函数定义域、值域求法总结
一. 求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x ≠k π+π/2;y=cotx中x ≠k π等等。 ( 6 )x 0中x ≠0
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① f (x ) =
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式
而x ≠2时,分式
1
;② f (x ) =x +2;③ f (x ) =x -2
1
无意义, x -2
x +1+
1 2-x
1
有意义,∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}. x -22
②∵3x+2
3
2
而3x +2≥0,即x ≥-时,根式3x +2才有意义,
3
2
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-}.
3
③∵当x +1≥0且2-x ≠0,即x ≥-1且x ≠2时,根式x +1和分式意义,
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2}
1
同时有2-x
⎧x +1≥0
另解:要使函数有意义,必须: ⎨ ⇒
2-x ≠0⎩
例2 求下列函数的定义域:
①f (x ) =
⎧x ≥-1
⎨x ≠2⎩
4-x -1 ②f (x ) =
2
x 2-3x -4
x +1-2
③f (x ) =
11+
11+1x
④f (x ) =
(x +1) 0x -x
⑤y =
x -2+3+3
13x +7
解:①要使函数有意义,必须:4-x ≥1 即: -≤x ≤ ∴函数f (x ) =
2
4-x 2-1的定义域为: [-3, ]
⎧x 2-3x -4≥0⎧x ≥4或x ≤-1
⇒⎨②要使函数有意义,必须:⎨ ⎩x ≠-3且x ≠1⎩x +-2≠0
⇒x
∴定义域为:{ x|x
⎧x ≠0
⎪⎪
1⎪
③要使函数有意义,必须: ⎨1+≠0 ⇒
x ⎪
⎪1+1≠0
⎪
1+⎩
x
1
∴函数的定义域为:{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -
2
④要使函数有意义,必须: ⎨
⎧x ≠0⎪
⎨x ≠-1 ⎪x ≠-1⎩
2
⎧x +1≠0⎧x ≠-1
⇒⎨
⎩x
∴定义域为:{x |x
⎧⎧x -2+3≥0⎪x ∈R 7 ⑤要使函数有意义,必须: ⎨ ⇒⎨x ≠-⎪⎩3x +7≠03⎩
777
即 x- ∴定义域为:{x |x ≠-
333
2 定义域的逆向问题
例3 若函数y =
ax 2-ax +
1
的定义域是R ,求实数a (定义域的逆向问题) a
ax 2-ax +
解:∵定义域是R, ∴
1
≥0恒成立,a
a >0⎧⎪1等价于⎨⇒0
∆=a 2-4a ⋅≤0⎪a ⎩∴
y =
练习:
log
2
x 2-mx +3
定义域是一切实数,则m 的取值范围;
3 复合函数定义域的求法
例4 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1,1],求函数y =f (x +) ⋅f (x -) 1414
解:要使函数有意义,必须:
3
4⇒-3≤x ≤35444
3⎧11x |-≤x ≤y =f (x +) ⋅f (x -) ⎨
444的定义域为:⎩∴函数
1⎧⎧5
-1≤x +≤1⎪⎪-4≤x ≤4⇒⎨⎨13
⎪-1≤x -≤1⎪-≤x ≤
4⎩⎩4
3⎫
⎬4⎭
例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1) 的定义域。
分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x-1) 中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1, 解出x 的取
值范围就是复合函数的定义域。
(注意:f(x)中的x 与f(2x-1) 中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x-1) 的定义域为[0,1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x) 的定义域。
答案:-1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒-1≤x ≤1
练习:设f (x ) 的定义域是[-3,2],求函数f (x -2) 2
解:要使函数有意义,必须:-3≤ ∵
x -2≤2 得: -1≤x ≤2+2
x ≥0 ∴ 0≤x ≤2+2 0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为:x |0≤x ≤6+42
{}
例7 已知f(2x-1) 的定义域为[0,1],求f(x)的定义域
因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。
练习:
5
1 已知f(3x-1) 的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[-, 2)
2
(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x2) 的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
3 若y =f (x )的定义域是[0,2],则函数f (x +1)+f (2x -1)的定义域是 ( )
A.[-1,1]
B⎢-
⎡11⎤
, ⎥ ⎣22⎦
C.⎢, 1⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
