第一章
1. X射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？
答：X射线学分为三大分支：X射线透射学、X射线衍射学、X射线光谱学。
X射线透射学的研究对象有人体，工件等，用它的强透射性为人体诊断伤病、用于探测工件内部的缺陷等。
X射线衍射学是根据衍射花样，在波长已知的情况下测定晶体结构，研究与结构和结构变化的相关的各种问题。
X射线光谱学是根据衍射花样，在分光晶体结构已知的情况下，测定各种物质发出的X射线的波长和强度，从而研究物质的原子结构和成分。
2. 试计算当管电压为50 kV时，X射线管中电子击靶时的速度与动能，以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大能量是多少？
解：已知条件：U=50kV
电子静止质量：m0=9.1×10-31kg
光速：c=2.998×108m/s
电子电量：e=1.602×10-19C
普朗克常数：h=6.626×10-34J.s
电子从阴极飞出到达靶的过程中所获得的总动能为：
E=eU=1.602×10-19C×50kV=8.01×10-18kJ
由于E=1/2m0v02
所以电子击靶时的速度为：
v0=(2E/m0)1/2=4.2×106m/s
所发射连续谱的短波限λ0的大小仅取决于加速电压：
λ0（Å）＝12400/U(伏) ＝0.248Å
辐射出来的光子的最大动能为：
E0＝hv＝hc/λ0＝1.99×10-15J
3. 说明为什么对于同一材料其λK
答:导致光电效应的X光子能量＝将物质 K电子移到原子引力范围以外所需作的功 hVk = W k
以kα 为例:
hVkα = EL – Ek
= Wk – WL
= hV k – hV L
∴h V k > h V kα
∴λk
以kβ 为例:
h V k β = EM – Ek
= Wk – WM
=h V k – h VM
∴ h V k > h Vk β
∴ λk
EL– Ek
∴hV kα
∴λkβ
4. 如果用Cu靶X光管照相，错用了Fe滤片，会产生什么现象？
答：Cu的Kα1,Kα2, Kβ线都穿过来了，没有起到过滤的作用。
5. 特征X射线与荧光X射线的产生机理有何不同？某物质的K系荧光X射线波长是否等于它的K系特征X射线波长？
答：特征X射线与荧光X射线都是由激发态原子中的高能级电子向低能级跃迁时，多余能量以X射线的形式放出而形成的。不同的是：高能电子轰击使原子处于激发态，高能级电子回迁释放的是特征X射线；以 X射线轰击，使原子处于激发态，高能级电子回迁释放的是荧光X射线。某物质的K系特征X射线与其K系荧光X射线具有相同波长。
6. 连续谱是怎样产生的？其短波限 与某物质的吸收限 有何不同（V和VK以kv为单位）？
答：当X射线管两极间加高压时，大量电子在高压电场的作用下，以极高的速度向阳极轰击，由于阳极的阻碍作用，电子将产生极大的负加速度。根据经典物理学的理论，一个带负电荷的电子作加速运动时，电子周围的电磁场将发生急剧变化，此时必然要产生一个电磁波，或至少一个电磁脉冲。由于极大数量的电子射到阳极上的时间和条件不可能相同，因而得到的电磁波将具有连续的各种波长，形成连续X射线谱。
在极限情况下，极少数的电子在一次碰撞中将全部能量一次性转化为一个光量子，这个光量子便具有最高能量和最短的波长，即短波限。连续谱短波限只与管压有关，当固定管
压，增加管电流或改变靶时短波限不变。
原子系统中的电子遵从泡利不相容原理不连续地分布在K,L,M,N等不同能级的壳层上，当外来的高速粒子（电子或光子）的动能足够大时，可以将壳层中某个电子击出原子系统之外，从而使原子处于激发态。这时所需的能量即为吸收限，它只与壳层能量有关。即吸收限只与靶的原子序数有关，与管电压无关。
7. 试计算钼的K激发电压，已知钼的λK＝0.0619nm。欲用Mo靶X光管激发Cu的荧光X射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射波长是多少？
解：(1) 由公式λK＝1.24/UK，
