函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
③∵当x +1≥0且2-x ≠0，即x ≥-1且x ≠2时，根式x +1和分式∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2} 另解：要使函数有意义，必须： ⎨例2 求下列函数的定义域：
1
同时有意义， 2-x
⎧x +1≥0⎧x ≥-1
⇒ ⎨
2-x ≠0x ≠2⎩⎩
2（5）y=tanx中x ≠k π+π/2；y=cotx中x ≠k π等等。 ( 6 )x 0中x ≠0
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） 调性法
（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法 数法
（10）不等式法 （11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① f (x ) =
1x -2；② f (x ) =x +2；③ f (x ) =x +1+1
2-x
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式1
x -2
无意义，
而x ≠2时，分式1
x -2有意义，∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}.
②∵3x+2
3时，根式x +2无意义，
而3x +2≥0，即x ≥-2
3
时，根式3x +2才有意义，
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-2
3
}.
3）函数单6）反函数
9）复合函
1
①f (x ) =
4-x 2
-1 ②f (x ) =
x -3x -4
x +1-2
③f (x ) =
1 ④f (x ) =
(x +1) 01+
1x -x
1+1x
⑤y =
x -2+3+1x +7
解：①要使函数有意义，必须：4-x 2
≥1 即： -≤x ≤ ∴函数f (x ) =
4-x 2-1的定义域为： [-, 3]
②要使函数有意义，必须：⎧⎨x 2-3x -4≥0⇒⎧⎩
x +1-2≠0⎨x ≥4或x ≤-1
⎩x ≠-3且x ≠1
⇒x
∴定义域为：{ x|x
⎧⎪x ≠0⎪
⎧③要使函数有意义，必须： ⎪
⎨1+1≠0 ⇒⎪
x ≠0⎪
x
⎨x ≠-1 ⎪⎪⎩
x ≠-1⎪
1+1≠0
2
⎩
1+1x
∴函数的定义域为：{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -1
2
}
（ （ （
④要使函数有意义，必须： ⎨
⎧x +1≠0⎧x ≠-1
⇒⎨
x -x ≠0⎩⎩x
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x) 的定义域。
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1
2
∴定义域为：{x |x
练习：设f (x ) 的定义域是[-3，2]，求函数f (x -2) ⎧⎧x -2+3≥0⎪x ∈R 7 ⑤要使函数有意义，必须： ⎨ ⇒⎨x ≠-⎪⎩3x +7≠03⎩
777
即 x- ∴定义域为：{x |x ≠-}
333
例3 若函数y =
解：要使函数有意义，必须：-3≤ ∵
x -2≤2 得： -1≤x ≤2+2
x ≥0 ∴ 0≤x ≤2+2 0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为：x |0≤x ≤6+42
{ax 2-ax +
2
1
的定义域是R ，求实数a a
1
≥0恒成立， a
解：∵定义域是R, ∴ax -ax +
a >0⎧⎪1∴等价于⎨⇒0
例4 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1，1]，求函数y =f (x +
解：要使函数有意义，必须：
11
) ⋅f (x -) 44
例7已知f(2x－1) 的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
5
已知f(3x－1) 的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[-, 2）
2
（提示：定义域是自变量x 的取值范围） 练习：
已知f(x2) 的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数f (x +1)+f (2x -1)的定义域是 Ａ．[-1,1]
（ ）
1⎧⎧5
-1≤x +≤1-≤x ≤⎪⎪4⇒⎨4⎨13
⎪-1≤x -≤1⎪-≤x ≤
4⎩⎩4
∴函数y =f (x +
3
4⇒-3≤x ≤3 5444
3⎫⎬ 4⎭
Ｂ⎢-
⎡11⎤
, ⎥ ⎣22⎦
Ｃ．⎢, 1⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
Ｄ．⎢0, ⎥
2
（ ）
⎡1⎤⎣⎦
113⎧
) ⋅f (x -) 的定义域为：⎨x |-≤x ≤444⎩
已知函数f (x )=
例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1) 的定义域。
1+x
的定义域为Ａ，函数y =f ⎡⎣f (x )⎤⎦的定义域为Ｂ，则 1-x
Ａ．A B =B Ｂ．B ∈A Ｃ．A B =B Ｄ． A =B
分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1
在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1) 中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x 与f(2x－1) 中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x－1) 的定义域为[0，1]。
2
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ；
反比例函数y =
k
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}； x
2
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
22
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a 4a
例1 求下列函数的值域
2
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =- 1≤x ≤3）
3x
③ y =x +
1
（记住图像） x
解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略
③ 当x>0，∴y =x +
121
) +2≥2， =(x -
x x
⑴若定义域为R 时，
当x
121
) -2≤-2) =－(-x -
-x -x
①当a>0时，则当x =-②当a
2
b
时，其最小值y min =(4ac -b ) ； 2a 4a 2b
时，其最大值y max =(4ac -b ) . 2a 4a
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y =x +
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最
大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
1
的图像为： x
二次函数在区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①y =x 2-4x +1； ②；y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ③y =x -4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =x -4x +1, x ∈[0, 5]；
解：∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
3
2
2
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：1、求函数y =3+√(2－3x) 的值域
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x) ≥0，
故3+√(2－3x) ≥3。 ∴函数的值域为 [3, +∞) .
