理科数学模拟试题一
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知全集为R ，集合A={x|2≥1}，B={x|x﹣3x+2≤0}，则A ∩∁R B=( ) A ．{x|x≤0} B．{x|1≤x ≤2} C．{x|0≤x ＜1或x ＞2} 2、已知复数（x-2）+yi（x ，y ∈R ）的模为，则
D．{x|0≤x ＜1或x ≥2}
x
2
y
的最大值是( ) x
A.
133
B. C. D.
223
3. 设0
2A ．a
B．b
π
4、如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为 ( )
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5、设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 ( ) A ．α⊥β，α∩β=l，m ⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ， m⊥α D．n ⊥α，n ⊥β， m⊥α 6、已知α是第二象限角，其终边上一点5) ，且cos α=
π2
x ，则sin(α+) =( )
24
A ．-
66 B．- C ． D． 4444
2
7、已知服从正态分布N （μ，σ ）的随机变量，在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ）和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布N （173，5 ），则适合身高在163～183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A ．6830套 B．9540套 C．9520套 D．9970套
8、A ， B， C是△ABC 的三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x -5x+1=0的两个实数根，则△ABC 是 ( ) A ．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2
2
9．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若首项a 1>0且-1
a 6
题:P 1:d 0的最大n 值为10；其中正确的命题个数为（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
⎧x +y ≥1
⎧0≤y ≤e ⎪x
10. 由不等式组⎨e -y ≥0确定的平面区域为M , 由不等式组⎨确定的平面区域为N, 在N 内随
⎩0≤x ≤1⎪0≤x ≤1
⎩
机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 （ ）
A .1-
3e
B .1-
2e
C .1-
1e
D .1-
32e
x 2y 2
11. 双曲线2-2=1的右焦点F 与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF
a b
垂直于x 轴，则双曲线的离心率是 ( )
A.
2 B.
12
12. 设函数f (x ) =e x (sinx -cos x )(0≤x ≤2015π) ，则函数f(x)的各极大值之和为（ ）
e 2π(1-e 2015π) e 2π(1-e 2015π) 1-e 2015πe π(1-e 2016π) A ． B． C． D． 2ππ2π2π
1-e 1-e 1-e 1-e
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)
13. 若(x -) n 展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为______． 14. 已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |=3，|a +b
，则|b |= . 15．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是
π⎛16．函数f (x ) ＝sin 2x －(x ∈R) 的图象为C ，以下结论正确的是________．(写
3⎭⎝出所有正确结论的编号)
11π⎛2π0⎫对称；
① 图象C 关于直线x ＝C 关于点 ⎪12⎝3⎭
3
x
⎛π5π③函数f (x ) 在区间 －内是增函数； ⎝1212⎭
π
④由y ＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C .
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2
17. (本小题满分12分) 已知数列 {a n }的各项均为正数，且满足a 2=5，a n +1=a n -2na n +2, (n ∈N *) ．
（1）推测 {a n }的通项公式（不需要证明）； （2）若 bn =2，令 cn =an +bn , 求数列 cn 的前 n项和 Tn 。
n-1
18、(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料:
, 再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据, 请根据2至5月份的数据, 求出y 关于x 的线性回归方程
+a ； （附：b =y =bx
∑(x -)(y -)∑x y -nx y
i
i
i i
i =1
n n
∑(x -)
i
i =1
n
=
2
i =1
n
）
2i
∑x
i =1
-2
19．（本小题满分12分）
如图，已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =1，AB =2，
F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．
（I ）当E 是AB 的中点时，求证：AF //平面PEC ；
（II ）要使二面角P -EC -D 的大小为45，试确定E 点的位置．
第19题
x 2y 2
20. （本题满分12分）如图，椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F ，右顶点、
上顶点分别为点A 、
a b
B ，且|AB |BF |. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若点M (-
162
, ) 在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q
1717
M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ . 求直线l 的方程及椭圆C 的方程.
