线性代数（低分数版）
习题一
1.2.3（答案略）
4. (1) ∵ (奇数)
∴ 为偶数
故所求为
(2) ∵ （奇数）
∴所求为397281564
5.(1)∵ (偶数)
∴项前的符号位 （正号）
（2）∵
∴ 项前的符号位 （负号）
6. (1)
（2）
（3）原式=
7.8（答案略）
9. ∵
∴
10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得
（2）按第一列展开：
（3）
习题二
1.2.3.4.5（答案略）
6. 设 为与可交换的矩阵，则有
即
解之得
7. （1） ， 记为
，记为
（2） 即
8（答案略）
9.
10. （1）
(2)
=
11. ∵
∴
反之 若 , 则 ,即
12. (1) 设 ∵ ∴
又∵ ∴
又
当 时，有
∴
（2）设 ， 则
∵ ∴
当 时，有
故 即
13.(1) ∵ ∴为对称矩阵
同理 也为对称矩阵
（2） ∵
∴ 为对称矩阵
又 ∵
∴ 为反对称矩阵
（3）∵
由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵
故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。
14. （1）必要性：∵
∴
充分性： ∵
∴
(2) 必要性： ∵
∴
充分性：∵
∴
(3) 必要性 ：∵
∴
即
充分性： ∵
∴
15（答案略）
16. ∵
∴ 可逆。
且
17. ∵
∴ 可逆，且
18. （答案略）
19. ∵, 若 可逆，则
∴ 故 可逆，且
20. 设 ，∵是对称矩阵 ∴ 记 ，则
，即为对称矩阵，又∵ , ∴ 为对称矩阵。
21. （1）设 ，则
（2） ∵ ∴
又 ∵
∴
于是 即
(3)∵ ∴
于是
(4) (注意加条件：可逆)
∵ 可逆 ∴
∴
22. ∵ ∴
23. 24.（答案略）
25. ∵ ∴
∴ 可逆，且
26. ∵ ∴
又 ∵, ,
∴
27（答案略）
28. ∵ ∴
又 ∵ ∴
故
29.
∵ ∴
∴
30. （答案略）
31. （1）
(2)
32.
33. (1) ∵
∴
(2) ∵
∴
习题三
1.2.3.4（答案略）
5. ∵ 不能由线性表示
∴线性方程组 无解
不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使
从而
此式与方程组无解矛盾。
故 不能由的任何部分组线性表示
6. 依题意
所以
即
7. ∵ ∴
令 ∵
∴ 可逆，于是
即
8．（答案略）
9. 当 即当 或时，线性相关
否则 线性无关。
10 .（1）设
则
∴ 即
故 线性无关。
（2）设
则
∵ 线性无关 ∴ 解之得
11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示；
另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为
∴ 向量组 与向量组等价。
12. 一方面 可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组， 从而可以由线性表示.
故
13. 设是向量组中任意一个向量
∵可由线性表示
又 ，∴ 线性无关
∴是的一个极大无关组。
14. ∵ 可由 线性表示，而也可由线性表示
∴ 从而
故 线性无关。
15. 必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。
充分性：∵ 任意维向量都可以由线性表示，∴基本单位向量组可由线性表示，故 ∴ 从而线性无关。
习题四
1.2.3.4.5.6(答案略)
7. 设 ，由 得 即
可见，是方程组的两个解
又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是，问题就转化为求解方程组 ∵
取 即为所求。
8、设所求方程组为 不妨设
依题设，
即
故所求方程组为
9、由题设可知为的解，又因为，所以的基础解为所含向量个数为． 故为的基础解系
于是的通解为
１０、的互解为
即
方程组有非零解．
显然满足方程 所以是所求非零的公共解．
11（答案略）
１２．由题设知，方程组的基础解系含一个解向量．
可见是方程组的基础解系
由知，知
即
又线性无关．
可见为它的一个解，
从而为的一个特解。
故的通解为
１３ （１）假设线性相关
线性无关
纯由向量组线性表示
从而是方程组的解 与已知矛盾
线性无关．
（２）设
又线性无关
从而 故线性无关．
１４．设是的一个解，是的基础解系 由１３知
又的任一解都可由向量组线性表示． 的解向量组所含向量个数 １５．设是的一个特解
是的一个基础解系
则的任意解
即
令
显然是的个线性无关的解. 则 其中
习题五 1（答案略） 2、设是的属于特征值的特征向量，则 即 解此方程组得或 3、设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则 即 故即或 4、 故 的特征值为. 5. 由题设知为的特征值。 于是 又 6. 7. 存在可逆矩阵，使 于是 故B 是幂等矩阵. 8. 令 依题设 9. 由，得（二重）， 可见方程的基础解系含2个解向量， 从而 又 10（答案略） 11. （1）设 原矩阵不是正交矩阵. （2） 令 所以原矩阵为正交矩阵. 12(答案略) 13. 设为与正交的向量.
