1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A ={x |y =lg x }，B ={y |y =lg x }，C ={(x , y )|y =lg x }，A 、B 、C 中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集∅的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质：
n
（1）集合a 1，a 2，„„，a n 的所有子集的个数是2；
{}
（2）若A ⊆B ⇔A B =A ，A B =B ； （3）德摩根定律：
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
ax -5
x 2-a
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥0
52-a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x 的不等式的取值范围。
（∵3∈M ，∴
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1，⎪ (9，25)）
3⎭⎣
∵5∉M ，∴
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨) ，“且”(∧) 和
“非”(⌝).
若p ∧q 为真，当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真，当且仅当p 为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y =
x 4-x lg (x -3)
2
的定义域是 （答：0，2 2，3 3，4）
()()()
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x ) 的定义域是a ，b ，b >-a >0，则函数F(x) =f (x ) +f (-x ) 的定 义域是_____________。 （答：a ，-a ）
[]
[]
如：f 令t =
(
x +1=e x +x ，求f (x ).
)
x +1，则t ≥0 ∴x =t -1 ∴f (t ) =e
2
2
t 2-1
+t 2-1
∴f (x ) =e x
-1
+x 2-1(x ≥0)
⎧(x ≥0)⎪x -1(x >1)-1
的反函数 （答：f (x ) =⎨）
(x
12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数, 或在定义域内单调的函数）
求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
⎧⎪1+x
如：求函数f (x ) =⎨2
⎪⎩-x
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设y =f(x)的定义域为A ，值域为C ，a ∈A ，b ∈C ，则f(a)=b ⇔f -1(b ) =a ∴f
-1
[f (a ) ]=f -1(b ) =a ，f [f -1(b ) ]=f (a ) =b
（y =f (u ) ，u =ϕ(x ) ，则y =f [ϕ(x ) ]
14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
（外层）（内层）
当内、外层函数单调性相同时f [ϕ(x ) ]为增函数，否则f [ϕ(x ) ]为减函数。）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a ，b 内，若总有f '(x ) ≥0则f (x ) 为增函数。（在个别点上导数等于
()
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '(x ) ≤0呢？
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若f (-x ) =-f (x ) 总成立⇔f (x ) 为奇函数⇔函数图象关于原点对称 若f (-x ) =f (x ) 总成立⇔f (x ) 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。 17. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T （T ≠0），在定义域内总有f (x +T )=f (x ) ，则f (x ) 为周期函数，T 是一个周期。）
如：若f (x +a )=-f (x ) ，则
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
f (x ) 与f (-x ) 的图象关于y 轴对称 f (x ) 与-f (x ) 的图象关于x 轴对称 f (x ) 与-f (-x ) 的图象关于原点对称 f (x ) 与f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称 f (x ) 与f (2a -x ) 的图象关于直线x =a 对称 f (x ) 与-f (2a -x ) 的图象关于点(a ，0) 对称 将y =f (x ) 图象−−−−−−−−−→
左移a (a >0) 个单位
右移a (a >0) 个单位
y =f (x +a ) y =f (x -a )
y =f (x +a ) +b 上移b (b >0) 个单位 −−−−−−−− −→y =f (x +a ) -b 下移b (b >0) 个单位
注意如下“翻折”变换：
f (x ) −再对称到左侧。 −→f (|x |)先画Y 轴右侧图象，−f (x ) 把X 轴下方图象折到上方；f (x ) −
（1）一次函数：y =kx +b (k ≠0) （2）反比例函数：y =
k k k ≠0推广为y =b +()(k ≠0)是中心O '(a ，b ) 的双曲线。 x x -a
2b ⎫4ac -b 2⎛2
（3）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)=a x +图象为抛物线 ⎪+
⎝⎭2a 4a
⎛b 4ac -b 2⎫b
顶点坐标为 -，⎪，对称轴x =-
4a ⎭2a ⎝2a
开口方向：a >0，向上，函数y min
4ac -b 24ac -b 2
= a
4a 4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m ，n ］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
ax 2+bx +c =0，∆>0时，两根x 1、x 2为二次函数y =ax 2+bx
2
的两个交点，也是二次不等式ax +bx +c >0(
⎧∆≥0
⎪b ⎪
如：二次方程ax 2+bx +c =0的两根都大于k ⇔⎨->k ⎪2a f (k ) >0⎪⎩
一根大于k ，一根小于k ⇔f (k )
x
(a >0，a ≠1) x (a >0，a ≠1)
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
k
（6）“对勾函数”y =x +(k >0) x
请结合图象写出其
定义域： 值域：
单调区间： 最值：
20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 10-p
指数运算：a =1(a ≠0) ，a =p (a ≠0)
a a
m
n
a
对数运算：log a M ·N =log a M +log a N (M >0，N >0)
M 1log a x =l o g M -l o g N ，l o g M =l o g l o g =x a a a a a M 对数恒等式：a N n
log c b n
对数换底公式：log a b =⇒log a m b n =log a b
log c a m
=a (a ≥0) ，a
m
-
m n
=
1
m
(a >0)
21. 如何解抽象函数问题？
如：（1）x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。 （先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ，„„）
（2）x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。 （先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t ) ∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„）
（3）证明单调性：f (x 2) =f (x 2-x 1)+x 2=„„
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
[]
23. 等差数列的定义与性质
定义：a n +1-a n =d (d 为常数) ，a n =a 1+(n -1)d 等差中项：x ，A ，y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和S n =
2
性质：{a n }是等差数列
(a 1+a n )n =na
1+
n (n -1)2
d
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；
（2）数列{a 2n -1}，{a 2n }，{ka n +b }仍为等差数列； S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n „„仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a -d ，a ，a +d ； （4）若a n ，b n 是等差数列S n ，T n 为前n 项和，则
a m S 2m -1
=； b m T 2m -1
（5）{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b 为常数，是关于n 的常数项为 0的二次函数）
S n 的最值可求二次函数S n =an 2+bn 的最值；或者求出{a n }中的正、负分界项，即：
⎧a n ≥0
当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
⎧a n ≤0
当a 10，由⎨可得S n 达到最小值时的n 值。
a ≥0⎩n +1
24. 等比数列的定义与性质 定义：
a n +1
=q （q 为常数，q ≠0），a n =a 1q n -1 a n
等比中项：x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=xy ，或G =±xy
⎧na 1(q =1) ⎪
