线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 姓名 第一节 解线性方程组的消元法
一．选择题：
1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )
3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：
1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪ ⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪
1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭
（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则 a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：
⎧2x +y -z +w =1
⎪
1． 求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2
⎪2x +y -z -w =1⎩
⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫ ⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪ ⎪ ⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧1-y
⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x
⎪⎪⎪
z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0
⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪
⎩
⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪
3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
⎪x +x +λx =λ2
23⎩1
λ
1
1
1
λ
1
1
1=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)
λ
11⎫⎛111
⎪
11⎪→ 000
00011⎪⎭⎝
111⎫⎛2
⎪
-21-2⎪→ 1
01-24⎪⎭⎝
1⎫
⎪
0⎪，有无穷多解；0⎪⎭
111⎫
⎪
-21-2⎪，方程组无解。003⎪⎭
当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11
当λ=1时 11
11⎝⎛-2
当λ=-2时 1
1⎝
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 姓名 第四节 线 性 方 程 组 的 解
一．选择题：
T T
1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的
基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关 （B ）α2, α4线性无关 （C ）α1不能被α3, α4线性表示 （D ）α4能被α2, α3线性表示
η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，
则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2α2+(η1+η2) /2
（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η2
3．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，
α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]
（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6) T
⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪
4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得
⎪x +x +λx =0
23⎩1AB =0，则 [ C ]
（A ）λ=-2且B =0， （B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：
1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪ ⎪
1． 设A = 23a +2⎪ ，b = 2⎪ ，x = x 2⎪
1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭
（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：
1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且
η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解
解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b
那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.
又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪4⎪ 3⎪ 所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪ ⎪ ⎪⎝6⎭⎝5⎭
⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪
2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
⎪2x +4x +2x +x =-6
234⎩1
⎛1-52-311⎫⎛1-52-311⎫⎛1-52-311⎫ ⎪ ⎪ ⎪解: 536-1-1⎪→ 028-414-56⎪→ 014-27-28⎪
2421-6⎪ 014-27-28⎪ 0000⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫ ⎪-2⎪⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11 原方程组化为⎨, 求出一个解为
0⎪24x -2x +7x =-28234⎩
⎪⎝0⎭
⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=0
另外⎨
24x -2x +7x =0234⎩
⎛9⎫⎛1⎫ -7⎪ 2⎪ ⎪ ⎪
⎛1⎫⎛0⎫ 1⎪ 1⎪
设(x 3, x 4) 分别为 ⎪, ⎪. 解 , -⎪⎪
⎝0⎭⎝1⎭ 7⎪ 2⎪
1⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪
⎭⎝⎭⎝⎛9⎫⎛1⎫
- 7⎪ 2⎪⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ -1⎪ -2⎪
所以通解为k 1 +k +.
7⎪2 2⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪
01 ⎪ ⎪⎝0⎭ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭
线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 姓名
第四节 克拉默法则
一、选择题：
⎧3x +ky -z =0
⎪
4y +z =0有非零解，则k 1．若方程组⎨
⎪kx -5y +z =0⎩
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）k =3
3．设ξ1, ξ2为齐次线性方程组Ax =0的解，η1, η2为非齐次线性方程组Ax =b 的解，则[ C ] （A ）2ξ1+η1为Ax =0的解 （B ）η1（C ）ξ1+ξ2为Ax =0的解 （D ）η1二、填空题：
+η2为Ax =b 的解 -η2为Ax =b 的解
+z =0⎧kx
⎪
2. 若方程组⎨2x +ky +z =0 仅有零解，则k =2
⎪kx -2y +z =0⎩
三、计算题
1．计算A 是秩为3的5×4矩阵，α1, α2, α3是非齐次线性方程组Ax =b 的三个不同的解，若
α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T ，3α1+α2=(2, 4, 6, 8) T ，求方程组Ax =b 的通解。
解：因A 是秩为3的5×4矩阵，n -r =4-3=1, 故对应齐次线性方程组Ax =0的基础解系为ξ.