D.⎢0, ⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
4 已知函数f (x )=
A.A
1+x
的定义域为A,函数y =f ⎡⎣f (x )⎤⎦的定义域为B,则( ) 1-x
B =B B.B ∈A C.A B =B D. A =B
求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法)
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ,值域为R ;
y =
k
(k ≠0) x 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};
反比例函数
2
二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的定义域为R ,
(4ac -b 2) (4ac -b 2) y |y ≥y |y ≤
4a 4a 当a>0时,值域为{};当a
例1 求下列函数的值域
2
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =- 1≤x ≤3)
3x
③ y =x +
1
(记住图像) x
解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,
∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5]
②略
③ 当x>0,∴y =x +
121
) +2≥2, =(x -
x x
121
) =-(-x -) -2≤-当x
∴值域是(-∞, -2] [2,+∞). (此法也称为配方法) 函数y =x +
1
的图像为:
x
二次函数在区间上的值域(最值) :
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
①y =x 2-4x +1; ②;y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ③y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]; ④y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]; 解:∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4],
当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,y min =-3,y max =6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当x =- ②当a
2
b
时,其最小值y min =(4ac -b ) ; 2a 4a 2b
时,其最大值y max =(4ac -b ) ; 2a 4a
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内,只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行
讨论.
练习:1、求函数y =3+2-3x 的值域
解:由算术平方根的性质,知2-3x ≥0,故3+2-3x ≥3。∴函数的值域为 2、求函数y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
∴x =1时, y min =4∴值域为[4, 20]x =5时, y max =20
[3, +∞)
.
解: 对称轴 x =1∈[0, 5]
1 单调性法
例3 求函数y=4x--3x (x≤1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)= -
-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而
y=f(x)+g(x)=4x--3x
在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函
数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})
2 换元法
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解:设-x =t ,则y =-t 2+2t +1(t ≥0)
对称轴t =1∈[0, +∞),且开口向下∴当t =1时,y m a x =2∴值域为(-∞, 2]
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确
定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习:求函数y=x -1-x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 求
1+sin x cos x
的值域;
sin x +c o x s
例5 (三角换元法)求函数y =x +-x 2的值域
解:
-1≤x ≤1 ∴设x =cos θθ∈[0, π]
y =cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+∴原函数的值域为-1, 2
π
4
) ∈-1, 2
[
[]
]
小结:(1)若题目中含有a ≤1,则可设a =sin θ, -
2
2
ππ
≤θ≤(或设a =cos θ, 0≤θ≤π) 22
,其中0≤θ
(2)若题目中含有a +b =1则可设a =cos θ, b =sin θ