21. （本题满分12分）
已知函数f (x ) =e x -x 2+a ，x ∈R 的图像在点x =0处的切线为y =bx ．（e ≈2.71828）. （Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式； （Ⅱ）g (x ) =
f (x )
，x ∈(0,+∞) ，讨论函数g (x ) 的单调性与极值； x
（Ⅲ）若k ∈Z ，且f (x ) +(3x 2-5x -2k ) ≥0对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
1
2
⎧2x =3-t ⎪⎪2在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为⎨（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy ⎪y =5+2t ⎪2⎩
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=25sin θ． （Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
三模理科数学答案
一、选择题
1-5 CDACD 6-10 BBACD 11-12 CD 二、填空题：
13.-15 14. 4 15. 300 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(1) a n =2 n +1 (2)
18、解：(Ⅰ) P (A)=
51
=……(6分) 153
1830
x - ……… (10分) 77
1501507878
(Ⅲ) 当x =10时, , |, |y =-22|
7777
(Ⅱ) 由数据求得x =11, y =24 线性回归方程为 y =
所以, 该小组所得线性回归方程是理想的. ……………………………………(12分)
19. 解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接OF , OE ．
由已知得OF //DC 且
OF =
1DC 2，
又 E 是AB 的中点，则OF //AE 且OF =AE ，
∴AEOF 是平行四边形，
∴AF //OE
4' ···················
又 OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC
∴AF //平面PEC ····························· 6' （II ）如图，作AM ⊥CE 交CE 的延长线于M .
连接PM ，易证得得PM ⊥CE ，
o
∴∠PMA 是二面角P -EC -D 的平面角．即∴∠PMA =45 ············ 9'
PA =1⇒AM =1，设AE
=x ，
x =⇒由∆AME ≅∆CBE 可得
x =
5
4
故，要使要使二面角P -EC -D 的大小为45，只需
o
AE =
5
4············ 12'
【法二】（I ）由已知，AB , AD , AP 两两垂直，分别以它们所在直线为x , y , z 轴建立空间直角坐标系
A -xyz ．
1111
F (0,, ) AF =(0,, )
22，则22 ··················· 2' 则A (0,0,0)，
E (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,1)，[Z, xx,k.Com]
设平面PEC 的法向量为m =(x , y , z )
⎧⎪m ⋅EC =0⎧x +y =0
⇒⎨ ⎨
⎩m ⋅EP =0⎩-x +z =0， 则⎪
令x =1得m =(1, -1,1) ………………………………………4' 11
AF ⋅m =(0,, ) ⋅(1,-1,1) =0
22由，得AF ⊥m
又AF ⊄平面PEC ，故AF //平面PEC ····················· 6'
（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为AP =(0,0,1)，
设E =(t ,0,0) ，设平面PEC 的法向量为m =(x , y , z )
⎧⎪m ⋅EC =0⎧(2-t ) x +y =0
⇒⎨ ⎨
-tx +z =0⎩m ⋅EP =0⎩则⎪，令x =1得m =(1, t -2, t ) ··········· 10' AP ⋅n 5|⇒t =cos 45o =|4， |AP |⨯|n |由
故，要使要使二面角P -EC -D 的大小为45，只需20.
解：（Ⅰ）由已知|AB |==
o
AE =
5
4············ 12'
BF |，
，4a 2+4b 2=5a 2， c = a 4a 2+4(a 2-c 2) =5a 2，∴
e =
x 2y 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a =4b ，∴ 椭圆C ：2+2=1.
4b b
2
2
设P (x 1, y 1) ，Q (x 2, y 2) ，
2222
x 12-x 2y 12-y 2x 12y 12x 2y 2
+=0， 由2+2=1，2+2=1，可得
4b 2b 24b b 4b b
即
(x 1+x 2)(x 1-x 2) (y 1+y 2)(y 1-y 2)
+=0，
4b 2b 2
32
(x 1-x 2)
4y -y
即+(y 1-y 2) =0，从而k PQ =12=2，
x 1-x 2417
-
进而直线l 的方程为y -
216
=2[x -(-)]，即2x -y +2=0. 1717
⎧2x -y +2=0
⎪
⇒x 2+4(2x +2) 2-4b 2=0， 由⎨x 2y 2
⎪2+2=1
b ⎩4b
即17x 2+32x +16-4b 2=
0.