2、求函数y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
解： 对称轴 x =1∈[0, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]
2
∴原函数值域为2, 2
]
-1≤x ≤1 ∴设x =cos θθ∈[0, π]
例6 （选不要求）求函数y =x +-x 2的值域
解：（三角换元法）
∴x =1时, y min =4
x =5时, y max =20 ∴值域为[4, 20]
例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增
减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法(下题讲)
y =cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+) ∈-1, 2
4
∴原函数的值域为-1, 2
π
[]
[]
小结：（1）若题目中含有a ≤1，则可设
a =sin θ, -
π
2
≤θ≤
2
π
2
(或设a =cos θ, 0≤θ≤π)
2
（2）若题目中含有a +b =1则可设a =cos θ, b =sin θ，其中0≤θ
（3）若题目中含有-x 2，则可设x =cos θ，其中0≤θ≤π （4）若题目中含有+x 2，则可设x =tan θ，其中-
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解：（换元法）设-x =t ，则y =-t +2t +1(t ≥0)
2
π
2
π
2
对称轴t =1∈[0, +∞)，且开口向下
∴当t =1时，y max =2
（5）若题目中含有x +y =r (x >0, y >0, r >0) ，则可设x =
其中θ∈ 0,
r cos 2θ, y =r sin 2θ
∴值域为(-∞, 2]
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函
数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例5 （选）求函数y =
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
例7 求y =x -3-x + 的值域
x -3+5-x 的值域
解：（平方法）函数定义域为：x ∈[3, 5]
, x
⎪
解法一：（图象法）可化为 y =⎨2-2x , -1≤x ≤3 如图，
⎪-4, x >3⎩
观察得值域y -4≤y ≤4
{}
4
可得。
解法一：（逆求法）解出x , x =
1+2y
{y y ≠1} 观察得原函数值域为
1-y
解法三：（选）（不等式法）
x +2-33
=1-≠1 ，可得值域{y y ≠1}
x +2x +2
ax +b
(c ≠0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，小结：已知分式函数y =
cx +d
解法二：（分离常数法）由y =
同样可得值域
值域为⎨y y ≠
x -3-x +1≤(x -3) -
(x +1) =4
x -3-x +1=(x +1) -4-x +1≥x +1-4-x +1=-4
⎧⎩a ⎫
，采用部分分式法将原函⎬；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
c ⎭
练习：y =x +x +的值域呢？
（[1, +∞)）（三种方法均可） 例8 求函数y =9-3+2(x ∈[0, 1]) 的值域
x
x
x 解：（换元法）设3=t ，则 1≤t ≤3 原函数可化为
ad
a c (ad ≠bc ) ，用复合函数法来求值域。 数化为y =+
c cx +d
b -
3x
例12 求函数y =x 的值域
3+1
解法一：（逆求法） 3=
x
y =t 2-t +2, 对称轴t =
∴t =1时, y min
1
∉[1, 3]2
=2; t =3时, y max =8
y
>01-y
∴0
∴值域为[2, 8]
例9求函数y = ⎪
：（换元法）设3+1=t ，
x
⎛1⎫
⎝3⎭
-x 2+2x
的值域
t
2
2
3x +1-111
(t >1) =1-=1-则y =x x
t 3+13+1
⎛1⎫
解：（换元法）令t =-x +2x =-(x -1) +1，则y = ⎪(t ≤1)
⎝3⎭
由指数函数的单调性知，原函数的值域为⎢, +∞⎪ 例10 求函数 y =2
x
1
t >1∴0
t
∴0
⎡1⎣3⎫⎭
∴原函数的值域为(01)
(x ≤0) 的值域
2x -1
练习：y =x ；（y ∈(-1，1) ）.