(3)若题目中含有-x 2,则可设x =cos θ,其中0≤θ≤π (4)若题目中含有+x 2,则可设x =tan θ,其中-
π
2
π
2
(5)若题目中含有x +y =r (x >0, y >0, r >0) ,则可设x =r cos 2θ, y =r sin 2θ其中
θ∈ 0,
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
3 平方法
例5 (选)求函数y =
x -3+5-x 的值域
解:函数定义域为:x ∈[3, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]∴原函数值域为2, 2
2
]
4 分离常数法 例6 求函数y =
x -1
的值域 x +2
x +2-33
=1-≠1 ,可得值域{y y ≠1} 由y =
x +2x +2
ax +b
(c ≠0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量
cx +d
小结:已知分式函数y =
a ⎫的要求)内,值域为⎧,⎨y y ≠⎬;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)c ⎭⎩
ad
(ad ≠bc ) ,用复合函数法来采用部分分式法将原函数化为y =a +
c cx +d
b -
求值域。
练习 求函数y =
2x -1
的值域 4x +6
3x
求函数y =x 的值域
3+1
求函数 y =
2x -12+1
x
的值域;(y ∈(-1,1) )
例7 求y =x -3-x + 的值域
, x
⎪
解法一:(图象法)可化为 y =⎨2-2x , -1≤x ≤3
⎪-4, x >3⎩
观察得值域y -4≤y ≤4
解法二:(不等式法)
{}
x -3-x +1≤(x -3) -(x +1) =4
x -3-x +1=(x +1) -4-x +1≥x +1-4-x +1=-4
同样可得值域
练习:y =x +x +的值域 [1, +∞)
例8 求函数y =9x -3x +2(x ∈[0, 1]) 的值域
x
解:(换元法)设3=t ,则 1≤t ≤3 原函数可化为
y =t 2-t +2, 对称轴t =∴值域为[2, 8]
1
∉[1, 3]∴t =1时, y min =2; t =3时, y max =8 2
例9求函数y = ⎪
⎛1⎫⎝3⎭
-x 2+2x
的值域
t
⎛1⎫
解:(换元法)令t =-x +2x =-(x -1) +1,则y = ⎪(t ≤1)
⎝3⎭
2
2
由指数函数的单调性知,原函数的值域为⎢, +∞⎪
例10 求函数 y =2
x
⎡1⎣3⎫⎭
(x ≤0) 的值域
解:(图象法)如图,值域为(0, 1] (换元法)设3+1=t ,
x
3x +1-111
(t >1) =1-=1-则y =x x
t 3+13+11
t >1∴0
t
∴原函数的值域为(0, 1)
∴0
x 2-1
例13 函数y =2 的值域
x +1
解法一:(逆求法) x = ∴原函数的值域为[-1, 1)
解法二:(换元法)设x +1=t ,则
2
t ≥1∴0
t
∴-1≤y
2
2
2
1+y
≥01-y
∴-1≤y
2
解法三:(判别式法)原函数可化为 (y -1) x +0⋅x +y +1=0
1) y =1时 不成立
2) y ≠1时,∆≥0⇒0-4(y -1)(y +1) ≥0⇒-1≤y ≤1
∴-1≤y
综合1)、2)值域{y |-1≤y
⎛ππ⎫
∴设x =tan θθ∈ -, ⎪,则
⎝22⎭
1-tan 2θy =-=-cos 2θ 2θ∈(-π, π)∴cos 2θ∈(-1, 1]2
1+tan θ
∴原函数的值域为{y |-1≤y
5
的值域
2x 2-4x +3
解法一:(判别式法)化为2yx 2-4yx +(3y -5) =0
1)y =0时,不成立 2)y ≠0时,∆≥0得
(4y ) -8y (3y -5) ≥0⇒0≤y ≤5 ∴0
综合1)、2)值域{y |0
2
解法二:(复合函数法)令2x -4x +3=t ,则y =
5
t
t =2(x -1) 2+1≥1
∴0
例15 函数y =x +
1
+1的值域 x
2
解法一:(判别式法)原式可化为 x +(1-y ) x +1=0
∆≥0
∴(1-y ) 2-4≥0
∴y ≥3或y ≤-1
∴原函数值域为(-∞, -1] [3, +∞)
解法二:(不等式法)1)当x >0时,x +
x +
⎡11⎤
=-⎢(-x ) +⎥≤-2x (-x ) ⎣⎦
1
≥2∴y ≥3 x
∴y ≤-1
2) x
综合1)2)知,原函数值域为(-∞, -1] [3, +∞)
x 2+2x +2
(x >-1) 的值域 例16 (选) 求函数y =
x +1
解法一:(判别式法)原式可化为 x 2+(2-y ) x +2-y =0
∆≥0∴(2-y ) 2-4(2-y ) ≥0
x >-1∴y ≤-2舍去
⇒y ≥2或y ≤-2
[2, +∞)∴原函数值域为
解法二:(不等式法)原函数可化为
当且仅当x =0时取等号,故值域为[2, +∞)
x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 例17 (选) 求函数y =
x +1
解:(换元法)令x +1=t
。。 ax 2+bx +c
小结:已知分式函数y =(a 2+d 2≠0) ,如果在其自然定义域内可采用2
dx +ex +f
判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为
(选)y =
二次式一次式
(或y =) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求
一次式二次式
a
(x ≠0) 的单调性去解。 x
1
+9(x ≠0) ; 2x
112
+9=(x -) +11,∴y ≥11.