对钼UK＝1.24/λK＝1.24/0.0619=20(kV)
λUk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kV)
λ0=1.24/Uk(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)
其中 h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34 ；c为光速，等于2.998×108m/s；e为电子电荷，等于1.602×10-19c;Mo的λα=0.71×10-10
故需加的最低管电压应≥17.46(kV)，所发射的荧光辐射波长是0.071nm。
8.X射线与物质相互作用有哪些现象和规律？利用这些现象和规律可以进行哪些科学研究工作,有哪些实际应用？ X射线照射固体物质，可产生散射X射线、光电效应、俄歇效应等①光电效应：当入射X射线光子能量大于等于某一阈值时，可击出原子内层电子，产生光电效应。
应用：光电效应产生光电子，是X射线光电子能谱分析的技术基础。光电效应使原子产生空位后的退激发过程产生俄歇电子或X射线荧光辐射是X射线激发俄歇能谱分和X射线荧光分析方法的技术基础。
②二次特征辐射（X射线荧光辐射）：当高能X射线光子击出被照射物质原子的内层电子后，较外层电子填其空位而产生了次生特征
X射线（称二次特征辐射）。 应用：X射线散射时，产生两种现象：相干散射和非相干散射。相干散射是X射线衍射分析方法的基础。
9. 计算lmm厚的Pb对Mo—Kα的透射因数。
解：透射因数I/I0=e-μmρx
其中μm：质量吸收系数/cm2g-1，ρ：密度/gcm-3
x：厚度/cm，本题ρPb=11.34gcm-3，x=0.1cm
对Mo—Kα，查表得μm=141cm2g-1，
其透射因数：I/I0= e-μmρx =e-141×11.34×0.1=3.62×e-70=1.352⨯10-12
10. 试计算含WC＝0.8％，Wcr＝4％，Ww＝18％的高速钢对MoKα辐射的质量吸收系数。 解：μm=ω1μm1+ω2μm2+…ωiμmi
ω1, ω2……ωi为各元素的质量百分数，而μ
为组分元素数目。
查表得μC=0.7cm2g-1，μ2Cr=30.4cmm1，μm2……μmi为各元素的质量吸收系数，ig-1，μW=105.4cm2g-1，μ2Fe=38.3cmg-1。
μm=0.8％×0.70＋4％×30.4＋18％×105.4＋（1－0.8％－4％－18％）×38.3=49.7612（cm2／g-1）
11. 画出Fe2B在平行于（010）上的部分倒易点。Fe2B属正方晶系，点阵参数a=b=0.510nm,c=0.424nm。
12. 为什么衍射线束的方向与晶胞的形状和大小有关？
答： 由干涉指数表达的布拉格方程2dhkl sin = n可知，它反映了衍射线束的方向θ、波长λ与晶面间距d之间的关系，而晶胞参数决定着晶面间距，所以衍射线束的方向与晶胞的形状和大小有关。
13.CuKα辐射（λ=0.154 nm）照射Ag（属于面心立方点阵）样品，测得第一衍射峰的位置2θ=38°，试求Ag样品第一衍射峰的d值和Ag的点阵常数。
解： 根据布拉格方程：2dsinθ=λ。 由于Ag属于面心立方点阵，根据面心立方点阵的消光规律：HKL同奇同偶不消光，可知：其第
一衍射峰为（111）衍射。
由面心立方晶格的晶面间距公式1/d2HKL=(H2+K2+L2)/a2；
所以Ag的点阵常数a=1.732*0.154/2*sin19°
14.试用厄瓦尔德图解来说明德拜衍射花样的形成。
答： 样品中各晶粒的同名（HKL）面倒易点集合成倒易球面，倒易球与反射球相交为一圆环。晶粒各同名（HKL）面的衍射线以入射线为轴、2θ为半锥角构成衍射圆锥。不同（HKL）面的衍射角2θ不
同，构成不同的衍射圆锥，但各衍射圆锥共顶。用卷成圆柱状并与样品同轴的底片记录衍射信息，获得的衍射花样是衍射弧。
15. 试述原子散射因数f和结构因数FHKL2的物理意义。结构因数与哪些因素有关系?
