数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回
顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、
实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运
用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思
维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须
掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的
新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为
曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原
题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识
点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经
验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存
在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或
条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造
算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命
题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为
一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，
解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简
化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组
合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联
系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能
情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现
复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚
至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到
穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨
猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化
为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找
到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复
杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂
关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助
图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭
繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特
殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽
解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题
时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或
结果，顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的
题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、
深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到
解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为
易解出原题。
数学解题思维策略
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全
过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计
划和回顾。这四个阶段的思维过程实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思
维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思
维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动
过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
例题精析：
例1：已知x满足32x-90 *3x+729
a2x)log1a2ax的最大值为0，最小为 -1/8，
试求a的值。
x2
1|上的任意的一点，B（0，b）例2：设A（x，y）为曲线y=|，（b≥1）为y轴上的定点，A2
与B的距离为d，写出d的最小值的解析式f(a)。
例3：若方程lg(4x2+4ax)-lg(4x-a+1)=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围。
练习： 1、若同时满足不等式x2-x--2>0和2x2+(5+2a)x+5a
2、已知sin3α+cos3α=1,求sin3α+cos3α。
3、已知函数f(x)=x2，g(x)=x+2，若方程f(x+a)=g(x)有两个不等的实根，求a的范围。
数学解题的策略
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些
解题的策略。一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，
以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。基于这样的认识，常用的解题策
略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过
的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道
解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条
件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充
分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
例1、已知f(x)=loga1x(a>0且a≠1)， 1x
（1）、求f(x)的定义域；
（2）、判断f(x)的奇偶性并证明；
（3）、求使f(x)>0的的取值范围。
例2、已知sinα-2cosα=0，求3sin2α+3sinαcosα-2cos2α。
例3、已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9)，求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值和最小值，并求出相应的x的值。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整
分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
例1、 如果cos2θ+2msinθ-2m-2
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种
联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在
联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构
造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学
模型等等。
例： PA、PB、PC是空间从P引出的三条射线， 若∠APB=∠BPC=∠CPA=45°，求二面角B-PA-C
的平面角的余弦值。
例： 解方程log2(x2-5)+3x25=81x+log24x.
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几
道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。因此，在实
际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。解题中，实施简单化策略的
途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中
间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相
互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
1，（1）求tgα+ctgα的值(2)求sin4α3
m342m例2、若sinx=，cosx=，则tgx= 。 m5m5例1、 已知sinα-cosα=+cos4α的值。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对
于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
例1、 设函数y=sin2x+acosx+53a(0≤x≤822)的最大值为1，求a的值。
例2、求函数y=sinxcosxtgxctgx的值域. |sinx||cosx||tgx||ctgx|
例3、设f(x)=3+mcosx的值域为[-2，8]，如果tgm>0，求m的值。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇
开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
例1、 已知两点P（0，1），Q（2，3），一次函数的图象L过P，Q两点，若二次函数f(x)=x2+ax+2
的图象L在P，Q之间的部分有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，
能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
例1、直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别相交于A，B两点，且A，B∈ι，如果直线AB
与所成角分别是θ1，θ2，则θ1+θ2的取值范围是
（ ）
A、0
C、θ1+θ2>2 D、0
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象
鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，
使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内
容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
例1、A，B，C，D，E五个球队进行单循环比赛（即每个队都要其他各队比赛一场），当比赛到一定
阶段时，统计A，B，C，D四个球队已经比赛过的场数，依次为：A队4场，B队3场，C队2场，D队
1场，请你判断哪些球队之间已互相比赛过？其中E队已比赛过几场？
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，
给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
例1、 设正三棱锥S-ABC中,∠ASB=40°,SA=2cm, 过A作截面与SB, SC分别交于D, E, 求截面三
角形ADE周长的最小值。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取
简便，巧妙的解法。
例1、 在实数范围内解方程：（x+1）|x-1|-a=0
例2、 判断方程2x+1+x2=3的解的个数
例3、 对于每个实数x，设f(x)是4x+1, x+2和 -2x+4三个函数中的最小值，那么f(x)的最大值。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考
察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原
题的方向或途径。
,sin,cos的大小关系是 （ ） 222
A、sin>cos>tg B、tg>sin>cos 222222
C、cos>sin>tg D、tg >cos> sin 222222例1、设α为第二象限角，则tg
例2、设函数f(x)是定义在R上的增函数，f(1)=a (a>0)，且[f(x)]m=f(mx), m∈R，求f(x)并证明a>1。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特
殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。
例1、 设f(x)的定义域为{x|x≠k1,k∈Z}，且f(x+1)=2f(x) ，如果f(x)为奇函数，当0
f(x)=4x求f(19994)。
例2、 计算：313029281
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，
要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以
便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
例1、 甲、乙两个酒杯中，分别装有红、白葡萄酒，现将甲杯中的红葡萄酒倒一部分到乙杯中，然
后再从乙杯倒回同样数量的混合酒到甲杯中，试问：这时甲杯中的白葡萄酒和乙杯中的红葡萄酒哪个多？
为什么？
例2、 如果正四棱锥的侧面是正三角形，求证：它的相邻两个侧面所成的二面角是侧面和底面所成
二面角的2倍。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据