x x 2
1
+9≥2+9=11(或利用对勾函数图x 2
出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数
y =x +
练习:
2
1 、y =x +
2
解:∵x ≠0,y =x +
2
另外,此题利用基本不等式解更简捷:y =x +
像法)
2 、y =0
3 、求函数的值域
①y =x +2-x ; ②y =2-4x -x 2 解:①令u =
5
2
2x -4x +3
2-x ≥0, 则x =2-u 2,
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -) +12
2
9,
4
2
②解:令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x-x ) max =4 ,(4x-x ) min =0 ∴函数y =2-4x -x 2的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
2
2
⎧-2x +1(x
⎪
解法1:将函数化为分段函数形式:y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
由图象可知,函数的值域是{y|y≥3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图
5、求函数y =2x +4-x 的值域 解:设 t =-x 则 t ≥0 x=1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4
2
x 2-5x +6
6、(选)求函数y =2的值域
x +x -6
方法一:去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)≥2
2
2
1+515检验 y =- (有一个根时需验证)时 x =-=2(代入①求根)
56
2⋅(-)
5
-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠- 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
15
1x 2-5x +6
综上所述,函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5x +x -6
方法二:把已知函数化为函数y =
(x -2)(x -3) x -36
(x≠2) ==1-
(x -2)(x +3) x +3x -3
11x 2-5x +6
由此可得 y ≠1,∵ x=2时y =-即 y ≠-∴函数y =2的值域为 { y|
55x +x -6
y ≠1且 y ≠-
1
5
函数定义域、值域求法总结
一. 求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x ≠k π+π/2;y=cotx中x ≠k π等等。 ( 6 )x 0中x ≠0
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① f (x ) =
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式
而x ≠2时,分式
1
;② f (x ) =x +2;③ f (x ) =x -2
1
无意义, x -2
x +1+
1 2-x
1
有意义,∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}. x -22
②∵3x+2
3
2
而3x +2≥0,即x ≥-时,根式3x +2才有意义,
3
2
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-}.
3
③∵当x +1≥0且2-x ≠0,即x ≥-1且x ≠2时,根式x +1和分式意义,
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2}
1
同时有2-x
⎧x +1≥0
另解:要使函数有意义,必须: ⎨ ⇒
2-x ≠0⎩
例2 求下列函数的定义域:
①f (x ) =
⎧x ≥-1
⎨x ≠2⎩
4-x -1 ②f (x ) =
2
x 2-3x -4
x +1-2
③f (x ) =
11+
11+1x
④f (x ) =
(x +1) 0x -x
⑤y =
x -2+3+3
13x +7
解:①要使函数有意义,必须:4-x ≥1 即: -≤x ≤ ∴函数f (x ) =
2
4-x 2-1的定义域为: [-3, ]
⎧x 2-3x -4≥0⎧x ≥4或x ≤-1
⇒⎨②要使函数有意义,必须:⎨ ⎩x ≠-3且x ≠1⎩x +-2≠0
⇒x
∴定义域为:{ x|x
⎧x ≠0
⎪⎪
1⎪
③要使函数有意义,必须: ⎨1+≠0 ⇒
x ⎪
⎪1+1≠0
⎪
1+⎩
x
1
∴函数的定义域为:{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -
2
④要使函数有意义,必须: ⎨
⎧x ≠0⎪
⎨x ≠-1 ⎪x ≠-1⎩
2
⎧x +1≠0⎧x ≠-1
⇒⎨
⎩x
∴定义域为:{x |x
⎧⎧x -2+3≥0⎪x ∈R 7 ⑤要使函数有意义,必须: ⎨ ⇒⎨x ≠-⎪⎩3x +7≠03⎩
777
即 x- ∴定义域为:{x |x ≠-
333
2 定义域的逆向问题
例3 若函数y =
ax 2-ax +
1
的定义域是R ,求实数a (定义域的逆向问题) a
ax 2-ax +
解:∵定义域是R, ∴
1
≥0恒成立,a
a >0⎧⎪1等价于⎨⇒0
∆=a 2-4a ⋅≤0⎪a ⎩∴
y =
练习:
log
2
x 2-mx +3
定义域是一切实数,则m 的取值范围;
3 复合函数定义域的求法
例4 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1,1],求函数y =f (x +) ⋅f (x -) 1414
解:要使函数有意义,必须:
3
4⇒-3≤x ≤35444
3⎧11x |-≤x ≤y =f (x +) ⋅f (x -) ⎨