答：式中结构振幅FHKL=Ab/Ae=一个晶胞的相干散射振幅/一个电 子的相干散射振幅 结构因数表征了单胞中原子种类，原子数目，位置对（HKL）晶面方向上衍射强度的影响。结构因数只与原子的种类以及在单胞中的位置有关，而不受单胞的形状和大小的影响。
16.当体心立方点阵的体心和顶点原子种类不同时，关于H+K+L=偶数时，衍射存在，奇数时，衍射相消的结论是否仍成立？ 答：所谓体心立方，是点阵型式的一种。每个由晶体结构抽出的点阵点,一是要满足点阵的定义，二是要求在晶体结构中（点阵结构）所处的环境一致。
氯化铯晶胞中，顶点(氯离子)和体心（铯离子）本身和环境均不相同，所以二者不能同时作为点阵点，因此当然不能是体心立方点阵。只能将其中同一类的离子（或氯离子，或铯离子）位置看成点阵点，这样每个点阵点是完全一样的，才符合点阵定义。这时的点阵型式是简单立方。每个点阵点所代表的内容均是一个氯离子和一个铯离子。
17.在试用简单立方（a=0.300nm）结构的物质所摄得的粉末图样上，确定其最初三根线条（即最低的2θ值）的2θ与晶面指数（HKL）。入射用Cu-Kα（λKα=0.154 nm）。 解： 由于简单立方的消光规律是：HKL为任意整数时都能产生衍射，所以其最初三根线条的晶面指数
为（100）、（110）和（111）；
根据晶面间距公式d=a/(H2+K2+L2)1/2；
d(100)=0.300nm；d(110)=0.212nm；d(111)=0.173nm； 又根据布拉格方程：2dsinθ=λ，得到：sinθ=λ/2d； 所以θ(100)=14.87°，2θ(100)=29.75°； θ(110)=21.28°，2θ(110)=42.57°； θ(111)=26.40°，2θ(111)=52.80°。
18.写出简单P点阵，体心I点阵，面心F点阵的系统消光规律以及他们第一条衍射线的干涉指数。
答： 点阵类型 产生系统消光 第一条衍射线的干涉指数
简单P点阵 无 （100）
体心I点阵 H+K+L为奇数 （110）
面心F点阵 HKL奇偶混杂
（111）
底心点阵 HK奇偶混杂 （001）
19. 物相定性分析的原理是什么？对食盐进行化学分析和物相定性，所得的信息有何不
同？
答（1）物相定性分析的原理：①每一种物相都产生自己特有的衍射花样，两种物相不会给出完全相同的衍射花样。②多相试样的衍射花样是各自相衍射花样的机械叠加，互不干扰。③若以面间距(d)和衍射强度（I）表征衍射花样，d-I数据组就是鉴别物相的基本依据。
（2）对食盐进行化学分析所得到的信息是组成物质的元素种类，如Na、Cl等及其含量，却不能说明其存在状态，也不能说明其是何种晶体结构，因为同种元素虽然成分不发生变化，但可以不同晶体状态存在，对化合物更是如此。对食盐进行物相定性所得到的信息不是试样的化学成分，而是由各种元素组成的具有固定结构的物相，比如NaCl物相。
20.计算结构因数时，基点的选择原则是什么？如计算体心立方点阵，选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是否可以？如计算面心立方点阵，选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是否可以?