A [(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=A α1+A α2+2A α3-3A α1-A α2=b +b +2b -3b -b =0
ξ=[(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8)T =(0,-4, -6, -8) T 是对应齐次线性
方程组Ax =0的基础解系. 又A [(α1+α2+2α3) -
3
(3α1+α2)]=4b -3b =0， 434
34
12
29
η=[(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8) T =(, -3, -, -6) T 是非齐次线
性方程组Ax =b 的特解。
T
方程组Ax =b 的通解为x =C ξ+η=C (0,-4, -6, -8) +(, -3, -
122
, -6) T . 9
⎧2x 1+x 2-5x 3+x 4⎪x 1-3x 2-6x 4⎪
四、用克拉默法则解方程组⎨
2x 2-x 3+2x 4
⎪⎪⎩x 1+4x 2-7x 3+6x 4
=8=9=-5=0
21-51
1-30-6
解：D ==21≠0, 方程组有唯一解。
02-1214-7681-5128-519-30-6190-6D 1==81, D 2==-108
-52-120-5-1204-7610-76218121-581-39-61-309D 3==-27D 4==27
02-5202-1-5140614-70
方程组有唯一解为x 1=
D D 181D D 10899
=, x 2=2=-, x 3=3=-, x 4=4=. D 21D 21D 7D 7
线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 姓名 第一节 解线性方程组的消元法
一．选择题：
1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )
3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：
1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪ ⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪
1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭
（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则 a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：
⎧2x +y -z +w =1
⎪
1． 求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2
⎪2x +y -z -w =1⎩
⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫ ⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪ ⎪ ⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧1-y
⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x
⎪⎪⎪
z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0
⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪
⎩
⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪
3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
⎪x +x +λx =λ2
23⎩1
λ
1
1
1
λ
1
1
1=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)
λ
11⎫⎛111
⎪
11⎪→ 000
00011⎪⎭⎝
111⎫⎛2
⎪
-21-2⎪→ 1
01-24⎪⎭⎝
1⎫
⎪
0⎪，有无穷多解；0⎪⎭
111⎫
⎪
-21-2⎪，方程组无解。003⎪⎭
当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11
当λ=1时 11
11⎝⎛-2
当λ=-2时 1
1⎝
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 姓名 第四节 线 性 方 程 组 的 解
一．选择题：
T T
1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的
基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关 （B ）α2, α4线性无关 （C ）α1不能被α3, α4线性表示 （D ）α4能被α2, α3线性表示
η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，
则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2α2+(η1+η2) /2
（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η2
3．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，
α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]
（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6) T
⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪
4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得
⎪x +x +λx =0
23⎩1AB =0，则 [ C ]
（A ）λ=-2且B =0， （B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：
1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪ ⎪
1． 设A = 23a +2⎪ ，b = 2⎪ ，x = x 2⎪
1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭
（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：
1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且
η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解
解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b
那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.
又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪4⎪ 3⎪ 所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪ ⎪ ⎪⎝6⎭⎝5⎭
⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪
2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
⎪2x +4x +2x +x =-6
234⎩1
⎛1-52-311⎫⎛1-52-311⎫⎛1-52-311⎫ ⎪ ⎪ ⎪解: 536-1-1⎪→ 028-414-56⎪→ 014-27-28⎪
2421-6⎪ 014-27-28⎪ 0000⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫ ⎪-2⎪⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11 原方程组化为⎨, 求出一个解为
0⎪24x -2x +7x =-28234⎩
⎪⎝0⎭
⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=0
另外⎨
24x -2x +7x =0234⎩
⎛9⎫⎛1⎫ -7⎪ 2⎪ ⎪ ⎪
⎛1⎫⎛0⎫ 1⎪ 1⎪
设(x 3, x 4) 分别为 ⎪, ⎪. 解 , -⎪⎪
⎝0⎭⎝1⎭ 7⎪ 2⎪
1⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪
⎭⎝⎭⎝⎛9⎫⎛1⎫
- 7⎪ 2⎪⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ -1⎪ -2⎪
所以通解为k 1 +k +.
7⎪2 2⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪
01 ⎪ ⎪⎝0⎭ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭
线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 姓名
第四节 克拉默法则
一、选择题：
⎧3x +ky -z =0
⎪
4y +z =0有非零解，则k 1．若方程组⎨
⎪kx -5y +z =0⎩
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）k =3
3．设ξ1, ξ2为齐次线性方程组Ax =0的解，η1, η2为非齐次线性方程组Ax =b 的解，则[ C ] （A ）2ξ1+η1为Ax =0的解 （B ）η1（C ）ξ1+ξ2为Ax =0的解 （D ）η1二、填空题：
+η2为Ax =b 的解 -η2为Ax =b 的解
+z =0⎧kx
⎪
2. 若方程组⎨2x +ky +z =0 仅有零解，则k =2
⎪kx -2y +z =0⎩
三、计算题
1．计算A 是秩为3的5×4矩阵，α1, α2, α3是非齐次线性方程组Ax =b 的三个不同的解，若
α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T ，3α1+α2=(2, 4, 6, 8) T ，求方程组Ax =b 的通解。
解：因A 是秩为3的5×4矩阵，n -r =4-3=1, 故对应齐次线性方程组Ax =0的基础解系为ξ.
A [(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=A α1+A α2+2A α3-3A α1-A α2=b +b +2b -3b -b =0
ξ=[(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8)T =(0,-4, -6, -8) T 是对应齐次线性
方程组Ax =0的基础解系. 又A [(α1+α2+2α3) -
3
(3α1+α2)]=4b -3b =0， 434
34
12
29
η=[(α1+α2+2α3) -(3α1+α2)]=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8) T =(, -3, -, -6) T 是非齐次线
性方程组Ax =b 的特解。
T
方程组Ax =b 的通解为x =C ξ+η=C (0,-4, -6, -8) +(, -3, -
122
, -6) T . 9
⎧2x 1+x 2-5x 3+x 4⎪x 1-3x 2-6x 4⎪
四、用克拉默法则解方程组⎨
2x 2-x 3+2x 4
⎪⎪⎩x 1+4x 2-7x 3+6x 4
=8=9=-5=0
21-51
1-30-6
解：D ==21≠0, 方程组有唯一解。
02-1214-7681-5128-519-30-6190-6D 1==81, D 2==-108
-52-120-5-1204-7610-76218121-581-39-61-309D 3==-27D 4==27
02-5202-1-5140614-70
方程组有唯一解为x 1=
D D 181D D 10899
=, x 2=2=-, x 3=3=-, x 4=4=. D 21D 21D 7D 7