（要注意! ） 前n 项和：S n =⎨a 11-q n
(q ≠1) ⎪
⎩1-q
性质：{a n }是等比数列
()
（1）若m +n =p +q ，则a m ·a n =a p ·a q
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n „„仍为等比数列 25. ？由S n 求a n 时应注意什么
（n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n -S n -1）求出的通项是否能合写。否则用分段形式表示。 26. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ （1）求差（商）法
111
a 1+2a 2+„„+n a n =2n +5（求差法） 222
S 5
数列{a n }满足S n +S n +1=a n +1，a 1=4，求a n （求商法）a n +1=S n +1-S n n +1=4
3S n
如：{a n }满足 （2）累乘法
a n
，求a n
a n n +1
（3）等差型递推公式
由a n -a n -1=f (n ) ，a 1=a 0，求a n ，用迭加法 （4）等比型递推公式
a n =ca n -1+d c 、d 为常数，c ≠0，c ≠1，d ≠0 （用构造法：待定系数法）
数列{a n }中，a 1=3n +1=
()
（5）倒数法
例如：a 1=1，a n +1=
2a n
，求a n
a n +2
27. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？
（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：{a n }是公差为d 的等差数列，求 （2）错位相减法：
若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求数列{a n b n }（差比数列）前n 项
∑a
k =1
n
1
k a k +1
和，可由S n -qS n 求S n ，其中q 为{b n }的公比。
如：S n =1+2x +3x 2+4x 3+„„+nx n -1
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
x 2⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
已知f (x ) =，则f (1) +f (2) +f +f (3) +f +f (4) +f ⎪ ⎪ ⎪=
⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭1+x 2
x ⎛1⎫
（由f (x ) +f ⎪=+
⎝x ⎭1+x 2
2
x 21=+=1 2221+x 1+x ⎛1⎫
1+ ⎝x ⎛1⎫ ⎪⎝x ⎭
2
28. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为： S n =p (1+r )+p (1+2r )+„„+p (1+nr )=p ⎢n +
⎡⎣
n (n +1)⎤
r ⎥„„等差问题 2⎦
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款
种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足
p (1+r
) n =x (1+r )
n -1
+x (1+r )
n -2
+„„+x (1+r )+x
n n
⎡1-(1+r )n ⎤pr (1+r )1+r )-1( =x ⎢ ∴x = ⎥=x n
r (1+r )-1⎢⎣1-(1+r )⎥⎦
p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数
29. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 吗？ 112
（l =α·R ，S 扇=l ·R =α·R ） 22
30. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 x s i n α=MP ，c o s α=OM ，t a n α=AT 如：若-
π
又如：求函数y =1-2cos （∵1-2cos
⎛π⎫
-x ⎪的定义域和值域。 ⎝2⎭
2⎛π⎫
，如图： -x ⎪）=1-2sin x ≥0 ∴sin x ≤
⎝2⎭2
∴2k π-
5ππ
≤x ≤2k π+(k ∈Z )，0≤y ≤1+2 44
31. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调
区间、对称点、对称轴吗？
⎛π⎫
，0⎪，k ∈Z ⎝2⎭
ππ⎤⎡
y =s i n x 的增区间为⎢2k π-，2k π+⎥(k ∈Z )
22⎦⎣
s i n x ≤1，c o s x ≤1 对称点为 k
减区间为⎢2k π+，2k π+(k ∈Z ) ⎥22⎦⎣ 图象的对称点为k π，0，对称轴为x =k π+
⎡
π
3π⎤
y
y =tgx
()
π
(k ∈Z ) x
- O 2
x 的增区间为[2k π，2k π+π](k ∈Z ) y =c o s
减区间为2k π+π，2k π+2π
[](k ∈Z )
图象的对称点为 k π+
⎛⎝
π⎫
，0⎪，对称轴为x =k π(k ∈Z )
⎭2
ππ⎫
，k π+⎪k ∈Z 22⎭
[或y =A c o (s 34 正弦型函数. y =A s i (n ωx +ϕ)的图象和性质要熟记。ωx +ϕ)]
2π
（1）振幅|A |，周期T = 若f (x 0)=±A ，则x =x 0为对称轴。
|ω|
y =t a n x 的增区间为 k π-
⎛
⎝
若f (x 0)=0，则x 0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令ωx +ϕ依次为0，
()
π3π，π，，2π，求出x 与y ，依点 22
（x ，y ）作图象。
（3）根据图象求解析式。（求A 、ω、ϕ值）
⎧ω(x 1) +ϕ=0⎪
如图列出⎨π
ω(x ) +ϕ=2⎪2⎩
解条件组求ω、ϕ值
∆正切型函数y =A tan (ωx +ϕ)，T =
π |ω|
35. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
π⎫23π⎤⎡=-，x ∈π，，求x 值。 ⎪⎢⎥⎭622⎦⎣3π7ππ5ππ5π13，∴
如：cos x +
⎛⎝
36. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y =sin x +sin|x |的值域是 （x ≥0时，y =2sin x ∈-2，2，x
[][]
→⎧x ' =x +h a =(h ，k ) （1）点P （x ，y ）−−−−− −→P ' （x ' ，y ' ），则⎨
y ' =y +k 平移至⎩
（2）曲线f (x ，y ) =0沿向量a =(h ，k ) 平移后的方程为f (x -h ，y -k ) =0 如：函数y =2sin 2x -图象？
（y =2sin 2x -
→
⎛
⎝
π⎫
⎪-1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的 4⎭
π⎫⎡⎛1⎫π⎤横坐标伸长到原来的2倍
−→y =2sin ⎢2 x ⎪-⎥-1 ⎪-1−−−−−−−−−
4⎭⎣⎝2⎭4⎦
π左平移个单位
π⎫⎛1个单位4=2sin x -⎪-1−−−−−−−→y =2sin x -1−上平移−−−−−−→y =2sin x ⎝4⎭
1
纵坐标缩短到原来的倍
2→y =sin x ） −
−−−−−−−−−
⎛⎝
如：1=sin α+cos α=sec α-tan α=tan α·cot α=cos α·sec α=tan
2
2
2
2
π 4
π
=cos 0=„„称为1的代换。 2
π
“k ·±α”化为α的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2=sin
“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。 如：cos
9π⎛7π⎫
+tan -⎪+sin (21π)=
⎝6⎭4
sin α+tan α
又如：函数y =，则y 的值为
cos α+cot α
B. 负值
C. 非负值
D. 正值
A. 正值或负值
sin α
sin 2α(cos α+1)cos α （y ==>0，∵α≠0）
cos 2αsin α+1cos α+
sin α
sin α+
39. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：
s i n αcos β±cos αsin β−−−−→sin 2α=2sin αcos α (α±β)=s i n
令α=β
令α=β2
c o (s α±β)=c o s αc o βs s i n αs i n β−−−−→c o s 2α=c o 2s α-s i n α t a n (α±β)=
t a n α±t a n β22
=2c o s α-1=1-2s i n α⇒
1 t a n α·t a n β
1+c o s 2α
2
1-c o s 2α
2
s i n α=
2
c o 2s α=
t a n 2α=
2t a n α
2
1-t a n α
α+b cos α= a s i n
s i n α+c o s α=
a 2+b 2sin (α+ϕ)，tan ϕ=
b
a
π⎫π⎫⎛⎛
2s i n α+3cos α=2sin α+⎪ α+⎪ s i n
⎝⎝4⎭3⎭
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能
求值，尽可能求值。） 具体方法：
（1）角的变换：如β=(α+β)-α，
α+β⎛β⎫⎛α⎫
= α-⎪- -β⎪„„ ⎝⎭22⎭⎝2
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin αcos α2
=1，tan (α-β)=-，求tan (β-2α)的值。
1-cos 2α3
sin αcos αcos α1
==1，∴tan α= （由已知得：
2sin α22sin 2α
如：已知
又tan (β-α)=
2
3
-tan (β-α)-tan α=1） ∴tan (β-2α)=tan [(β-α)-α]==
1+tan β-α·tan α1+·8
32
40. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b 2+c 2-a 2
余弦定理：a =b +c -2bc cos A ⇒cos A =
2bc
2
2
2
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
⎧a =2R sin A
a b c ⎪