答（1）计算结构因数时，基点的选择原则是： ①个数一致：晶胞中选取基点的个数必须与晶胞中含有的原子个数相一致。 ②位置各异：在基点的选择时应选择不同位置上的特征点，相交于一点的面属于相异点，平行面属于同位置点，故面心点一般取3个，顶点取1个，体心点取1个。
（2）所以在计算体心立方点阵时，由于体心晶胞含有两个原子，所以基点个数为两个，根据位置各异原则，原子坐标为（0,0,0）与（1/2,1/2,1/2），而选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是不可以的，它们是一个简单立方点阵，且基点位置不是各异的。
（3）计算面心立方点阵时，由于面心晶胞含有四个原子，所以基点个数为四个，根据位置各异原则，原子坐标为（0,0,0）、（1/2,1/2,0）、（1/2,0,1/2）与（0,1/2,1/2），而选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是不可以的，它们是一个简单立方点阵，且基点位置不是各异的。
第一章
1. X射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？
答：X射线学分为三大分支：X射线透射学、X射线衍射学、X射线光谱学。
X射线透射学的研究对象有人体，工件等，用它的强透射性为人体诊断伤病、用于探测工件内部的缺陷等。
X射线衍射学是根据衍射花样，在波长已知的情况下测定晶体结构，研究与结构和结构变化的相关的各种问题。
X射线光谱学是根据衍射花样，在分光晶体结构已知的情况下，测定各种物质发出的X射线的波长和强度，从而研究物质的原子结构和成分。
2. 试计算当管电压为50 kV时，X射线管中电子击靶时的速度与动能，以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大能量是多少？
解：已知条件：U=50kV
电子静止质量：m0=9.1×10-31kg
光速：c=2.998×108m/s
电子电量：e=1.602×10-19C
普朗克常数：h=6.626×10-34J.s
电子从阴极飞出到达靶的过程中所获得的总动能为：
E=eU=1.602×10-19C×50kV=8.01×10-18kJ
由于E=1/2m0v02
所以电子击靶时的速度为：
v0=(2E/m0)1/2=4.2×106m/s
所发射连续谱的短波限λ0的大小仅取决于加速电压：
λ0（Å）＝12400/U(伏) ＝0.248Å
辐射出来的光子的最大动能为：
E0＝hv＝hc/λ0＝1.99×10-15J
3. 说明为什么对于同一材料其λK
答:导致光电效应的X光子能量＝将物质 K电子移到原子引力范围以外所需作的功 hVk = W k
以kα 为例:
hVkα = EL – Ek
= Wk – WL
= hV k – hV L
∴h V k > h V kα
∴λk
以kβ 为例:
h V k β = EM – Ek
= Wk – WM
=h V k – h VM
∴ h V k > h Vk β
∴ λk
EL– Ek
∴hV kα
∴λkβ
4. 如果用Cu靶X光管照相，错用了Fe滤片，会产生什么现象？
答：Cu的Kα1,Kα2, Kβ线都穿过来了，没有起到过滤的作用。
5. 特征X射线与荧光X射线的产生机理有何不同？某物质的K系荧光X射线波长是否等于它的K系特征X射线波长？
答：特征X射线与荧光X射线都是由激发态原子中的高能级电子向低能级跃迁时，多余能量以X射线的形式放出而形成的。不同的是：高能电子轰击使原子处于激发态，高能级电子回迁释放的是特征X射线；以 X射线轰击，使原子处于激发态，高能级电子回迁释放的是荧光X射线。某物质的K系特征X射线与其K系荧光X射线具有相同波长。
6. 连续谱是怎样产生的？其短波限 与某物质的吸收限 有何不同（V和VK以kv为单位）？
答：当X射线管两极间加高压时，大量电子在高压电场的作用下，以极高的速度向阳极轰击，由于阳极的阻碍作用，电子将产生极大的负加速度。根据经典物理学的理论，一个带负电荷的电子作加速运动时，电子周围的电磁场将发生急剧变化，此时必然要产生一个电磁波，或至少一个电磁脉冲。由于极大数量的电子射到阳极上的时间和条件不可能相同，因而得到的电磁波将具有连续的各种波长，形成连续X射线谱。
在极限情况下，极少数的电子在一次碰撞中将全部能量一次性转化为一个光量子，这个光量子便具有最高能量和最短的波长，即短波限。连续谱短波限只与管压有关，当固定管
压，增加管电流或改变靶时短波限不变。