2+1x 2-1
例13 函数y =2 的值域
x +1
解法一：（逆求法） x =
2
解：（图象法）如图，值域为(0, 1] 例11 求函数y =
x -1
的值域 x +2
1+y
≥01-y
∴-1≤y
5
∴原函数的值域为[-1, 1)
综合1）、2）值域{y |0
解法二：（换元法）设x 2
+1=t ，则
2
t ≥1∴0
t
≤2∴-1≤y
∴原函数值域即得
解法三：（判别式法）原函数可化为 (y -1) x 2+0⋅x +y +1=0 1） y =1时 不成立
2） y ≠1时，∆≥0⇒0-4(y -1)(y +1) ≥0⇒-1≤y ≤1
∴-1≤y
综合1）、2）值域{y |-1≤y
解法四：（三角换元法） x ∈R
∴设x =tan θθ∈⎛ ππ⎫
⎝-2, 2⎪⎭
，则
=-1-tan 2y θ
1+tan 2θ
=-cos 2θ 2θ∈(-π, π)∴cos 2θ∈(-1, 1]
∴原函数的值域为{y |-1≤y
5
2x 2-4x +3
的值域
解法一：（判别式法）化为2yx 2
-4yx +(3y -5) =0
1）y =0时，不成立 2）y ≠0时，∆≥0得
(4y ) -8y (3y -5) ≥0⇒0≤y ≤5 ∴0
解法二：（复合函数法）令2x 2
-4x +3=t ，则y =
5t
t =2(x -1) 2+1≥1
∴0
例15 函数y =x +
1
x
+1的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 x 2
+(1-y ) x +1=0
∆≥0
∴(1-y ) 2-4≥0
∴y ≥3或y ≤-1
∴原函数值域为
(-∞, -1] [3, +∞)
解法二：（不等式法）1）当x >0时，x +1
≥2∴y
≥3 2） x
例16 (选) 求函数y =
x 2+2x +2
x +1
(x >-1) 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 x 2
+(2-y ) x +2-y =0
∆≥0∴(2-y ) 2-4(2-y ) ≥0
⇒y ≥2或y
≤-2
x >-1∴y ≤-2舍去
∴原函数值域为
[2, +∞)解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当
x =0时取等号，故值域为[2, +∞)
6
x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 例17 （选） 求函数y =
x +1
解：（换元法）令x +1=t
。。
小结：已知分式函数y =
在此区间内 (4x-x ) max =4 ，(4x-x ) min =0 ∴函数y =2-4x -x 2的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
22
ax +bx +c
(a 2+d 2≠0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求2
dx +ex +f
2
值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选）y =
二次式一次式
(或y =) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最
一次式二次式
⎧-2x +1(x
⎪
解法1：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
a
(x ≠0) 的单调性去解。大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y =x + x
练习：
1
1 、y =x 2+2+9(x ≠0) ；
x
11
解：∵x ≠0，y =x 2+2+9=(x -) 2+11，∴y ≥11.
x x
另外，此题利用基本不等式解更简捷：y =x 2+2 、y =0
3 、求函数的值域
①y =x +2-x ； ②y =2-4x -x
2
解：①令u =2-x ≥0, 则x =2-u ,
5、求函数y =2x +4-x 的值域 解：设 t =-x 则 t ≥0 x=1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4
2
1
+9≥2+9=11(或利用对勾函数图像法) x 2
5
2
2x -4x +3
x 2-5x +6
6、（选）求函数y =2的值域
x +x -6
2
方法一：去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)+4(y-1) ×6(y+1)≥0
2
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -) +2
12
2
9,
4
由此得 (5y+1)≥2
2
②解：令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
7
1
-+51检验 y =- （有一个根时需验证）时 x =-=2（代入①求根）
56
2⋅(-)
5
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
1 5
1x 2-5x +6
综上所述，函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5x +x -6
方法二：把已知函数化为函数y =
(x -2)(x -3) x -36
(x≠2) ==1-
(x -2)(x +3) x +3x -3
由此可得 y ≠1，∵ x=2时y =-15即y ≠-1
5
y ≠-15∴函数y =x 2-5x +6
x 2+x -6
的值域为 { y| y ≠1且
8
函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
③∵当x +1≥0且2-x ≠0，即x ≥-1且x ≠2时，根式x +1和分式∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2} 另解：要使函数有意义，必须： ⎨例2 求下列函数的定义域：
1
同时有意义， 2-x
⎧x +1≥0⎧x ≥-1
⇒ ⎨
2-x ≠0x ≠2⎩⎩
2（5）y=tanx中x ≠k π+π/2；y=cotx中x ≠k π等等。 ( 6 )x 0中x ≠0
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） 调性法
（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法 数法
（10）不等式法 （11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① f (x ) =
1x -2；② f (x ) =x +2；③ f (x ) =x +1+1
2-x
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式1
x -2
无意义，
而x ≠2时，分式1
x -2有意义，∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}.