正弦定理：===2R ⇔⎨b =2R sin B
sin A sin B sin C ⎪c =2R sin C
⎩
1
C ∵A +B +C =π，∴A +B =π-C S ∆=a ·b s i n
2
A +B C
C ，s i =cos ∴s i n (A +B )=s i n
22
41. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
⎡ππ⎤
，⎥，x ∈[-1，1] 反余弦：arccosx ∈[0，π]，x ∈[-1，1] 2⎦⎣2
⎛ππ⎫
反正切：arctan x ∈ -，⎪，(x ∈R )
⎝22⎭
反正弦：arcsin x ∈⎢-
42. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
（2）向量的模——有向线段的长度，|a |
→
→
（3）单位向量|a 0|=1，a 0=
→→
a
|a |
⎧长度相等→→
（5）相等的向量⇔⎨a =b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不
⎩方向相同
改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b ∥a (b ≠0) ⇔存在唯一实数λ，使b =λa （7）向量的加、减法如图：
→
→
→
→
→
→
→
（4）零向量0，|0|=0
→→
→→→→→→ OA +OB =OC OA -OB =BA
→
→
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
e 1，e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一
→
→
→
→
→
→
实数对λ1、λ2，使得a
=λ1e 1+λ2e 2，e 1、e 2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x ，y ，使得
→
→
→
a =x i +y j ，称(x ，y ) 为向量a 的坐标，记作：a =(x ，y )，即为向量的坐标
→
→→→→
表示。
设a =x 1，y 1，b =x 2，y 2
()
→
()
)()(
λa =λ(x ，y )=(λx ，λy ) 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
→
则AB =(x -x ，y -y )
→
1
1
1
1
则a ±b =x 1，y 1±y 1，y 2=x 1±y 1，x 2±y 2
→→
()
2121
→ |AB |=
(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2，A 、B 两点间距离公式
→
→
→
→
→
→
43. 平面向量的数量积
→
→
（1）a ·b =|a |·|b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积）。 θ为向量a 与b 的夹角，θ∈0，π 数量积的几何意义：
a ·b 等于|a |与b 在a 的方向上的射影|b |cosθ的乘积。
（2）数量积的运算法则
①a ·b =b ·a ②(a +b ) c =a ·c +b ·c ③a ·b =x 1，y 1·x 2，y 2=x 1x 2+y 1y 2
注意：数量积不满足结合律(a ·b ) ·c ≠a ·(b ·c ) （3）重要性质：设a =x 1，y 1，b =x 2，y 2 ①a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1·x 2+y 1·y 2=0
②a ∥b ⇔a ·b =|a |·|b |或a ·b =-|a |·|b |
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
[]
→→
()(
→
)
()
→
()
⇔a =λb （b ≠0，λ惟一确定）⇔x 1y 2-x 2y 1=0
③a =|a |=x 1+y 1，|a ·b |≤|a |·|b | ④c o s θ= 44. 线段的定比分点
→2
→2
2
2
→
→
→
→
→→
a ·b
→→
=
x 1x 2+y 1y 2x +y ·x +y
2
1
21
22
22
|a |·|b |
设P 1x 1，y 1，P 2x 2，y 2，分点P x ，y ，设P 1、P 2是直线l 上两点，P 点在
→→
l 上且不同于P 1、P 2，若存在一实数λ，使P 1P =λPP 2，则λ叫做P 分有向线段 →
P 1P 2所成的比（λ>0，P 在线段P 1P 2内，λ
x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2
，P 为P 1P 2中点时，⎨ ⎨
⎪y =y 1+λy 2⎪y =y 1+y 2
⎪⎪1+λ2⎩⎩
如：∆ABC ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x
3，y 3)
()()()
则∆ABC 重心G 的坐标是
23⎫⎛123
，1⎪
⎝⎭33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
45. 不等式的性质有哪些？ （1）a >b ，
c >0⇒ac >bc c
（2）a >b ，c >d ⇒a +c >b +d
（3）a >b >0，c >d >0⇒ac >bd （4）a >b >0⇒ （5）a >b >0⇒a n >b n ，a >b
（6）|x |0)⇔-a a 46. 利用均值不等式：
1111 a b a b
⎛a +b ⎫
a +b ≥2ab a ，b ∈R ；a +b ≥2ab ；ab ≤ ⎪求最值时，你是否注
⎝2⎭
2
2
(
+
)
2
意到“a ，b ∈R +”且“等号成立”时的条件，积(ab ) 或和(a +b ) 其中之一为定
值？（一正、二定、三相等）
a 2+b 2a +b 2ab
注意如下结论： ≥≥ab ≥a ，b ∈R + （平方平均数—算术—几何—调合）
22a +b
当且仅当a =b 时等号成立。
()
a +b +c ≥ab +bc +ca a ，b ∈R 当且仅当a =b =c 时取等号。 a >b >0，m >0，n >0，则
222
()
b b +m a +n a
47. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。
111++„+
111111
（1+2+2+„„+2
1⨯22⨯323n n -1n
如：证明1+
11111
+-+„„+-223n -1n 1
=2-
n
f (x )
>a (a ≠0)的一般步骤是什么？ 48. g (x )
=1+1-
（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 49. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如：(x +1)(x -1)(x -2)
50. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a >1或0
a
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
2
3
1⎫⎧
⎬） 2⎭⎩
52. 会用不等式 |a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |证明较简单的不等问
例如：解不等式|x -3|-x +
53. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a f (x ) 恒成立⇔a >f (x ) 的最大值 a >f (x ) 能成立⇔a >f (x ) 的最小值
例如：对于一切实数x ，若x -3+x +2>a 恒成立，则a 的取值范围是 （设u =x -3+x +2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和
u m i n =3-(-2)=5，∴5>a ，即a
54. 熟记下列公式了吗？
（1）l 直线的倾斜角α∈0，π，k =tan α=
[)
y 2-y 1⎛π⎫
α≠，x 1≠x 2⎪
⎭x 2-x 1⎝2
→
P 1x 1，y 1，P 2x 2，y 2是l 上两点，直线l 的方向向量a =1，k （2）直线方程：
点斜式：y -y 0=k (x -x 0)（k 存在） 斜截式：y =kx +b 截距式： 一般式：Ax +By +C =0（A 、B 不同时为零） （3）点P x 0，y 0到直线l ：Ax +By +C =0的距离d = （4）l 1到l 2的到角公式：tan θ= 55. 如何判断两直线平行、垂直？
()()()
x y
+=1 a b
()
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
k 2-k 1k -k 1
l 1与l 2的夹角公式：tan θ=2
1-k 1k 21-k 1k 2
A 1B 2=A 2B 1⎫
⎬⇔l 1∥l 2 k 1=k 2⇒l 1∥l 2（反之不一定成立）
A 1C 2≠A 2C 1⎭
A 1A 2+B 1B 2=0⇔l 1⊥l 2 k 1·k 2=-1⇒l 1⊥l 2
56. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
57. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组⇒关于x （或y ）的一元二次方程⇒“∆”
∆>0⇔相交；∆=0⇔相切；∆
58. 分清圆锥曲线的定义
⎧椭圆⇔PF 1+PF 2=2a ，2a >2c =F 1F 2
⎪ ⎪
第一定义⎨双曲线⇔PF 1-PF 2=2a ，2a
x
⎪⎪ ⎩抛物线⇔PF =PK
01⇔双曲线；e =1⇔抛物线
x 2y 2222
2+2=1(a >b >0) a =b +c
a b x 2y 2222
2-2=1(a >0，b >0) c =a +b
a b ()
()
x y x 2y 2
为2-2=λ(λ≠0) 59. 与双曲线2-2=1有相同焦点的双曲线系
a b a b
60. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。
（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P 1P 2= =
22
1+k )(x
2
1+x 2)-4x 1x 2
2
1⎫2⎛1+y +y -4y 1y 2 () ⎪2⎝k 2⎭1
[]
61. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
x 2y 2
如： 2-2=1
a b
PF 2⎛a 2⎫ =e ，PF 2=e x 0-⎪=ex 0-a
PK c ⎭⎝
PF 1=ex 0+a
y 2=2px (p >0)