3216-4b 2
∆=32+16⨯17(b -4) >0⇔b >. x 1+x 2=-，x 1x 2=.
1717
∵ OP ⊥OQ ，∴ OP ⋅OQ =0，
2
2
即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2) =0，5x 1x 2+4(x 1+x 2) +4=0.
5(16-4b 2) 128从而-+4=0，解得b =1，
1717
x 2
+y 2=1. ∴ 椭圆C 的方程为4
21. 解：（Ⅰ）f (x ) =e x -x 2+a ，f '(x ) =e x -2x .
⎧f (0)=1+a =0⎧a =-1
由已知⎨， f (x ) =e x -x 2-1. ⇒⎨
⎩f '(0)=1=b ⎩b =1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g (x ) =
f (x )
, x >0， x
xf '(x ) -f (x ) x (e x -2x ) -(e x -x 2-1) (x -1)(e x -x -1)
==则g '(x ) =. 22
x x x 2
令y =e x -x -1，y '=e x -1>0在x ∈(0,+∞) 恒成立， 从而y =e x -x -1在(0,+∞) 上单调递增，y >e 0-0-1=0. 令g '(x ) >0，得x >1；g '(x )
∴ g (x ) 的增区间为(1,+∞) ，减区间为(0,1). 极小值为g (1)=0，无极大值. （Ⅲ）f (x ) +(3x 2-5x -2k ) ≥0对任意x ∈R 恒成立， ⇔e x +
12
125
x -x -1-k ≥0对任意x ∈R 恒成立， 22
15
⇔k ≤e x +x 2-x -1对任意x ∈R 恒成立.
22
令h (x ) =e x +
125
x -x -1， 22
5
h '(x ) =e x +x -，易知h '(x ) 在R 上单调递增，
2
1
133
又h '(0)=-0，h '() =e 2-2
222
333
3777771h '() =e 4->2.564-=1.62-=>2-=>0， 4444444
13
∴ 存在唯一的x 0∈(, ) ，使得h '(x 0) =0, 且当x ∈(-∞, x 0) 时，h '(x ) 0.
24
即h (x ) 在(-∞, x 0) 单调递减，在(x 0, +∞) 上单调递增，
12555
h (x ) min =h (x 0) =e x 0+x 0-x 0-1，又h '(x 0) =0，即e x 0+x 0-=0，e x 0=-x 0.
2222
512512
∴ h (x 0) =-x 0+x 0-x 0-1=(x 0-7x 0+3) ，
222213271
∵ x 0∈(, ) ，∴ h (x 0) ∈(-, -) .
2432815
k ≤e x +x 2-x -1对任意x ∈R 恒成立，
22⇔k ≤h (x 0) ，又k ∈Z ，∴ k max =-1
22. （本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC =90︒， 以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边 的中点，连接OD 交圆O 于点M .
（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：2DE =DM ⋅AC +DM ⋅AB 证明：（1）连接BE 、OE ，则BE ⊥EC
又D 是BC 的中点，所以DE =BD 又OE =OB ，OD =OD 所以∆ODE ≅∆ODB 所以∠OED =∠OBD =90︒ 所以O 、B 、D 、E 四点共圆 。。。。。。5分 （2）延长DO 交圆O 于点H .
2
DE =DM ⋅DH =DM ⋅(DO +OH ) =DM ⋅DO +DM ⋅OH . 。因为。。。。。。7分
2
A
O
B
C
11DE 2=DM ⋅(AC ) +DM ⋅(AB ) 2
22所以所以2DE =DM ⋅AC +DM ⋅AB 。。10分
23． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy
．
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为（Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，（Ⅰ）由
，可得
），求|PA|+|PB|．
．由
，即圆C 的方程为
可得直线l 的方程为
．
所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为． 5分
（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得
．由于△=
，即
．故可设t 1、t 2是上述方程的两个实根，所以
，又直线l 过点
故由上式及t 的几何意义得
，
． 10分
24．已知函数f (x ) =|2x +1|+|2x -3|. （1）求不等式f (x ) ≤6的解集；
（2）若关于x 的不等式f (x )
.
