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算二重积 5．3 用极坐标系计算二重积分 为了用极坐标系计算二重积分,首先考察在极坐标系中如何表示平面区域的面积元. 用过原点的射线 (图7)，除了位于区域 和以原点为圆心的圆弧 ( )对区域 进行分割
的边界的那些形状不规则的小区域之外,大部分小区域都是位于区域 ,
内部的曲边四边
形.每一个曲边四边形有一组对边是半径不相等的同心圆弧
;另一组对边是两条射线
,
.当
和
很小时,这个曲边四边形，可以近似地看成 矩形,它的一个边长等于 这个曲边四边形的面积 ;另一个边长等于 就近似地等于 图５－８ .因此
于是二重积分的积分和
就变成 (5)
如果函数
在区域
上可积,那么,当
和
同时趋向于零时,这个积分和就趋向于积分
.于是在极坐标中,平面区域的面积元就是 (6) 同时二重积分 就表示为 (7) 于是得到下述结论: 假定平面区 假定平面区域 表示为 表示为 , 函数 在 上可积 二重积 上可积,则二重积分
可以化为累次积 可以化为累次积分: (8) 例4：计算积分 解：区域 是一个圆： ，其中 ，即 。画出图形(图5-9)。
在极坐标下，区域
表示为
，
.
化为极坐标下的累次积分：
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图５－９
例5：设有一半径为 求此板的质量 .
的半圆形薄板（图9），其上每一点
处质量密度是
，
解：在极坐标系中，该半圆形薄板可以表示为
所以半圆形薄板的质量
是
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算二重积 5．3 用极坐标系计算二重积分 为了用极坐标系计算二重积分,首先考察在极坐标系中如何表示平面区域的面积元. 用过原点的射线 (图7)，除了位于区域 和以原点为圆心的圆弧 ( )对区域 进行分割
的边界的那些形状不规则的小区域之外,大部分小区域都是位于区域 ,
内部的曲边四边
形.每一个曲边四边形有一组对边是半径不相等的同心圆弧
;另一组对边是两条射线
,
.当
和
很小时,这个曲边四边形，可以近似地看成 矩形,它的一个边长等于 这个曲边四边形的面积 ;另一个边长等于 就近似地等于 图５－８ .因此
于是二重积分的积分和
就变成 (5)
如果函数
在区域
上可积,那么,当
和
同时趋向于零时,这个积分和就趋向于积分
.于是在极坐标中,平面区域的面积元就是 (6) 同时二重积分 就表示为 (7) 于是得到下述结论: 假定平面区 假定平面区域 表示为 表示为 , 函数 在 上可积 二重积 上可积,则二重积分
可以化为累次积 可以化为累次积分: (8) 例4：计算积分 解：区域 是一个圆： ，其中 ，即 。画出图形(图5-9)。
在极坐标下，区域
表示为
，
.
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图５－９
例5：设有一半径为 求此板的质量 .
的半圆形薄板（图9），其上每一点
处质量密度是
，
解：在极坐标系中，该半圆形薄板可以表示为
所以半圆形薄板的质量
是
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