②∵3x+2
3时，根式x +2无意义，
而3x +2≥0，即x ≥-2
3
时，根式3x +2才有意义，
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-2
3
}.
3）函数单6）反函数
9）复合函
1
①f (x ) =
4-x 2
-1 ②f (x ) =
x -3x -4
x +1-2
③f (x ) =
1 ④f (x ) =
(x +1) 01+
1x -x
1+1x
⑤y =
x -2+3+1x +7
解：①要使函数有意义，必须：4-x 2
≥1 即： -≤x ≤ ∴函数f (x ) =
4-x 2-1的定义域为： [-, 3]
②要使函数有意义，必须：⎧⎨x 2-3x -4≥0⇒⎧⎩
x +1-2≠0⎨x ≥4或x ≤-1
⎩x ≠-3且x ≠1
⇒x
∴定义域为：{ x|x
⎧⎪x ≠0⎪
⎧③要使函数有意义，必须： ⎪
⎨1+1≠0 ⇒⎪
x ≠0⎪
x
⎨x ≠-1 ⎪⎪⎩
x ≠-1⎪
1+1≠0
2
⎩
1+1x
∴函数的定义域为：{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -1
2
}
（ （ （
④要使函数有意义，必须： ⎨
⎧x +1≠0⎧x ≠-1
⇒⎨
x -x ≠0⎩⎩x
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x) 的定义域。
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1
2
∴定义域为：{x |x
练习：设f (x ) 的定义域是[-3，2]，求函数f (x -2) ⎧⎧x -2+3≥0⎪x ∈R 7 ⑤要使函数有意义，必须： ⎨ ⇒⎨x ≠-⎪⎩3x +7≠03⎩
777
即 x- ∴定义域为：{x |x ≠-}
333
例3 若函数y =
解：要使函数有意义，必须：-3≤ ∵
x -2≤2 得： -1≤x ≤2+2
x ≥0 ∴ 0≤x ≤2+2 0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为：x |0≤x ≤6+42
{ax 2-ax +
2
1
的定义域是R ，求实数a a
1
≥0恒成立， a
解：∵定义域是R, ∴ax -ax +
a >0⎧⎪1∴等价于⎨⇒0
例4 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1，1]，求函数y =f (x +
解：要使函数有意义，必须：
11
) ⋅f (x -) 44
例7已知f(2x－1) 的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
5
已知f(3x－1) 的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[-, 2）
2
（提示：定义域是自变量x 的取值范围） 练习：
已知f(x2) 的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数f (x +1)+f (2x -1)的定义域是 Ａ．[-1,1]
（ ）
1⎧⎧5
-1≤x +≤1-≤x ≤⎪⎪4⇒⎨4⎨13
⎪-1≤x -≤1⎪-≤x ≤
4⎩⎩4
∴函数y =f (x +
3
4⇒-3≤x ≤3 5444
3⎫⎬ 4⎭
Ｂ⎢-
⎡11⎤
, ⎥ ⎣22⎦
Ｃ．⎢, 1⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
Ｄ．⎢0, ⎥
2
（ ）
⎡1⎤⎣⎦
113⎧
) ⋅f (x -) 的定义域为：⎨x |-≤x ≤444⎩
已知函数f (x )=
例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1) 的定义域。
1+x
的定义域为Ａ，函数y =f ⎡⎣f (x )⎤⎦的定义域为Ｂ，则 1-x
Ａ．A B =B Ｂ．B ∈A Ｃ．A B =B Ｄ． A =B
分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1
在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1) 中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x 与f(2x－1) 中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x－1) 的定义域为[0，1]。
2
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ；
反比例函数y =
k
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}； x
2
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
22
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a 4a
例1 求下列函数的值域
2
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =- 1≤x ≤3）
3x
③ y =x +
1
（记住图像） x
解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略
③ 当x>0，∴y =x +
121
) +2≥2， =(x -
x x
⑴若定义域为R 时，
当x
121
) -2≤-2) =－(-x -
-x -x
①当a>0时，则当x =-②当a
2
b
时，其最小值y min =(4ac -b ) ； 2a 4a 2b
时，其最大值y max =(4ac -b ) . 2a 4a
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y =x +
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最
大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
1
的图像为： x
二次函数在区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①y =x 2-4x +1； ②；y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ③y =x -4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =x -4x +1, x ∈[0, 5]；
解：∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
3
2
2
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：1、求函数y =3+√(2－3x) 的值域
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x) ≥0，
故3+√(2－3x) ≥3。 ∴函数的值域为 [3, +∞) .