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
62. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
2
2
如：椭圆mx +ny =1与直线y =1-x 交于M 、N 两点，原点与MN 中点连
线的斜率为
2m
，则的值为2n
答案：
m 2
= n 2
63. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C ：F （x ，y ）＝0关于点M （a ，b ）成中心对称，设A （x ，y ）为曲线C 上任意一点，设A' （x' ，y' ）为A 关于点M 的对称点。
，b =⇒x ' =2a -x ，y ' =2b -y ） 22
只要证明A ' (2a -x ，2b -y )也在曲线C 上，即f (x ') =y '
（由a =
（2）点A 、A ' 关于直线l 对称⇔⎨ ⇔⎨
⎧AA ' ⊥l ⎩AA ' 中点在l 上
⎧k AA' ·k l =-1
⎩AA ' 中点坐标满足l 方程
⎧x =r cos θ
64. 圆x 2+y 2=r 2的参数方程为（θ为参数）⎨
⎩y =r sin θ
⎧x =a cos θx 2y 2
椭圆2+2=1的参数方程为⎨（θ为参数）
a b ⎩y =b sin θ
65. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
66. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。同时也可以采用角点法。
判断可行域可以采用不等式系数法和特殊点法。
67. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线←−→线∥面←−→面∥面
−−−→线⊥线←−→线⊥面←−→面⊥面←−−− 线面平行的判定：
判定性质
线∥线←−→线⊥面←−→面∥面
a ∥b ，b ⊂面α，a ⊄α⇒a ∥面α
线面平行的性质：
α∥面α，α⊂面β，α β=b ⇒a ∥b 三垂线定理（及逆定理）：
PA ⊥面α，AO 为PO 在α内射影，a ⊂面α，则 a ⊥OA ⇒a ⊥PO ；a ⊥PO ⇒a ⊥AO
线面垂直：
a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，b c =O ⇒a ⊥α
面面垂直：
a ⊥面α，a ⊂面β⇒β⊥α
面α⊥面β，α β=l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β
b a ⊥面α，b ⊥面α⇒a ∥b 面α⊥a ，面β⊥a ⇒α∥β
a
P
a
α a
68. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θ＝0时，b ∥α或b ⊂α
（3）二面角：二面角α-l -β的平面角θ，0o
o
（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 69. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 D
C 如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则：
（1）点C 到面AB 1C 1的距离为___________； A
（2）点B 到面ACB 1的距离为____________； （3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为____________； （4）面AB 1C 与面A
1
DC
1的距离为____________； （5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
C 1
11 70. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt ∆SOB ，Rt ∆SOE ，Rt ∆BOE 和Rt ∆SBE 它们各包含哪些元素？ S 正棱锥侧=
1
C ·h ' （C ——底面周长，h ' 为斜高） 2
V 锥=
底面积×高 3
71. 球有哪些性质？
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r =R 2-d 2
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）S 球=4πR ，V 球=
2
4
πR 3 3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
72. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 分类计数原理N ：=m 1+m 2+„„+m n （m i 为各类办法中的方法数）
分步计数原理：N =m 1·m 2„„m n （m i 为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有排列的个数记为A m n .
n ! m
A n =n (n -1)(n -2)„„(n -m +1)=(m ≤n ) 规定：0! =1
n -m !
（3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的一个组合，所有组合个数记为C m n .
n (n -1)„„(n -m +1)A m n ! 0 C =n 规定：C ==n =1 m
m ! m ! n -m ! A m
m
n
（4）组合数性质：
C n =C n ，C n +C n =C n +1，C n +C n +„„+C n =2 73. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 74. 二项式定理
n 1n -1n -22n -r r n
(a +b ) n =C 0b +C 2b +„+C r b +„+C n n a +C n a n a n a n b n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C r a b (r =0，1„„n ) n
m
n -m
m
m -1
m
1
n
n
C r n 为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
r n -r
r =0，1，2，„„，n （1）对称性：C n =C n
()
1n n
（2）系数和：C 0n +C n +„+C n =2
135024n -1
C n +C n +C n +„=C n +C n +C n +„=2（奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和）
75. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件Ω，P (Ω) =1，不可能事件φ，P (φ) =0
（2）包含关系：A ⊂B ，“A 发生必导致B 发生”称B 包含A 。
A B
（3）事件的和（并）：A +B 或A B “A 与B 至少有一个发生”叫做A 与B 的和（并）。
（4）事件的积（交）：A ·B 或A B “A 与B 同时发生”叫做A 与B 的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。 A ·B =φ
（6）对立事件（互逆事件）：
“A 不发生”叫做A 发生的对立（逆）事件， A =Ω，A =φ
（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
A 与B 独立，A 与B 也相互独立。 76. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
A 包含的等可能结果m
=
一次试验的等可能结果的总数n
（2）若A 、B 互斥，则P (A +B )=P (A ) +P (B )
P (A ) =
（3）若A 、B 相互独立，则P A ·B =P (A )·P (B )
（4）P () =1-P (A )
（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生
k
k 次的概率：P n (k ) =C k n p (1-p )
n -k
()
77. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
78. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差(x max -x min )； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 其中，频率=小长方形的面积=组距× 样本平均值：=
频率
组距
1
x 1+x 2+„„+x n n 12
样本方差：S =(x 1-)2+(x 2-)2+„„+(x n -)2
n
()
[]
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的
42C 10C 5
概率为____________。 （）
6
C 15
第十一章. 抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1. 掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；
2. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
3. 总体特征数的估计：（1）学会用样本平均数 去估计总体平均数；（2）学会用样本方差去估计总体方差 及总体标准差；（2）学会用修正的样本方差 去估计总体方差 ，会用 去估计 ；
十二、导数及应用
1. 导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作 ； 2. 根据导数的定义，求函数的导数步骤为： （1）求函数的增量 (2)求平均变化率 ; (3)取极限, 得导数 ;
3. 导数的几何意义：曲线y ＝f （x ） 在点P （x0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，切线方程是
4. 常见函数的导数公式： 5. 导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果 那么f(x)为增函数；如果 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有 那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数 ；②求方程 的根；③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值.
1.