的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。
例、设三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中，至少有一个方程有实数根，求实参数
a的取值范围。
数学解题思维策略
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全
过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找
出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解
法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修
正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊
情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思
维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思
维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动
过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1） 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着你
对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2） 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，
即未知的。
（3） 深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标出
（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否
有重要发现。
（4） 尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（5） 仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？
（6） 认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（7） 如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解
题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划
寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1） 设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。
（2） 记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。
（3） 解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理，
以便及时进行修正或调整。
（4） 尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类
题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定
义加以替代。
（5） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6） 尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7） 研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8） 改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，
尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（9） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答
案，从中找出解题的有益启示。
********************************************************************************************
附录说明：波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与
建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数
学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。
怎样解题
G . 波 利 亚
第一：你必须弄清问题
弄清问题：
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充
分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考
虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。
拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些
辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ 第三：实现你的计划
实现计划：
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四：验证所得的解
回顾：
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回
顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、
实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运
用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思
维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须
掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的
新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为
曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原
题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识
点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经
验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存
在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或
条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造
算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命
题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为
一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，
解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简
化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组
合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联
系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能
情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现
复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚
至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到
穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨
猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化
为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找
到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复
杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂
关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助
图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭
繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特
殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽
解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题
时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或
结果，顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的
题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、
深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到
解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为
易解出原题。
数学解题思维策略
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全
过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计
划和回顾。这四个阶段的思维过程实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思
维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思
维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动
过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
例题精析：
例1：已知x满足32x-90 *3x+729
a2x)log1a2ax的最大值为0，最小为 -1/8，
试求a的值。
x2
1|上的任意的一点，B（0，b）例2：设A（x，y）为曲线y=|，（b≥1）为y轴上的定点，A2
与B的距离为d，写出d的最小值的解析式f(a)。
例3：若方程lg(4x2+4ax)-lg(4x-a+1)=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围。
练习： 1、若同时满足不等式x2-x--2>0和2x2+(5+2a)x+5a
2、已知sin3α+cos3α=1,求sin3α+cos3α。
3、已知函数f(x)=x2，g(x)=x+2，若方程f(x+a)=g(x)有两个不等的实根，求a的范围。
数学解题的策略
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些
解题的策略。一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，
以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。基于这样的认识，常用的解题策
略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过
的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道
解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条
件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充
分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
例1、已知f(x)=loga1x(a>0且a≠1)， 1x
（1）、求f(x)的定义域；
（2）、判断f(x)的奇偶性并证明；
（3）、求使f(x)>0的的取值范围。
例2、已知sinα-2cosα=0，求3sin2α+3sinαcosα-2cos2α。
例3、已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9)，求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值和最小值，并求出相应的x的值。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整
分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
例1、 如果cos2θ+2msinθ-2m-2
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种
联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在
联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构
造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学
模型等等。
例： PA、PB、PC是空间从P引出的三条射线， 若∠APB=∠BPC=∠CPA=45°，求二面角B-PA-C
的平面角的余弦值。
例： 解方程log2(x2-5)+3x25=81x+log24x.