2、求函数y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
解： 对称轴 x =1∈[0, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]
2
∴原函数值域为2, 2
]
-1≤x ≤1 ∴设x =cos θθ∈[0, π]
例6 （选不要求）求函数y =x +-x 2的值域
解：（三角换元法）
∴x =1时, y min =4
x =5时, y max =20 ∴值域为[4, 20]
例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增
减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法(下题讲)
y =cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+) ∈-1, 2
4
∴原函数的值域为-1, 2
π
[]
[]
小结：（1）若题目中含有a ≤1，则可设
a =sin θ, -
π
2
≤θ≤
2
π
2
(或设a =cos θ, 0≤θ≤π)
2
（2）若题目中含有a +b =1则可设a =cos θ, b =sin θ，其中0≤θ
（3）若题目中含有-x 2，则可设x =cos θ，其中0≤θ≤π （4）若题目中含有+x 2，则可设x =tan θ，其中-
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解：（换元法）设-x =t ，则y =-t +2t +1(t ≥0)
2
π
2
π
2
对称轴t =1∈[0, +∞)，且开口向下
∴当t =1时，y max =2
（5）若题目中含有x +y =r (x >0, y >0, r >0) ，则可设x =
其中θ∈ 0,
r cos 2θ, y =r sin 2θ
∴值域为(-∞, 2]
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函
数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例5 （选）求函数y =
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
例7 求y =x -3-x + 的值域
x -3+5-x 的值域
解：（平方法）函数定义域为：x ∈[3, 5]
, x
⎪
解法一：（图象法）可化为 y =⎨2-2x , -1≤x ≤3 如图，
⎪-4, x >3⎩
观察得值域y -4≤y ≤4
{}
4
可得。
解法一：（逆求法）解出x , x =
1+2y
{y y ≠1} 观察得原函数值域为
1-y
解法三：（选）（不等式法）
x +2-33
=1-≠1 ，可得值域{y y ≠1}
x +2x +2
ax +b
(c ≠0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，小结：已知分式函数y =
cx +d
解法二：（分离常数法）由y =
同样可得值域
值域为⎨y y ≠
x -3-x +1≤(x -3) -
(x +1) =4
x -3-x +1=(x +1) -4-x +1≥x +1-4-x +1=-4
⎧⎩a ⎫
，采用部分分式法将原函⎬；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
c ⎭
练习：y =x +x +的值域呢？
（[1, +∞)）（三种方法均可） 例8 求函数y =9-3+2(x ∈[0, 1]) 的值域
x
x
x 解：（换元法）设3=t ，则 1≤t ≤3 原函数可化为
ad
a c (ad ≠bc ) ，用复合函数法来求值域。 数化为y =+
c cx +d
b -
3x
例12 求函数y =x 的值域
3+1
解法一：（逆求法） 3=
x
y =t 2-t +2, 对称轴t =
∴t =1时, y min
1
∉[1, 3]2
=2; t =3时, y max =8
y
>01-y
∴0
∴值域为[2, 8]
例9求函数y = ⎪
：（换元法）设3+1=t ，
x
⎛1⎫
⎝3⎭
-x 2+2x
的值域
t
2
2
3x +1-111
(t >1) =1-=1-则y =x x
t 3+13+1
⎛1⎫
解：（换元法）令t =-x +2x =-(x -1) +1，则y = ⎪(t ≤1)
⎝3⎭
由指数函数的单调性知，原函数的值域为⎢, +∞⎪ 例10 求函数 y =2
x
1
t >1∴0
t
∴0
⎡1⎣3⎫⎭
∴原函数的值域为(01)
(x ≤0) 的值域
2x -1
练习：y =x ；（y ∈(-1，1) ）.