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A ={x |y =lg x }，B ={y |y =lg x }，C ={(x , y )|y =lg x }，A 、B 、C 中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集∅的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质：
n
（1）集合a 1，a 2，„„，a n 的所有子集的个数是2；
{}
（2）若A ⊆B ⇔A B =A ，A B =B ； （3）德摩根定律：
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
ax -5
x 2-a
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥0
52-a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x 的不等式的取值范围。
（∵3∈M ，∴
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1，⎪ (9，25)）
3⎭⎣
∵5∉M ，∴
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨) ，“且”(∧) 和
“非”(⌝).
若p ∧q 为真，当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真，当且仅当p 为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y =
x 4-x lg (x -3)
2
的定义域是 （答：0，2 2，3 3，4）
()()()
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x ) 的定义域是a ，b ，b >-a >0，则函数F(x) =f (x ) +f (-x ) 的定 义域是_____________。 （答：a ，-a ）
[]
[]
如：f 令t =
(
x +1=e x +x ，求f (x ).
)
x +1，则t ≥0 ∴x =t -1 ∴f (t ) =e
2
2
t 2-1
+t 2-1
∴f (x ) =e x
-1
+x 2-1(x ≥0)
⎧(x ≥0)⎪x -1(x >1)-1
的反函数 （答：f (x ) =⎨）
(x
12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数, 或在定义域内单调的函数）
求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
⎧⎪1+x
如：求函数f (x ) =⎨2
⎪⎩-x
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设y =f(x)的定义域为A ，值域为C ，a ∈A ，b ∈C ，则f(a)=b ⇔f -1(b ) =a ∴f
-1
[f (a ) ]=f -1(b ) =a ，f [f -1(b ) ]=f (a ) =b
（y =f (u ) ，u =ϕ(x ) ，则y =f [ϕ(x ) ]
14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
（外层）（内层）
当内、外层函数单调性相同时f [ϕ(x ) ]为增函数，否则f [ϕ(x ) ]为减函数。）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a ，b 内，若总有f '(x ) ≥0则f (x ) 为增函数。（在个别点上导数等于
()
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '(x ) ≤0呢？
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若f (-x ) =-f (x ) 总成立⇔f (x ) 为奇函数⇔函数图象关于原点对称 若f (-x ) =f (x ) 总成立⇔f (x ) 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。 17. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T （T ≠0），在定义域内总有f (x +T )=f (x ) ，则f (x ) 为周期函数，T 是一个周期。）
如：若f (x +a )=-f (x ) ，则
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
f (x ) 与f (-x ) 的图象关于y 轴对称 f (x ) 与-f (x ) 的图象关于x 轴对称 f (x ) 与-f (-x ) 的图象关于原点对称 f (x ) 与f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称 f (x ) 与f (2a -x ) 的图象关于直线x =a 对称 f (x ) 与-f (2a -x ) 的图象关于点(a ，0) 对称 将y =f (x ) 图象−−−−−−−−−→
左移a (a >0) 个单位
右移a (a >0) 个单位
y =f (x +a ) y =f (x -a )
y =f (x +a ) +b 上移b (b >0) 个单位 −−−−−−−− −→y =f (x +a ) -b 下移b (b >0) 个单位
注意如下“翻折”变换：
f (x ) −再对称到左侧。 −→f (|x |)先画Y 轴右侧图象，−f (x ) 把X 轴下方图象折到上方；f (x ) −
（1）一次函数：y =kx +b (k ≠0) （2）反比例函数：y =
k k k ≠0推广为y =b +()(k ≠0)是中心O '(a ，b ) 的双曲线。 x x -a
2b ⎫4ac -b 2⎛2
（3）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)=a x +图象为抛物线 ⎪+
⎝⎭2a 4a
⎛b 4ac -b 2⎫b
顶点坐标为 -，⎪，对称轴x =-
4a ⎭2a ⎝2a
开口方向：a >0，向上，函数y min
4ac -b 24ac -b 2
= a
4a 4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m ，n ］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
ax 2+bx +c =0，∆>0时，两根x 1、x 2为二次函数y =ax 2+bx
2
的两个交点，也是二次不等式ax +bx +c >0(
⎧∆≥0
⎪b ⎪
如：二次方程ax 2+bx +c =0的两根都大于k ⇔⎨->k ⎪2a f (k ) >0⎪⎩
一根大于k ，一根小于k ⇔f (k )
x
(a >0，a ≠1) x (a >0，a ≠1)
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
k
（6）“对勾函数”y =x +(k >0) x
请结合图象写出其
定义域： 值域：
单调区间： 最值：
20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 10-p
指数运算：a =1(a ≠0) ，a =p (a ≠0)
a a
m
n
a
对数运算：log a M ·N =log a M +log a N (M >0，N >0)
M 1log a x =l o g M -l o g N ，l o g M =l o g l o g =x a a a a a M 对数恒等式：a N n
log c b n
对数换底公式：log a b =⇒log a m b n =log a b
log c a m
=a (a ≥0) ，a
m
-
m n
=
1
m
(a >0)
21. 如何解抽象函数问题？
如：（1）x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。 （先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ，„„）
（2）x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。 （先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t ) ∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„）
（3）证明单调性：f (x 2) =f (x 2-x 1)+x 2=„„
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
[]
23. 等差数列的定义与性质
定义：a n +1-a n =d (d 为常数) ，a n =a 1+(n -1)d 等差中项：x ，A ，y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和S n =
2
性质：{a n }是等差数列
(a 1+a n )n =na
1+
n (n -1)2
d
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；
（2）数列{a 2n -1}，{a 2n }，{ka n +b }仍为等差数列； S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n „„仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a -d ，a ，a +d ； （4）若a n ，b n 是等差数列S n ，T n 为前n 项和，则
a m S 2m -1
=； b m T 2m -1
（5）{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b 为常数，是关于n 的常数项为 0的二次函数）
S n 的最值可求二次函数S n =an 2+bn 的最值；或者求出{a n }中的正、负分界项，即：
⎧a n ≥0
当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
⎧a n ≤0
当a 10，由⎨可得S n 达到最小值时的n 值。
a ≥0⎩n +1
24. 等比数列的定义与性质 定义：
a n +1
=q （q 为常数，q ≠0），a n =a 1q n -1 a n
等比中项：x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=xy ，或G =±xy
⎧na 1(q =1) ⎪