原子系统中的电子遵从泡利不相容原理不连续地分布在K,L,M,N等不同能级的壳层上，当外来的高速粒子（电子或光子）的动能足够大时，可以将壳层中某个电子击出原子系统之外，从而使原子处于激发态。这时所需的能量即为吸收限，它只与壳层能量有关。即吸收限只与靶的原子序数有关，与管电压无关。
7. 试计算钼的K激发电压，已知钼的λK＝0.0619nm。欲用Mo靶X光管激发Cu的荧光X射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射波长是多少？
解：(1) 由公式λK＝1.24/UK，
对钼UK＝1.24/λK＝1.24/0.0619=20(kV)
λUk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kV)
λ0=1.24/Uk(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)
其中 h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34 ；c为光速，等于2.998×108m/s；e为电子电荷，等于1.602×10-19c;Mo的λα=0.71×10-10
故需加的最低管电压应≥17.46(kV)，所发射的荧光辐射波长是0.071nm。
8.X射线与物质相互作用有哪些现象和规律？利用这些现象和规律可以进行哪些科学研究工作,有哪些实际应用？ X射线照射固体物质，可产生散射X射线、光电效应、俄歇效应等①光电效应：当入射X射线光子能量大于等于某一阈值时，可击出原子内层电子，产生光电效应。
应用：光电效应产生光电子，是X射线光电子能谱分析的技术基础。光电效应使原子产生空位后的退激发过程产生俄歇电子或X射线荧光辐射是X射线激发俄歇能谱分和X射线荧光分析方法的技术基础。
②二次特征辐射（X射线荧光辐射）：当高能X射线光子击出被照射物质原子的内层电子后，较外层电子填其空位而产生了次生特征
X射线（称二次特征辐射）。 应用：X射线散射时，产生两种现象：相干散射和非相干散射。相干散射是X射线衍射分析方法的基础。
9. 计算lmm厚的Pb对Mo—Kα的透射因数。
解：透射因数I/I0=e-μmρx
其中μm：质量吸收系数/cm2g-1，ρ：密度/gcm-3
x：厚度/cm，本题ρPb=11.34gcm-3，x=0.1cm
对Mo—Kα，查表得μm=141cm2g-1，
其透射因数：I/I0= e-μmρx =e-141×11.34×0.1=3.62×e-70=1.352⨯10-12
10. 试计算含WC＝0.8％，Wcr＝4％，Ww＝18％的高速钢对MoKα辐射的质量吸收系数。 解：μm=ω1μm1+ω2μm2+…ωiμmi
ω1, ω2……ωi为各元素的质量百分数，而μ
为组分元素数目。
查表得μC=0.7cm2g-1，μ2Cr=30.4cmm1，μm2……μmi为各元素的质量吸收系数，ig-1，μW=105.4cm2g-1，μ2Fe=38.3cmg-1。
μm=0.8％×0.70＋4％×30.4＋18％×105.4＋（1－0.8％－4％－18％）×38.3=49.7612（cm2／g-1）
11. 画出Fe2B在平行于（010）上的部分倒易点。Fe2B属正方晶系，点阵参数a=b=0.510nm,c=0.424nm。
12. 为什么衍射线束的方向与晶胞的形状和大小有关？
答： 由干涉指数表达的布拉格方程2dhkl sin = n可知，它反映了衍射线束的方向θ、波长λ与晶面间距d之间的关系，而晶胞参数决定着晶面间距，所以衍射线束的方向与晶胞的形状和大小有关。
13.CuKα辐射（λ=0.154 nm）照射Ag（属于面心立方点阵）样品，测得第一衍射峰的位置2θ=38°，试求Ag样品第一衍射峰的d值和Ag的点阵常数。
解： 根据布拉格方程：2dsinθ=λ。 由于Ag属于面心立方点阵，根据面心立方点阵的消光规律：HKL同奇同偶不消光，可知：其第
一衍射峰为（111）衍射。
由面心立方晶格的晶面间距公式1/d2HKL=(H2+K2+L2)/a2；
所以Ag的点阵常数a=1.732*0.154/2*sin19°
14.试用厄瓦尔德图解来说明德拜衍射花样的形成。
答： 样品中各晶粒的同名（HKL）面倒易点集合成倒易球面，倒易球与反射球相交为一圆环。晶粒各同名（HKL）面的衍射线以入射线为轴、2θ为半锥角构成衍射圆锥。不同（HKL）面的衍射角2θ不
同，构成不同的衍射圆锥，但各衍射圆锥共顶。用卷成圆柱状并与样品同轴的底片记录衍射信息，获得的衍射花样是衍射弧。
15. 试述原子散射因数f和结构因数FHKL2的物理意义。结构因数与哪些因素有关系?