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理科数学模拟试题一
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知全集为R ，集合A={x|2≥1}，B={x|x﹣3x+2≤0}，则A ∩∁R B=( ) A ．{x|x≤0} B．{x|1≤x ≤2} C．{x|0≤x ＜1或x ＞2} 2、已知复数（x-2）+yi（x ，y ∈R ）的模为，则
D．{x|0≤x ＜1或x ≥2}
x
2
y
的最大值是( ) x
A.
133
B. C. D.
223
3. 设0
2A ．a
B．b
π
4、如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为 ( )
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5、设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 ( ) A ．α⊥β，α∩β=l，m ⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ， m⊥α D．n ⊥α，n ⊥β， m⊥α 6、已知α是第二象限角，其终边上一点5) ，且cos α=
π2
x ，则sin(α+) =( )
24
A ．-
66 B．- C ． D． 4444
2
7、已知服从正态分布N （μ，σ ）的随机变量，在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ）和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布N （173，5 ），则适合身高在163～183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A ．6830套 B．9540套 C．9520套 D．9970套
8、A ， B， C是△ABC 的三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x -5x+1=0的两个实数根，则△ABC 是 ( ) A ．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2
2
9．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若首项a 1>0且-1
a 6
题:P 1:d 0的最大n 值为10；其中正确的命题个数为（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
⎧x +y ≥1
⎧0≤y ≤e ⎪x
10. 由不等式组⎨e -y ≥0确定的平面区域为M , 由不等式组⎨确定的平面区域为N, 在N 内随
⎩0≤x ≤1⎪0≤x ≤1
⎩
机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 （ ）
A .1-
3e
B .1-
2e
C .1-
1e
D .1-
32e
x 2y 2
11. 双曲线2-2=1的右焦点F 与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF
a b
垂直于x 轴，则双曲线的离心率是 ( )
A.
2 B.
12
12. 设函数f (x ) =e x (sinx -cos x )(0≤x ≤2015π) ，则函数f(x)的各极大值之和为（ ）
e 2π(1-e 2015π) e 2π(1-e 2015π) 1-e 2015πe π(1-e 2016π) A ． B． C． D． 2ππ2π2π
1-e 1-e 1-e 1-e
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)
13. 若(x -) n 展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为______． 14. 已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |=3，|a +b
，则|b |= . 15．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是
π⎛16．函数f (x ) ＝sin 2x －(x ∈R) 的图象为C ，以下结论正确的是________．(写
3⎭⎝出所有正确结论的编号)
11π⎛2π0⎫对称；
① 图象C 关于直线x ＝C 关于点 ⎪12⎝3⎭
3
x
⎛π5π③函数f (x ) 在区间 －内是增函数； ⎝1212⎭
π
④由y ＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C .
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2
17. (本小题满分12分) 已知数列 {a n }的各项均为正数，且满足a 2=5，a n +1=a n -2na n +2, (n ∈N *) ．
（1）推测 {a n }的通项公式（不需要证明）； （2）若 bn =2，令 cn =an +bn , 求数列 cn 的前 n项和 Tn 。
n-1
18、(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料:
, 再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据, 请根据2至5月份的数据, 求出y 关于x 的线性回归方程
+a ； （附：b =y =bx
∑(x -)(y -)∑x y -nx y
i
i
i i
i =1
n n
∑(x -)
i
i =1
n
=
2
i =1
n
）
2i
∑x
i =1
-2
19．（本小题满分12分）
如图，已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =1，AB =2，
F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．
（I ）当E 是AB 的中点时，求证：AF //平面PEC ；
（II ）要使二面角P -EC -D 的大小为45，试确定E 点的位置．
第19题
x 2y 2
20. （本题满分12分）如图，椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F ，右顶点、
上顶点分别为点A 、
a b
B ，且|AB |BF |. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若点M (-
162
, ) 在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q
1717
M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ . 求直线l 的方程及椭圆C 的方程.