444的定义域为:⎩∴函数
1⎧⎧5
-1≤x +≤1⎪⎪-4≤x ≤4⇒⎨⎨13
⎪-1≤x -≤1⎪-≤x ≤
4⎩⎩4
3⎫
⎬4⎭
例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1) 的定义域。
分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1, 解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x-1) 中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1, 解出x 的取
值范围就是复合函数的定义域。
(注意:f(x)中的x 与f(2x-1) 中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x-1) 的定义域为[0,1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x) 的定义域。
答案:-1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒-1≤x ≤1
练习:设f (x ) 的定义域是[-3,2],求函数f (x -2) 2
解:要使函数有意义,必须:-3≤ ∵
x -2≤2 得: -1≤x ≤2+2
x ≥0 ∴ 0≤x ≤2+2 0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为:x |0≤x ≤6+42
{}
例7 已知f(2x-1) 的定义域为[0,1],求f(x)的定义域
因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。
练习:
5
1 已知f(3x-1) 的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[-, 2)
2
(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x2) 的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
3 若y =f (x )的定义域是[0,2],则函数f (x +1)+f (2x -1)的定义域是 ( )
A.[-1,1]
B⎢-
⎡11⎤
, ⎥ ⎣22⎦
C.⎢, 1⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
D.⎢0, ⎥
2
⎡1⎤⎣⎦
4 已知函数f (x )=
A.A
1+x
的定义域为A,函数y =f ⎡⎣f (x )⎤⎦的定义域为B,则( ) 1-x
B =B B.B ∈A C.A B =B D. A =B
求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法)
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ,值域为R ;
y =
k
(k ≠0) x 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};
反比例函数
2
二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的定义域为R ,
(4ac -b 2) (4ac -b 2) y |y ≥y |y ≤
4a 4a 当a>0时,值域为{};当a
例1 求下列函数的值域
2
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =- 1≤x ≤3)
3x
③ y =x +
1
(记住图像) x
解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,
∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5]
②略
③ 当x>0,∴y =x +
121
) +2≥2, =(x -
x x
121
) =-(-x -) -2≤-当x
∴值域是(-∞, -2] [2,+∞). (此法也称为配方法) 函数y =x +
1
的图像为:
x
二次函数在区间上的值域(最值) :
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
①y =x 2-4x +1; ②;y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ③y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]; ④y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]; 解:∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4],
当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,y min =-3,y max =6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当x =- ②当a
2
b
时,其最小值y min =(4ac -b ) ; 2a 4a 2b
时,其最大值y max =(4ac -b ) ; 2a 4a
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内,只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行
讨论.
练习:1、求函数y =3+2-3x 的值域
解:由算术平方根的性质,知2-3x ≥0,故3+2-3x ≥3。∴函数的值域为 2、求函数y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
∴x =1时, y min =4∴值域为[4, 20]x =5时, y max =20
[3, +∞)
.