则 即 ，此方程组的通解为
（1） A的属于特征值的特征向量为
（2）记 则
又
线性代数（低分数版）
习题一
1.2.3（答案略）
4. (1) ∵ (奇数)
∴ 为偶数
故所求为
(2) ∵ （奇数）
∴所求为397281564
5.(1)∵ (偶数)
∴项前的符号位 （正号）
（2）∵
∴ 项前的符号位 （负号）
6. (1)
（2）
（3）原式=
7.8（答案略）
9. ∵
∴
10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得
（2）按第一列展开：
（3）
习题二
1.2.3.4.5（答案略）
6. 设 为与可交换的矩阵，则有
即
解之得
7. （1） ， 记为
，记为
（2） 即
8（答案略）
9.
10. （1）
(2)
=
11. ∵
∴
反之 若 , 则 ,即
12. (1) 设 ∵ ∴
又∵ ∴
又
当 时，有
∴
（2）设 ， 则
∵ ∴
当 时，有
故 即
13.(1) ∵ ∴为对称矩阵
同理 也为对称矩阵
（2） ∵
∴ 为对称矩阵
又 ∵
∴ 为反对称矩阵
（3）∵
由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵
故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。
14. （1）必要性：∵
∴
充分性： ∵
∴
(2) 必要性： ∵
∴
充分性：∵
∴
(3) 必要性 ：∵
∴
即
充分性： ∵
∴
15（答案略）
16. ∵
∴ 可逆。
且
17. ∵
∴ 可逆，且
18. （答案略）
19. ∵, 若 可逆，则
∴ 故 可逆，且
20. 设 ，∵是对称矩阵 ∴ 记 ，则
，即为对称矩阵，又∵ , ∴ 为对称矩阵。
21. （1）设 ，则
（2） ∵ ∴
又 ∵
∴
于是 即
(3)∵ ∴
于是
(4) (注意加条件：可逆)
∵ 可逆 ∴
∴
22. ∵ ∴
23. 24.（答案略）
25. ∵ ∴
∴ 可逆，且
26. ∵ ∴
又 ∵, ,
∴
27（答案略）
28. ∵ ∴
又 ∵ ∴
故
29.
∵ ∴
∴
30. （答案略）
31. （1）
(2)
32.
33. (1) ∵
∴
(2) ∵
∴
习题三
1.2.3.4（答案略）
5. ∵ 不能由线性表示
∴线性方程组 无解
不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使
从而
此式与方程组无解矛盾。
故 不能由的任何部分组线性表示
6. 依题意
所以
即
7. ∵ ∴
令 ∵
∴ 可逆，于是
即
8．（答案略）
9. 当 即当 或时，线性相关
否则 线性无关。
10 .（1）设
则
∴ 即
故 线性无关。
（2）设
则
∵ 线性无关 ∴ 解之得
11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示；
另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为
∴ 向量组 与向量组等价。
12. 一方面 可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组， 从而可以由线性表示.
故
13. 设是向量组中任意一个向量
∵可由线性表示
又 ，∴ 线性无关
∴是的一个极大无关组。
14. ∵ 可由 线性表示，而也可由线性表示
∴ 从而
故 线性无关。
15. 必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。
充分性：∵ 任意维向量都可以由线性表示，∴基本单位向量组可由线性表示，故 ∴ 从而线性无关。
习题四
1.2.3.4.5.6(答案略)
7. 设 ，由 得 即
可见，是方程组的两个解
又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是，问题就转化为求解方程组 ∵
取 即为所求。
8、设所求方程组为 不妨设
依题设，
即
故所求方程组为
9、由题设可知为的解，又因为，所以的基础解为所含向量个数为． 故为的基础解系
于是的通解为
１０、的互解为
即
方程组有非零解．
显然满足方程 所以是所求非零的公共解．
11（答案略）
１２．由题设知，方程组的基础解系含一个解向量．
可见是方程组的基础解系
由知，知
即
又线性无关．
可见为它的一个解，
从而为的一个特解。
故的通解为
１３ （１）假设线性相关
线性无关
纯由向量组线性表示
从而是方程组的解 与已知矛盾
线性无关．
（２）设
又线性无关
从而 故线性无关．
１４．设是的一个解，是的基础解系 由１３知
又的任一解都可由向量组线性表示． 的解向量组所含向量个数 １５．设是的一个特解
是的一个基础解系
则的任意解
即
令
显然是的个线性无关的解. 则 其中
习题五 1（答案略） 2、设是的属于特征值的特征向量，则 即 解此方程组得或 3、设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则 即 故即或 4、 故 的特征值为. 5. 由题设知为的特征值。 于是 又 6. 7. 存在可逆矩阵，使 于是 故B 是幂等矩阵. 8. 令 依题设 9. 由，得（二重）， 可见方程的基础解系含2个解向量， 从而 又 10（答案略） 11. （1）设 原矩阵不是正交矩阵. （2） 令 所以原矩阵为正交矩阵. 12(答案略) 13. 设为与正交的向量.
则 即 ，此方程组的通解为
（1） A的属于特征值的特征向量为
（2）记 则
又