21. （本题满分12分）
已知函数f (x ) =e x -x 2+a ，x ∈R 的图像在点x =0处的切线为y =bx ．（e ≈2.71828）. （Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式； （Ⅱ）g (x ) =
f (x )
，x ∈(0,+∞) ，讨论函数g (x ) 的单调性与极值； x
（Ⅲ）若k ∈Z ，且f (x ) +(3x 2-5x -2k ) ≥0对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
1
2
⎧2x =3-t ⎪⎪2在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为⎨（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy ⎪y =5+2t ⎪2⎩
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=25sin θ． （Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
三模理科数学答案
一、选择题
1-5 CDACD 6-10 BBACD 11-12 CD 二、填空题：
13.-15 14. 4 15. 300 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(1) a n =2 n +1 (2)
18、解：(Ⅰ) P (A)=
51
=……(6分) 153
1830
x - ……… (10分) 77
1501507878
(Ⅲ) 当x =10时, , |, |y =-22|
7777
(Ⅱ) 由数据求得x =11, y =24 线性回归方程为 y =
所以, 该小组所得线性回归方程是理想的. ……………………………………(12分)
19. 解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接OF , OE ．
由已知得OF //DC 且
OF =
1DC 2，
又 E 是AB 的中点，则OF //AE 且OF =AE ，
∴AEOF 是平行四边形，
∴AF //OE
4' ···················
又 OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC
∴AF //平面PEC ····························· 6' （II ）如图，作AM ⊥CE 交CE 的延长线于M .
连接PM ，易证得得PM ⊥CE ，
o
∴∠PMA 是二面角P -EC -D 的平面角．即∴∠PMA =45 ············ 9'
PA =1⇒AM =1，设AE
=x ，
x =⇒由∆AME ≅∆CBE 可得
x =
5
4
故，要使要使二面角P -EC -D 的大小为45，只需
o
AE =
5
4············ 12'
【法二】（I ）由已知，AB , AD , AP 两两垂直，分别以它们所在直线为x , y , z 轴建立空间直角坐标系
A -xyz ．
1111
F (0,, ) AF =(0,, )
22，则22 ··················· 2' 则A (0,0,0)，
E (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,1)，[Z, xx,k.Com]
设平面PEC 的法向量为m =(x , y , z )
⎧⎪m ⋅EC =0⎧x +y =0
⇒⎨ ⎨
⎩m ⋅EP =0⎩-x +z =0， 则⎪
令x =1得m =(1, -1,1) ………………………………………4' 11
AF ⋅m =(0,, ) ⋅(1,-1,1) =0
22由，得AF ⊥m
又AF ⊄平面PEC ，故AF //平面PEC ····················· 6'
（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为AP =(0,0,1)，
设E =(t ,0,0) ，设平面PEC 的法向量为m =(x , y , z )
⎧⎪m ⋅EC =0⎧(2-t ) x +y =0
⇒⎨ ⎨
-tx +z =0⎩m ⋅EP =0⎩则⎪，令x =1得m =(1, t -2, t ) ··········· 10' AP ⋅n 5|⇒t =cos 45o =|4， |AP |⨯|n |由
故，要使要使二面角P -EC -D 的大小为45，只需20.
解：（Ⅰ）由已知|AB |==
o
AE =
5
4············ 12'
BF |，
，4a 2+4b 2=5a 2， c = a 4a 2+4(a 2-c 2) =5a 2，∴
e =
x 2y 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a =4b ，∴ 椭圆C ：2+2=1.
4b b
2
2
设P (x 1, y 1) ，Q (x 2, y 2) ，
2222
x 12-x 2y 12-y 2x 12y 12x 2y 2
+=0， 由2+2=1，2+2=1，可得
4b 2b 24b b 4b b
即
(x 1+x 2)(x 1-x 2) (y 1+y 2)(y 1-y 2)
+=0，
4b 2b 2
32
(x 1-x 2)
4y -y
即+(y 1-y 2) =0，从而k PQ =12=2，
x 1-x 2417
-
进而直线l 的方程为y -
216
=2[x -(-)]，即2x -y +2=0. 1717
⎧2x -y +2=0
⎪
⇒x 2+4(2x +2) 2-4b 2=0， 由⎨x 2y 2
⎪2+2=1
b ⎩4b
即17x 2+32x +16-4b 2=
0.
3216-4b 2
∆=32+16⨯17(b -4) >0⇔b >. x 1+x 2=-，x 1x 2=.