解: 对称轴 x =1∈[0, 5]
1 单调性法
例3 求函数y=4x--3x (x≤1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)= -
-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而
y=f(x)+g(x)=4x--3x
在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函
数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})
2 换元法
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解:设-x =t ,则y =-t 2+2t +1(t ≥0)
对称轴t =1∈[0, +∞),且开口向下∴当t =1时,y m a x =2∴值域为(-∞, 2]
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确
定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习:求函数y=x -1-x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 求
1+sin x cos x
的值域;
sin x +c o x s
例5 (三角换元法)求函数y =x +-x 2的值域
解:
-1≤x ≤1 ∴设x =cos θθ∈[0, π]
y =cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+∴原函数的值域为-1, 2
π
4
) ∈-1, 2
[
[]
]
小结:(1)若题目中含有a ≤1,则可设a =sin θ, -
2
2
ππ
≤θ≤(或设a =cos θ, 0≤θ≤π) 22
,其中0≤θ
(2)若题目中含有a +b =1则可设a =cos θ, b =sin θ
(3)若题目中含有-x 2,则可设x =cos θ,其中0≤θ≤π (4)若题目中含有+x 2,则可设x =tan θ,其中-
π
2
π
2
(5)若题目中含有x +y =r (x >0, y >0, r >0) ,则可设x =r cos 2θ, y =r sin 2θ其中
θ∈ 0,
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
3 平方法
例5 (选)求函数y =
x -3+5-x 的值域
解:函数定义域为:x ∈[3, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]∴原函数值域为2, 2
2
]
4 分离常数法 例6 求函数y =
x -1
的值域 x +2
x +2-33
=1-≠1 ,可得值域{y y ≠1} 由y =
x +2x +2
ax +b
(c ≠0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量
cx +d
小结:已知分式函数y =
a ⎫的要求)内,值域为⎧,⎨y y ≠⎬;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)c ⎭⎩
ad
(ad ≠bc ) ,用复合函数法来采用部分分式法将原函数化为y =a +
c cx +d
b -
求值域。
练习 求函数y =
2x -1
的值域 4x +6
3x
求函数y =x 的值域
3+1
求函数 y =
2x -12+1
x
的值域;(y ∈(-1,1) )
例7 求y =x -3-x + 的值域
, x
⎪
解法一:(图象法)可化为 y =⎨2-2x , -1≤x ≤3
⎪-4, x >3⎩
观察得值域y -4≤y ≤4
解法二:(不等式法)
{}
x -3-x +1≤(x -3) -(x +1) =4
x -3-x +1=(x +1) -4-x +1≥x +1-4-x +1=-4
同样可得值域
练习:y =x +x +的值域 [1, +∞)
例8 求函数y =9x -3x +2(x ∈[0, 1]) 的值域
x
解:(换元法)设3=t ,则 1≤t ≤3 原函数可化为
y =t 2-t +2, 对称轴t =∴值域为[2, 8]
1
∉[1, 3]∴t =1时, y min =2; t =3时, y max =8 2
例9求函数y = ⎪
⎛1⎫⎝3⎭
-x 2+2x
的值域
t
⎛1⎫
解:(换元法)令t =-x +2x =-(x -1) +1,则y = ⎪(t ≤1)
⎝3⎭
2
2
由指数函数的单调性知,原函数的值域为⎢, +∞⎪
例10 求函数 y =2
x
⎡1⎣3⎫⎭
(x ≤0) 的值域
解:(图象法)如图,值域为(0, 1] (换元法)设3+1=t ,
x
3x +1-111
(t >1) =1-=1-则y =x x
t 3+13+11
t >1∴0
t
∴原函数的值域为(0, 1)
∴0
x 2-1
例13 函数y =2 的值域
x +1
解法一:(逆求法) x = ∴原函数的值域为[-1, 1)
解法二:(换元法)设x +1=t ,则
2
t ≥1∴0
t
∴-1≤y
2
2
2
1+y
≥01-y
∴-1≤y
2
解法三:(判别式法)原函数可化为 (y -1) x +0⋅x +y +1=0
