就必须从其他部分取出，使得其他部分转化为活期，显然这种话情况获得的总利息少。为获得最大的奖学金， Ai(11.8%)z不成立。

Ai(11.8%)z，这种情况下支付奖学金后还有剩余资金，又为了不让资金闲置，必须再次存款，显然这样获得的利息不如直接将神谕的资金转存为其它年限。所以为获得最大的奖学金，Ai(11.8%)z不成立。

同理可证当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖学

金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

定理3得证。

根据以上三个定理即可列出将资金M分成n份的线性表达式，在每年年末取出本息和用于当年奖学金的发放列出线性方程组如下：

A11.018z;A21.03888z;A31.0648z;A41.08397z;A51.1152z;A61.13527z;A71.15856z;

A81.18746z;A91.20884z;A101.24367z5000;

A1A2A3A4A5A6A7A8A9A105000;

开始第一年时候把奖学金分成十份，每年年末取出对应的本息和作为当年的奖学金，在第十年年末取出的资金除去发奖学金的资金以外，剩余的应当是最初的资金金额，解出以上线性方程组：奖学金金额：

z109.8165(万元）

从结果可知计算结果与问题一的结果基本相等，所建模型不同，所以计算结果会有些误差，从而验证模型建立的合理性。

对于第二问的问题可以采取同样的模型，结果可以验证模型建立的合理性。所建模型均是最优模型。

七、模型评价与改进

7.1模型的优缺点

1.本文主要使用了线性规划模型，并使用lingo进行求解，方便运算，简单实用。

2.模型细致，逐年具体分析，将各种情况考虑进去。最后用图表进行表示，使结果更加直观。

3.假设过于理想化，与现实生活有一定差异，实际操作时必须考虑每年的利率，税收变化，以进行调整。

4.重复计算较多，计算过程比较繁琐，不借助软件很难进行求解。 7.2模型的改进方向

本文虽然对每年的各种投资都进行了考虑，但从计算结果可以看出，其实有很多计算不需要的。从而导致计算过于繁琐。因此在改进模型时可以先对一些在理论上需要考虑，但是实际上由于获得的利息过低而不需要考虑的投资进行排除，如在问题二中，只需要考虑前五年的投资方式，之后的五年不需要考虑。因此在模型的建立之前可以进行适当的估算，以减少不必要的运算。

八、模型推广

该模型适用于各种投资规划，在已知必要的约束条件下，能比较全面的在时间和空间上对资源进行调整，以达到最优的目标。除了基金的使用计划外，还能对生产，运输进行规划，以最小的成本，达到最大的利润。