（要注意! ） 前n 项和：S n =⎨a 11-q n
(q ≠1) ⎪
⎩1-q
性质：{a n }是等比数列
()
（1）若m +n =p +q ，则a m ·a n =a p ·a q
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n „„仍为等比数列 25. ？由S n 求a n 时应注意什么
（n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n -S n -1）求出的通项是否能合写。否则用分段形式表示。 26. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ （1）求差（商）法
111
a 1+2a 2+„„+n a n =2n +5（求差法） 222
S 5
数列{a n }满足S n +S n +1=a n +1，a 1=4，求a n （求商法）a n +1=S n +1-S n n +1=4
3S n
如：{a n }满足 （2）累乘法
a n
，求a n
a n n +1
（3）等差型递推公式
由a n -a n -1=f (n ) ，a 1=a 0，求a n ，用迭加法 （4）等比型递推公式
a n =ca n -1+d c 、d 为常数，c ≠0，c ≠1，d ≠0 （用构造法：待定系数法）
数列{a n }中，a 1=3n +1=
()
（5）倒数法
例如：a 1=1，a n +1=
2a n
，求a n
a n +2
27. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？
（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：{a n }是公差为d 的等差数列，求 （2）错位相减法：
若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求数列{a n b n }（差比数列）前n 项
∑a
k =1
n
1
k a k +1
和，可由S n -qS n 求S n ，其中q 为{b n }的公比。
如：S n =1+2x +3x 2+4x 3+„„+nx n -1
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
x 2⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
已知f (x ) =，则f (1) +f (2) +f +f (3) +f +f (4) +f ⎪ ⎪ ⎪=
⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭1+x 2
x ⎛1⎫
（由f (x ) +f ⎪=+
⎝x ⎭1+x 2
2
x 21=+=1 2221+x 1+x ⎛1⎫
1+ ⎝x ⎛1⎫ ⎪⎝x ⎭
2
28. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为： S n =p (1+r )+p (1+2r )+„„+p (1+nr )=p ⎢n +
⎡⎣
n (n +1)⎤
r ⎥„„等差问题 2⎦
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款
种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足
p (1+r
) n =x (1+r )
n -1
+x (1+r )
n -2
+„„+x (1+r )+x
n n
⎡1-(1+r )n ⎤pr (1+r )1+r )-1( =x ⎢ ∴x = ⎥=x n
r (1+r )-1⎢⎣1-(1+r )⎥⎦
p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数
29. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 吗？ 112
（l =α·R ，S 扇=l ·R =α·R ） 22
30. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 x s i n α=MP ，c o s α=OM ，t a n α=AT 如：若-
π
又如：求函数y =1-2cos （∵1-2cos
⎛π⎫
-x ⎪的定义域和值域。 ⎝2⎭
2⎛π⎫
，如图： -x ⎪）=1-2sin x ≥0 ∴sin x ≤
⎝2⎭2
∴2k π-
5ππ
≤x ≤2k π+(k ∈Z )，0≤y ≤1+2 44
31. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调
区间、对称点、对称轴吗？
⎛π⎫
，0⎪，k ∈Z ⎝2⎭
ππ⎤⎡
y =s i n x 的增区间为⎢2k π-，2k π+⎥(k ∈Z )
22⎦⎣
s i n x ≤1，c o s x ≤1 对称点为 k
减区间为⎢2k π+，2k π+(k ∈Z ) ⎥22⎦⎣ 图象的对称点为k π，0，对称轴为x =k π+
⎡
π
3π⎤
y
y =tgx
()
π
(k ∈Z ) x
- O 2
x 的增区间为[2k π，2k π+π](k ∈Z ) y =c o s
减区间为2k π+π，2k π+2π
[](k ∈Z )
图象的对称点为 k π+
⎛⎝
π⎫
，0⎪，对称轴为x =k π(k ∈Z )
⎭2
ππ⎫
，k π+⎪k ∈Z 22⎭
[或y =A c o (s 34 正弦型函数. y =A s i (n ωx +ϕ)的图象和性质要熟记。ωx +ϕ)]
2π
（1）振幅|A |，周期T = 若f (x 0)=±A ，则x =x 0为对称轴。
|ω|
y =t a n x 的增区间为 k π-
⎛
⎝
若f (x 0)=0，则x 0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令ωx +ϕ依次为0，
()
π3π，π，，2π，求出x 与y ，依点 22
（x ，y ）作图象。
（3）根据图象求解析式。（求A 、ω、ϕ值）
⎧ω(x 1) +ϕ=0⎪
如图列出⎨π
ω(x ) +ϕ=2⎪2⎩
解条件组求ω、ϕ值
∆正切型函数y =A tan (ωx +ϕ)，T =
π |ω|
35. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
π⎫23π⎤⎡=-，x ∈π，，求x 值。 ⎪⎢⎥⎭622⎦⎣3π7ππ5ππ5π13，∴
如：cos x +
⎛⎝
36. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y =sin x +sin|x |的值域是 （x ≥0时，y =2sin x ∈-2，2，x
[][]
→⎧x ' =x +h a =(h ，k ) （1）点P （x ，y ）−−−−− −→P ' （x ' ，y ' ），则⎨
y ' =y +k 平移至⎩
（2）曲线f (x ，y ) =0沿向量a =(h ，k ) 平移后的方程为f (x -h ，y -k ) =0 如：函数y =2sin 2x -图象？
（y =2sin 2x -
→
⎛
⎝
π⎫
⎪-1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的 4⎭
π⎫⎡⎛1⎫π⎤横坐标伸长到原来的2倍
−→y =2sin ⎢2 x ⎪-⎥-1 ⎪-1−−−−−−−−−
4⎭⎣⎝2⎭4⎦
π左平移个单位
π⎫⎛1个单位4=2sin x -⎪-1−−−−−−−→y =2sin x -1−上平移−−−−−−→y =2sin x ⎝4⎭
1
纵坐标缩短到原来的倍
2→y =sin x ） −
−−−−−−−−−
⎛⎝
如：1=sin α+cos α=sec α-tan α=tan α·cot α=cos α·sec α=tan
2
2
2
2
π 4
π
=cos 0=„„称为1的代换。 2
π
“k ·±α”化为α的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2=sin
“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。 如：cos
9π⎛7π⎫
+tan -⎪+sin (21π)=
⎝6⎭4
sin α+tan α
又如：函数y =，则y 的值为
cos α+cot α
B. 负值
C. 非负值
D. 正值
A. 正值或负值
sin α
sin 2α(cos α+1)cos α （y ==>0，∵α≠0）
cos 2αsin α+1cos α+
sin α
sin α+
39. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：
s i n αcos β±cos αsin β−−−−→sin 2α=2sin αcos α (α±β)=s i n
令α=β
令α=β2
c o (s α±β)=c o s αc o βs s i n αs i n β−−−−→c o s 2α=c o 2s α-s i n α t a n (α±β)=
t a n α±t a n β22
=2c o s α-1=1-2s i n α⇒
1 t a n α·t a n β
1+c o s 2α
2
1-c o s 2α
2
s i n α=
2
c o 2s α=
t a n 2α=
2t a n α
2
1-t a n α
α+b cos α= a s i n
s i n α+c o s α=
a 2+b 2sin (α+ϕ)，tan ϕ=
b
a
π⎫π⎫⎛⎛
2s i n α+3cos α=2sin α+⎪ α+⎪ s i n
⎝⎝4⎭3⎭
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能
求值，尽可能求值。） 具体方法：
（1）角的变换：如β=(α+β)-α，
α+β⎛β⎫⎛α⎫
= α-⎪- -β⎪„„ ⎝⎭22⎭⎝2
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin αcos α2
=1，tan (α-β)=-，求tan (β-2α)的值。
1-cos 2α3
sin αcos αcos α1
==1，∴tan α= （由已知得：
2sin α22sin 2α
如：已知
又tan (β-α)=
2
3
-tan (β-α)-tan α=1） ∴tan (β-2α)=tan [(β-α)-α]==
1+tan β-α·tan α1+·8
32
40. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b 2+c 2-a 2
余弦定理：a =b +c -2bc cos A ⇒cos A =
2bc
2
2
2
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
⎧a =2R sin A
a b c ⎪