1) y =1时 不成立
2) y ≠1时,∆≥0⇒0-4(y -1)(y +1) ≥0⇒-1≤y ≤1
∴-1≤y
综合1)、2)值域{y |-1≤y
⎛ππ⎫
∴设x =tan θθ∈ -, ⎪,则
⎝22⎭
1-tan 2θy =-=-cos 2θ 2θ∈(-π, π)∴cos 2θ∈(-1, 1]2
1+tan θ
∴原函数的值域为{y |-1≤y
5
的值域
2x 2-4x +3
解法一:(判别式法)化为2yx 2-4yx +(3y -5) =0
1)y =0时,不成立 2)y ≠0时,∆≥0得
(4y ) -8y (3y -5) ≥0⇒0≤y ≤5 ∴0
综合1)、2)值域{y |0
2
解法二:(复合函数法)令2x -4x +3=t ,则y =
5
t
t =2(x -1) 2+1≥1
∴0
例15 函数y =x +
1
+1的值域 x
2
解法一:(判别式法)原式可化为 x +(1-y ) x +1=0
∆≥0
∴(1-y ) 2-4≥0
∴y ≥3或y ≤-1
∴原函数值域为(-∞, -1] [3, +∞)
解法二:(不等式法)1)当x >0时,x +
x +
⎡11⎤
=-⎢(-x ) +⎥≤-2x (-x ) ⎣⎦
1
≥2∴y ≥3 x
∴y ≤-1
2) x
综合1)2)知,原函数值域为(-∞, -1] [3, +∞)
x 2+2x +2
(x >-1) 的值域 例16 (选) 求函数y =
x +1
解法一:(判别式法)原式可化为 x 2+(2-y ) x +2-y =0
∆≥0∴(2-y ) 2-4(2-y ) ≥0
x >-1∴y ≤-2舍去
⇒y ≥2或y ≤-2
[2, +∞)∴原函数值域为
解法二:(不等式法)原函数可化为
当且仅当x =0时取等号,故值域为[2, +∞)
x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 例17 (选) 求函数y =
x +1
解:(换元法)令x +1=t
。。 ax 2+bx +c
小结:已知分式函数y =(a 2+d 2≠0) ,如果在其自然定义域内可采用2
dx +ex +f
判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为
(选)y =
二次式一次式
(或y =) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求
一次式二次式
a
(x ≠0) 的单调性去解。 x
1
+9(x ≠0) ; 2x
112
+9=(x -) +11,∴y ≥11.
x x 2
1
+9≥2+9=11(或利用对勾函数图x 2
出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数
y =x +
练习:
2
1 、y =x +
2
解:∵x ≠0,y =x +
2
另外,此题利用基本不等式解更简捷:y =x +
像法)
2 、y =0
3 、求函数的值域
①y =x +2-x ; ②y =2-4x -x 2 解:①令u =
5
2
2x -4x +3
2-x ≥0, 则x =2-u 2,
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -) +12
2
9,
4
2
②解:令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x-x ) max =4 ,(4x-x ) min =0 ∴函数y =2-4x -x 2的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
2
2
⎧-2x +1(x
⎪
解法1:将函数化为分段函数形式:y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
由图象可知,函数的值域是{y|y≥3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图
5、求函数y =2x +4-x 的值域 解:设 t =-x 则 t ≥0 x=1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4
2
x 2-5x +6
6、(选)求函数y =2的值域
x +x -6
方法一:去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)≥2
2
2
1+515检验 y =- (有一个根时需验证)时 x =-=2(代入①求根)
56
2⋅(-)
5
-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠- 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
15
1x 2-5x +6
综上所述,函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5x +x -6
方法二:把已知函数化为函数y =
(x -2)(x -3) x -36
(x≠2) ==1-
(x -2)(x +3) x +3x -3
11x 2-5x +6
由此可得 y ≠1,∵ x=2时y =-即 y ≠-∴函数y =2的值域为 { y|
55x +x -6
y ≠1且 y ≠-
1
5