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几
道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。因此，在实
际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。解题中，实施简单化策略的
途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中
间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相
互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
1，（1）求tgα+ctgα的值(2)求sin4α3
m342m例2、若sinx=，cosx=，则tgx= 。 m5m5例1、 已知sinα-cosα=+cos4α的值。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对
于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
例1、 设函数y=sin2x+acosx+53a(0≤x≤822)的最大值为1，求a的值。
例2、求函数y=sinxcosxtgxctgx的值域. |sinx||cosx||tgx||ctgx|
例3、设f(x)=3+mcosx的值域为[-2，8]，如果tgm>0，求m的值。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇
开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
例1、 已知两点P（0，1），Q（2，3），一次函数的图象L过P，Q两点，若二次函数f(x)=x2+ax+2
的图象L在P，Q之间的部分有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，
能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
例1、直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别相交于A，B两点，且A，B∈ι，如果直线AB
与所成角分别是θ1，θ2，则θ1+θ2的取值范围是
（ ）
A、0
C、θ1+θ2>2 D、0
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象
鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，
使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内
容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
例1、A，B，C，D，E五个球队进行单循环比赛（即每个队都要其他各队比赛一场），当比赛到一定
阶段时，统计A，B，C，D四个球队已经比赛过的场数，依次为：A队4场，B队3场，C队2场，D队
1场，请你判断哪些球队之间已互相比赛过？其中E队已比赛过几场？
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，
给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
例1、 设正三棱锥S-ABC中,∠ASB=40°,SA=2cm, 过A作截面与SB, SC分别交于D, E, 求截面三
角形ADE周长的最小值。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取
简便，巧妙的解法。
例1、 在实数范围内解方程：（x+1）|x-1|-a=0
例2、 判断方程2x+1+x2=3的解的个数
例3、 对于每个实数x，设f(x)是4x+1, x+2和 -2x+4三个函数中的最小值，那么f(x)的最大值。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考
察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原
题的方向或途径。
,sin,cos的大小关系是 （ ） 222
A、sin>cos>tg B、tg>sin>cos 222222
C、cos>sin>tg D、tg >cos> sin 222222例1、设α为第二象限角，则tg
例2、设函数f(x)是定义在R上的增函数，f(1)=a (a>0)，且[f(x)]m=f(mx), m∈R，求f(x)并证明a>1。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特
殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。
例1、 设f(x)的定义域为{x|x≠k1,k∈Z}，且f(x+1)=2f(x) ，如果f(x)为奇函数，当0
f(x)=4x求f(19994)。
例2、 计算：313029281
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，
要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以
便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
例1、 甲、乙两个酒杯中，分别装有红、白葡萄酒，现将甲杯中的红葡萄酒倒一部分到乙杯中，然
后再从乙杯倒回同样数量的混合酒到甲杯中，试问：这时甲杯中的白葡萄酒和乙杯中的红葡萄酒哪个多？
为什么？
例2、 如果正四棱锥的侧面是正三角形，求证：它的相邻两个侧面所成的二面角是侧面和底面所成
二面角的2倍。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据
的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。
例、设三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中，至少有一个方程有实数根，求实参数
a的取值范围。
数学解题思维策略
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全
过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找
出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解
法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修
正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊
情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思
维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思
维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动
过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1） 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着你
对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2） 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，
即未知的。
（3） 深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标出
（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否
有重要发现。
（4） 尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（5） 仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？
（6） 认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（7） 如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解
题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划
寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1） 设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。
（2） 记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。
（3） 解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理，
以便及时进行修正或调整。
（4） 尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类
题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定
义加以替代。
（5） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6） 尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7） 研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8） 改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，
尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（9） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答
案，从中找出解题的有益启示。
********************************************************************************************
附录说明：波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与
建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数
学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。
怎样解题
G . 波 利 亚
第一：你必须弄清问题
弄清问题：
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充
分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考
虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。
拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些
辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ 第三：实现你的计划
实现计划：
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四：验证所得的解
回顾：
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？