正弦定理：===2R ⇔⎨b =2R sin B
sin A sin B sin C ⎪c =2R sin C
⎩
1
C ∵A +B +C =π，∴A +B =π-C S ∆=a ·b s i n
2
A +B C
C ，s i =cos ∴s i n (A +B )=s i n
22
41. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
⎡ππ⎤
，⎥，x ∈[-1，1] 反余弦：arccosx ∈[0，π]，x ∈[-1，1] 2⎦⎣2
⎛ππ⎫
反正切：arctan x ∈ -，⎪，(x ∈R )
⎝22⎭
反正弦：arcsin x ∈⎢-
42. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
（2）向量的模——有向线段的长度，|a |
→
→
（3）单位向量|a 0|=1，a 0=
→→
a
|a |
⎧长度相等→→
（5）相等的向量⇔⎨a =b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不
⎩方向相同
改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b ∥a (b ≠0) ⇔存在唯一实数λ，使b =λa （7）向量的加、减法如图：
→
→
→
→
→
→
→
（4）零向量0，|0|=0
→→
→→→→→→ OA +OB =OC OA -OB =BA
→
→
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
e 1，e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一
→
→
→
→
→
→
实数对λ1、λ2，使得a
=λ1e 1+λ2e 2，e 1、e 2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x ，y ，使得
→
→
→
a =x i +y j ，称(x ，y ) 为向量a 的坐标，记作：a =(x ，y )，即为向量的坐标
→
→→→→
表示。
设a =x 1，y 1，b =x 2，y 2
()
→
()
)()(
λa =λ(x ，y )=(λx ，λy ) 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
→
则AB =(x -x ，y -y )
→
1
1
1
1
则a ±b =x 1，y 1±y 1，y 2=x 1±y 1，x 2±y 2
→→
()
2121
→ |AB |=
(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2，A 、B 两点间距离公式
→
→
→
→
→
→
43. 平面向量的数量积
→
→
（1）a ·b =|a |·|b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积）。 θ为向量a 与b 的夹角，θ∈0，π 数量积的几何意义：
a ·b 等于|a |与b 在a 的方向上的射影|b |cosθ的乘积。
（2）数量积的运算法则
①a ·b =b ·a ②(a +b ) c =a ·c +b ·c ③a ·b =x 1，y 1·x 2，y 2=x 1x 2+y 1y 2
注意：数量积不满足结合律(a ·b ) ·c ≠a ·(b ·c ) （3）重要性质：设a =x 1，y 1，b =x 2，y 2 ①a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1·x 2+y 1·y 2=0
②a ∥b ⇔a ·b =|a |·|b |或a ·b =-|a |·|b |
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
[]
→→
()(
→
)
()
→
()
⇔a =λb （b ≠0，λ惟一确定）⇔x 1y 2-x 2y 1=0
③a =|a |=x 1+y 1，|a ·b |≤|a |·|b | ④c o s θ= 44. 线段的定比分点
→2
→2
2
2
→
→
→
→
→→
a ·b
→→
=
x 1x 2+y 1y 2x +y ·x +y
2
1
21
22
22
|a |·|b |
设P 1x 1，y 1，P 2x 2，y 2，分点P x ，y ，设P 1、P 2是直线l 上两点，P 点在
→→
l 上且不同于P 1、P 2，若存在一实数λ，使P 1P =λPP 2，则λ叫做P 分有向线段 →
P 1P 2所成的比（λ>0，P 在线段P 1P 2内，λ
x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2
，P 为P 1P 2中点时，⎨ ⎨
⎪y =y 1+λy 2⎪y =y 1+y 2
⎪⎪1+λ2⎩⎩
如：∆ABC ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x
3，y 3)
()()()
则∆ABC 重心G 的坐标是
23⎫⎛123
，1⎪
⎝⎭33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
45. 不等式的性质有哪些？ （1）a >b ，
c >0⇒ac >bc c
（2）a >b ，c >d ⇒a +c >b +d
（3）a >b >0，c >d >0⇒ac >bd （4）a >b >0⇒ （5）a >b >0⇒a n >b n ，a >b
（6）|x |0)⇔-a a 46. 利用均值不等式：
1111 a b a b
⎛a +b ⎫
a +b ≥2ab a ，b ∈R ；a +b ≥2ab ；ab ≤ ⎪求最值时，你是否注
⎝2⎭
2
2
(
+
)
2
意到“a ，b ∈R +”且“等号成立”时的条件，积(ab ) 或和(a +b ) 其中之一为定
值？（一正、二定、三相等）
a 2+b 2a +b 2ab
注意如下结论： ≥≥ab ≥a ，b ∈R + （平方平均数—算术—几何—调合）
22a +b
当且仅当a =b 时等号成立。
()
a +b +c ≥ab +bc +ca a ，b ∈R 当且仅当a =b =c 时取等号。 a >b >0，m >0，n >0，则
222
()
b b +m a +n a
47. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。
111++„+
111111
（1+2+2+„„+2
1⨯22⨯323n n -1n
如：证明1+
11111
+-+„„+-223n -1n 1
=2-
n
f (x )
>a (a ≠0)的一般步骤是什么？ 48. g (x )
=1+1-
（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 49. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如：(x +1)(x -1)(x -2)
50. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a >1或0
a
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
2
3
1⎫⎧
⎬） 2⎭⎩
52. 会用不等式 |a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |证明较简单的不等问
例如：解不等式|x -3|-x +
53. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a f (x ) 恒成立⇔a >f (x ) 的最大值 a >f (x ) 能成立⇔a >f (x ) 的最小值
例如：对于一切实数x ，若x -3+x +2>a 恒成立，则a 的取值范围是 （设u =x -3+x +2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和
u m i n =3-(-2)=5，∴5>a ，即a
54. 熟记下列公式了吗？
（1）l 直线的倾斜角α∈0，π，k =tan α=
[)
y 2-y 1⎛π⎫
α≠，x 1≠x 2⎪
⎭x 2-x 1⎝2
→
P 1x 1，y 1，P 2x 2，y 2是l 上两点，直线l 的方向向量a =1，k （2）直线方程：
点斜式：y -y 0=k (x -x 0)（k 存在） 斜截式：y =kx +b 截距式： 一般式：Ax +By +C =0（A 、B 不同时为零） （3）点P x 0，y 0到直线l ：Ax +By +C =0的距离d = （4）l 1到l 2的到角公式：tan θ= 55. 如何判断两直线平行、垂直？
()()()
x y
+=1 a b
()
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
k 2-k 1k -k 1
l 1与l 2的夹角公式：tan θ=2
1-k 1k 21-k 1k 2
A 1B 2=A 2B 1⎫
⎬⇔l 1∥l 2 k 1=k 2⇒l 1∥l 2（反之不一定成立）
A 1C 2≠A 2C 1⎭
A 1A 2+B 1B 2=0⇔l 1⊥l 2 k 1·k 2=-1⇒l 1⊥l 2
56. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
57. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组⇒关于x （或y ）的一元二次方程⇒“∆”
∆>0⇔相交；∆=0⇔相切；∆
58. 分清圆锥曲线的定义
⎧椭圆⇔PF 1+PF 2=2a ，2a >2c =F 1F 2
⎪ ⎪
第一定义⎨双曲线⇔PF 1-PF 2=2a ，2a
x
⎪⎪ ⎩抛物线⇔PF =PK
01⇔双曲线；e =1⇔抛物线
x 2y 2222
2+2=1(a >b >0) a =b +c
a b x 2y 2222
2-2=1(a >0，b >0) c =a +b
a b ()
()
x y x 2y 2
为2-2=λ(λ≠0) 59. 与双曲线2-2=1有相同焦点的双曲线系
a b a b
60. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。
（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P 1P 2= =
22
1+k )(x
2
1+x 2)-4x 1x 2
2
1⎫2⎛1+y +y -4y 1y 2 () ⎪2⎝k 2⎭1
[]
61. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
x 2y 2
如： 2-2=1
a b
PF 2⎛a 2⎫ =e ，PF 2=e x 0-⎪=ex 0-a
PK c ⎭⎝
PF 1=ex 0+a
y 2=2px (p >0)