答：式中结构振幅FHKL=Ab/Ae=一个晶胞的相干散射振幅/一个电 子的相干散射振幅 结构因数表征了单胞中原子种类，原子数目，位置对（HKL）晶面方向上衍射强度的影响。结构因数只与原子的种类以及在单胞中的位置有关，而不受单胞的形状和大小的影响。
16.当体心立方点阵的体心和顶点原子种类不同时，关于H+K+L=偶数时，衍射存在，奇数时，衍射相消的结论是否仍成立？ 答：所谓体心立方，是点阵型式的一种。每个由晶体结构抽出的点阵点,一是要满足点阵的定义，二是要求在晶体结构中（点阵结构）所处的环境一致。
氯化铯晶胞中，顶点(氯离子)和体心（铯离子）本身和环境均不相同，所以二者不能同时作为点阵点，因此当然不能是体心立方点阵。只能将其中同一类的离子（或氯离子，或铯离子）位置看成点阵点，这样每个点阵点是完全一样的，才符合点阵定义。这时的点阵型式是简单立方。每个点阵点所代表的内容均是一个氯离子和一个铯离子。
17.在试用简单立方（a=0.300nm）结构的物质所摄得的粉末图样上，确定其最初三根线条（即最低的2θ值）的2θ与晶面指数（HKL）。入射用Cu-Kα（λKα=0.154 nm）。 解： 由于简单立方的消光规律是：HKL为任意整数时都能产生衍射，所以其最初三根线条的晶面指数
为（100）、（110）和（111）；
根据晶面间距公式d=a/(H2+K2+L2)1/2；
d(100)=0.300nm；d(110)=0.212nm；d(111)=0.173nm； 又根据布拉格方程：2dsinθ=λ，得到：sinθ=λ/2d； 所以θ(100)=14.87°，2θ(100)=29.75°； θ(110)=21.28°，2θ(110)=42.57°； θ(111)=26.40°，2θ(111)=52.80°。
18.写出简单P点阵，体心I点阵，面心F点阵的系统消光规律以及他们第一条衍射线的干涉指数。
答： 点阵类型 产生系统消光 第一条衍射线的干涉指数
简单P点阵 无 （100）
体心I点阵 H+K+L为奇数 （110）
面心F点阵 HKL奇偶混杂
（111）
底心点阵 HK奇偶混杂 （001）
19. 物相定性分析的原理是什么？对食盐进行化学分析和物相定性，所得的信息有何不
同？
答（1）物相定性分析的原理：①每一种物相都产生自己特有的衍射花样，两种物相不会给出完全相同的衍射花样。②多相试样的衍射花样是各自相衍射花样的机械叠加，互不干扰。③若以面间距(d)和衍射强度（I）表征衍射花样，d-I数据组就是鉴别物相的基本依据。
（2）对食盐进行化学分析所得到的信息是组成物质的元素种类，如Na、Cl等及其含量，却不能说明其存在状态，也不能说明其是何种晶体结构，因为同种元素虽然成分不发生变化，但可以不同晶体状态存在，对化合物更是如此。对食盐进行物相定性所得到的信息不是试样的化学成分，而是由各种元素组成的具有固定结构的物相，比如NaCl物相。
20.计算结构因数时，基点的选择原则是什么？如计算体心立方点阵，选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是否可以？如计算面心立方点阵，选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是否可以?
答（1）计算结构因数时，基点的选择原则是： ①个数一致：晶胞中选取基点的个数必须与晶胞中含有的原子个数相一致。 ②位置各异：在基点的选择时应选择不同位置上的特征点，相交于一点的面属于相异点，平行面属于同位置点，故面心点一般取3个，顶点取1个，体心点取1个。
（2）所以在计算体心立方点阵时，由于体心晶胞含有两个原子，所以基点个数为两个，根据位置各异原则，原子坐标为（0,0,0）与（1/2,1/2,1/2），而选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是不可以的，它们是一个简单立方点阵，且基点位置不是各异的。
（3）计算面心立方点阵时，由于面心晶胞含有四个原子，所以基点个数为四个，根据位置各异原则，原子坐标为（0,0,0）、（1/2,1/2,0）、（1/2,0,1/2）与（0,1/2,1/2），而选择（0,0,0）、（1,1,0）、（0,1,0）与（1,0,0）四个原子是不可以的，它们是一个简单立方点阵，且基点位置不是各异的。