2+1x 2-1
例13 函数y =2 的值域
x +1
解法一：（逆求法） x =
2
解：（图象法）如图，值域为(0, 1] 例11 求函数y =
x -1
的值域 x +2
1+y
≥01-y
∴-1≤y
5
∴原函数的值域为[-1, 1)
综合1）、2）值域{y |0
解法二：（换元法）设x 2
+1=t ，则
2
t ≥1∴0
t
≤2∴-1≤y
∴原函数值域即得
解法三：（判别式法）原函数可化为 (y -1) x 2+0⋅x +y +1=0 1） y =1时 不成立
2） y ≠1时，∆≥0⇒0-4(y -1)(y +1) ≥0⇒-1≤y ≤1
∴-1≤y
综合1）、2）值域{y |-1≤y
解法四：（三角换元法） x ∈R
∴设x =tan θθ∈⎛ ππ⎫
⎝-2, 2⎪⎭
，则
=-1-tan 2y θ
1+tan 2θ
=-cos 2θ 2θ∈(-π, π)∴cos 2θ∈(-1, 1]
∴原函数的值域为{y |-1≤y
5
2x 2-4x +3
的值域
解法一：（判别式法）化为2yx 2
-4yx +(3y -5) =0
1）y =0时，不成立 2）y ≠0时，∆≥0得
(4y ) -8y (3y -5) ≥0⇒0≤y ≤5 ∴0
解法二：（复合函数法）令2x 2
-4x +3=t ，则y =
5t
t =2(x -1) 2+1≥1
∴0
例15 函数y =x +
1
x
+1的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 x 2
+(1-y ) x +1=0
∆≥0
∴(1-y ) 2-4≥0
∴y ≥3或y ≤-1
∴原函数值域为
(-∞, -1] [3, +∞)
解法二：（不等式法）1）当x >0时，x +1
≥2∴y
≥3 2） x
例16 (选) 求函数y =
x 2+2x +2
x +1
(x >-1) 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 x 2
+(2-y ) x +2-y =0
∆≥0∴(2-y ) 2-4(2-y ) ≥0
⇒y ≥2或y
≤-2
x >-1∴y ≤-2舍去
∴原函数值域为
[2, +∞)解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当
x =0时取等号，故值域为[2, +∞)
6
x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 例17 （选） 求函数y =
x +1
解：（换元法）令x +1=t
。。
小结：已知分式函数y =
在此区间内 (4x-x ) max =4 ，(4x-x ) min =0 ∴函数y =2-4x -x 2的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
22
ax +bx +c
(a 2+d 2≠0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求2
dx +ex +f
2
值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选）y =
二次式一次式
(或y =) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最
一次式二次式
⎧-2x +1(x
⎪
解法1：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
a
(x ≠0) 的单调性去解。大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y =x + x
练习：
1
1 、y =x 2+2+9(x ≠0) ；
x
11
解：∵x ≠0，y =x 2+2+9=(x -) 2+11，∴y ≥11.
x x
另外，此题利用基本不等式解更简捷：y =x 2+2 、y =0
3 、求函数的值域
①y =x +2-x ； ②y =2-4x -x
2
解：①令u =2-x ≥0, 则x =2-u ,
5、求函数y =2x +4-x 的值域 解：设 t =-x 则 t ≥0 x=1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4
2
1
+9≥2+9=11(或利用对勾函数图像法) x 2
5
2
2x -4x +3
x 2-5x +6
6、（选）求函数y =2的值域
x +x -6
2
方法一：去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)+4(y-1) ×6(y+1)≥0
2
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -) +2
12
2
9,
4
由此得 (5y+1)≥2
2
②解：令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
7
1
-+51检验 y =- （有一个根时需验证）时 x =-=2（代入①求根）
56
2⋅(-)
5
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
1 5
1x 2-5x +6
综上所述，函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5x +x -6
方法二：把已知函数化为函数y =
(x -2)(x -3) x -36
(x≠2) ==1-
(x -2)(x +3) x +3x -3
由此可得 y ≠1，∵ x=2时y =-15即y ≠-1
5
y ≠-15∴函数y =x 2-5x +6
x 2+x -6
的值域为 { y| y ≠1且
8