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
62. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
2
2
如：椭圆mx +ny =1与直线y =1-x 交于M 、N 两点，原点与MN 中点连
线的斜率为
2m
，则的值为2n
答案：
m 2
= n 2
63. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C ：F （x ，y ）＝0关于点M （a ，b ）成中心对称，设A （x ，y ）为曲线C 上任意一点，设A' （x' ，y' ）为A 关于点M 的对称点。
，b =⇒x ' =2a -x ，y ' =2b -y ） 22
只要证明A ' (2a -x ，2b -y )也在曲线C 上，即f (x ') =y '
（由a =
（2）点A 、A ' 关于直线l 对称⇔⎨ ⇔⎨
⎧AA ' ⊥l ⎩AA ' 中点在l 上
⎧k AA' ·k l =-1
⎩AA ' 中点坐标满足l 方程
⎧x =r cos θ
64. 圆x 2+y 2=r 2的参数方程为（θ为参数）⎨
⎩y =r sin θ
⎧x =a cos θx 2y 2
椭圆2+2=1的参数方程为⎨（θ为参数）
a b ⎩y =b sin θ
65. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
66. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。同时也可以采用角点法。
判断可行域可以采用不等式系数法和特殊点法。
67. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线←−→线∥面←−→面∥面
−−−→线⊥线←−→线⊥面←−→面⊥面←−−− 线面平行的判定：
判定性质
线∥线←−→线⊥面←−→面∥面
a ∥b ，b ⊂面α，a ⊄α⇒a ∥面α
线面平行的性质：
α∥面α，α⊂面β，α β=b ⇒a ∥b 三垂线定理（及逆定理）：
PA ⊥面α，AO 为PO 在α内射影，a ⊂面α，则 a ⊥OA ⇒a ⊥PO ；a ⊥PO ⇒a ⊥AO
线面垂直：
a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，b c =O ⇒a ⊥α
面面垂直：
a ⊥面α，a ⊂面β⇒β⊥α
面α⊥面β，α β=l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β
b a ⊥面α，b ⊥面α⇒a ∥b 面α⊥a ，面β⊥a ⇒α∥β
a
P
a
α a
68. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θ＝0时，b ∥α或b ⊂α
（3）二面角：二面角α-l -β的平面角θ，0o
o
（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 69. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 D
C 如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则：
（1）点C 到面AB 1C 1的距离为___________； A
（2）点B 到面ACB 1的距离为____________； （3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为____________； （4）面AB 1C 与面A
1
DC
1的距离为____________； （5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
C 1
11 70. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt ∆SOB ，Rt ∆SOE ，Rt ∆BOE 和Rt ∆SBE 它们各包含哪些元素？ S 正棱锥侧=
1
C ·h ' （C ——底面周长，h ' 为斜高） 2
V 锥=
底面积×高 3
71. 球有哪些性质？
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r =R 2-d 2
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）S 球=4πR ，V 球=
2
4
πR 3 3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
72. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 分类计数原理N ：=m 1+m 2+„„+m n （m i 为各类办法中的方法数）
分步计数原理：N =m 1·m 2„„m n （m i 为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有排列的个数记为A m n .
n ! m
A n =n (n -1)(n -2)„„(n -m +1)=(m ≤n ) 规定：0! =1
n -m !
（3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的一个组合，所有组合个数记为C m n .
n (n -1)„„(n -m +1)A m n ! 0 C =n 规定：C ==n =1 m
m ! m ! n -m ! A m
m
n
（4）组合数性质：
C n =C n ，C n +C n =C n +1，C n +C n +„„+C n =2 73. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 74. 二项式定理
n 1n -1n -22n -r r n
(a +b ) n =C 0b +C 2b +„+C r b +„+C n n a +C n a n a n a n b n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C r a b (r =0，1„„n ) n
m
n -m
m
m -1
m
1
n
n
C r n 为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
r n -r
r =0，1，2，„„，n （1）对称性：C n =C n
()
1n n
（2）系数和：C 0n +C n +„+C n =2
135024n -1
C n +C n +C n +„=C n +C n +C n +„=2（奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和）
75. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件Ω，P (Ω) =1，不可能事件φ，P (φ) =0
（2）包含关系：A ⊂B ，“A 发生必导致B 发生”称B 包含A 。
A B
（3）事件的和（并）：A +B 或A B “A 与B 至少有一个发生”叫做A 与B 的和（并）。
（4）事件的积（交）：A ·B 或A B “A 与B 同时发生”叫做A 与B 的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。 A ·B =φ
（6）对立事件（互逆事件）：
“A 不发生”叫做A 发生的对立（逆）事件， A =Ω，A =φ
（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
A 与B 独立，A 与B 也相互独立。 76. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
A 包含的等可能结果m
=
一次试验的等可能结果的总数n
（2）若A 、B 互斥，则P (A +B )=P (A ) +P (B )
P (A ) =
（3）若A 、B 相互独立，则P A ·B =P (A )·P (B )
（4）P () =1-P (A )
（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生
k
k 次的概率：P n (k ) =C k n p (1-p )
n -k
()
77. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
78. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差(x max -x min )； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 其中，频率=小长方形的面积=组距× 样本平均值：=
频率
组距
1
x 1+x 2+„„+x n n 12
样本方差：S =(x 1-)2+(x 2-)2+„„+(x n -)2
n
()
[]
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的
42C 10C 5
概率为____________。 （）
6
C 15
第十一章. 抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1. 掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；
2. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
3. 总体特征数的估计：（1）学会用样本平均数 去估计总体平均数；（2）学会用样本方差去估计总体方差 及总体标准差；（2）学会用修正的样本方差 去估计总体方差 ，会用 去估计 ；
十二、导数及应用
1. 导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作 ； 2. 根据导数的定义，求函数的导数步骤为： （1）求函数的增量 (2)求平均变化率 ; (3)取极限, 得导数 ;
3. 导数的几何意义：曲线y ＝f （x ） 在点P （x0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，切线方程是
4. 常见函数的导数公式： 5. 导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果 那么f(x)为增函数；如果 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有 那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数 ；②求方程 的根；③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值.
1.