1717
∵ OP ⊥OQ ，∴ OP ⋅OQ =0，
2
2
即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2) =0，5x 1x 2+4(x 1+x 2) +4=0.
5(16-4b 2) 128从而-+4=0，解得b =1，
1717
x 2
+y 2=1. ∴ 椭圆C 的方程为4
21. 解：（Ⅰ）f (x ) =e x -x 2+a ，f '(x ) =e x -2x .
⎧f (0)=1+a =0⎧a =-1
由已知⎨， f (x ) =e x -x 2-1. ⇒⎨
⎩f '(0)=1=b ⎩b =1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g (x ) =
f (x )
, x >0， x
xf '(x ) -f (x ) x (e x -2x ) -(e x -x 2-1) (x -1)(e x -x -1)
==则g '(x ) =. 22
x x x 2
令y =e x -x -1，y '=e x -1>0在x ∈(0,+∞) 恒成立， 从而y =e x -x -1在(0,+∞) 上单调递增，y >e 0-0-1=0. 令g '(x ) >0，得x >1；g '(x )
∴ g (x ) 的增区间为(1,+∞) ，减区间为(0,1). 极小值为g (1)=0，无极大值. （Ⅲ）f (x ) +(3x 2-5x -2k ) ≥0对任意x ∈R 恒成立， ⇔e x +
12
125
x -x -1-k ≥0对任意x ∈R 恒成立， 22
15
⇔k ≤e x +x 2-x -1对任意x ∈R 恒成立.
22
令h (x ) =e x +
125
x -x -1， 22
5
h '(x ) =e x +x -，易知h '(x ) 在R 上单调递增，
2
1
133
又h '(0)=-0，h '() =e 2-2
222
333
3777771h '() =e 4->2.564-=1.62-=>2-=>0， 4444444
13
∴ 存在唯一的x 0∈(, ) ，使得h '(x 0) =0, 且当x ∈(-∞, x 0) 时，h '(x ) 0.
24
即h (x ) 在(-∞, x 0) 单调递减，在(x 0, +∞) 上单调递增，
12555
h (x ) min =h (x 0) =e x 0+x 0-x 0-1，又h '(x 0) =0，即e x 0+x 0-=0，e x 0=-x 0.
2222
512512
∴ h (x 0) =-x 0+x 0-x 0-1=(x 0-7x 0+3) ，
222213271
∵ x 0∈(, ) ，∴ h (x 0) ∈(-, -) .
2432815
k ≤e x +x 2-x -1对任意x ∈R 恒成立，
22⇔k ≤h (x 0) ，又k ∈Z ，∴ k max =-1
22. （本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC =90︒， 以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边 的中点，连接OD 交圆O 于点M .
（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：2DE =DM ⋅AC +DM ⋅AB 证明：（1）连接BE 、OE ，则BE ⊥EC
又D 是BC 的中点，所以DE =BD 又OE =OB ，OD =OD 所以∆ODE ≅∆ODB 所以∠OED =∠OBD =90︒ 所以O 、B 、D 、E 四点共圆 。。。。。。5分 （2）延长DO 交圆O 于点H .
2
DE =DM ⋅DH =DM ⋅(DO +OH ) =DM ⋅DO +DM ⋅OH . 。因为。。。。。。7分
2
A
O
B
C
11DE 2=DM ⋅(AC ) +DM ⋅(AB ) 2
22所以所以2DE =DM ⋅AC +DM ⋅AB 。。10分
23． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy
．
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为（Ⅰ）求圆C 的圆心到直线L 的距离；
（Ⅱ）设圆C 与直线L 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，（Ⅰ）由
，可得
），求|PA|+|PB|．
．由
，即圆C 的方程为
可得直线l 的方程为
．
所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为． 5分
（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得
．由于△=
，即
．故可设t 1、t 2是上述方程的两个实根，所以
，又直线l 过点
故由上式及t 的几何意义得
，
． 10分
24．已知函数f (x ) =|2x +1|+|2x -3|. （1）求不等式f (x ) ≤6的解集；
（2）若关于x 的不等式f (x )
.
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