验证快速电子的动量与动能的相对论关系
摘 要：本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对
论关系。同时实验者将从中学习到β磁谱仪测量原理、闪烁记数器的使用方法及一些实验数据处理的思想方法。
关键词：电子的动量 电子的动能 相对论效应 β磁谱仪 闪烁记数器
引 言：相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。狭义
相对论和广义相对论的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯性参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观领域。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论颠覆了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“时间和空间的相对性”、“四维时空”、“弯曲空间”等全新的概念。狭义相对论提出于1905年，广义相对论提出于1915年[爱因斯坦在1915年末完成广义相对论的创建工作，在1916年初正式发表相关论文]。
本实验通过对快速电子的动量值及动能的同事测定，验证其动能与动量的关系，同时
了解半圆聚焦β磁谱仪的工作原理。
实验方案：
一、实验内容
1 测量快速电子的动量。 2 测量快速电子的动能。
3 验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。
二、实验原理
经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量(如坐标、速度) 可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利略变换下是不变的。
19世纪末至20世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学时遇到了困难；实验证明对高速运动的物体伽利略变换是不正确的，实验还证明在所有惯性参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”。
洛伦兹变换下，静止质量为m 0，速度为v 的物体，狭义相对论定义的动量p 为：
p =
m 0-β
2
v =m v
(5—1)
式中
m =m 0/-β
2
, β=v /c
。相对论的能量E 为：
E =m c (5—2)
2
这就是著名的质能关系。mc 2是运动物体的总能量，当物体静止时v=0，物体的能量为E 0=m0c 2称为静止能量；两者之差为物体的动能E k ，即
E k =m c
2
-m 0c
2
=m 0c (
2
1-β
2
-1)
(5—3)
当β« 1时，式（5—3）可展开为
E k =m 0c (1+
2
1v 2c
22
+ ) -m 0c
2
≈
12
m 0v
2
=
1p
2
2m 0 (5—4)
即得经典力学中的动量—能量关系。
由式(5—1) 和(5—2) 可得：
E
2
-c p
22
=E 0 (5—5)
2
这就是狭义相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为：
E k =E -E 0=
c p
2
2
+m 0c
2
4
-m 0c
2
(4─6)
这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中pc 用MeV 作单位，电子的m 0c 2=0.511MeV。式(5—4) 可化为：
E k =
1p c 2m 0c
2
22
=
p c
22
2⨯0. 511
以利于计算。
四．实验装置及方法
实验装置主要由以下部分组成：①真空、非真空半圆聚焦β磁谱仪；②β放射源
90
Sr —90Y(强度≈1毫居里) ，定标用γ放射源137Cs 和60Co(强度≈2微居里) ；③200μmAl 窗NaI(Tl)
β源射出的高速β粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中(V ⊥B ) ，粒子因受到与运动方向
闪烁探头；④数据处理计算软件；⑤高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。
垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失(一般情况下为小量) ，则粒子具有恒定的动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为：
d p d t
=-e v ⨯B
(5—7)
e 为电子电荷，v 为粒子速度，B 为磁场强度。由式(5—1) 可知p=mv，对某一确定的动量数值P ，其运动速率为一常数，所以质量m 是不变的，故
d p d t
=m
d v d t
d v
,
且d t
=
v
2
R
所以 p =eBR (5—8)
式中R 为β粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。
在磁场外距β源X 处放置一个β能量探测器来接收从该处出射的β粒子，则这些粒子的能量(即动能) 即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为：
90
90
p =e B R =e B ∆X /2
。由于
β源38Sr -39Y (0～2.27MeV) 射出的β粒子具有连续的能量分布(0～2.27MeV) ，因此探测器在不同位置(不同∆X) 就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。这样就可以用实验方法确定测量范围内动能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确性。
三、实验步骤
1. 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作；
2. 打开
60
C o γ定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准
60
C o 源的出射孔并开始记数
测量；
3. 调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值，使测得的
60
C o 的1.33MeV 峰位道数在一个比
较合理的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的50%～70%之间，这样既可以保证测量高能β粒子(1.8~1.9MeV)时不越出量程范围，又充分利用多道分析器的有效探测范围）；
4. 选择好高压和放大数值后，稳定10～20分钟； 5. 正式开始对NaI(Tl)闪烁探测器进行能量定标，首先测量
60
C o 的γ能谱，等1.33MeV 光电
峰的峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差），对能谱进行数据分析，记录下1.17和1.33MeV 两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 3、CH 4； 6. 移开探测器，关上
器使其狭缝对准
60
C o γ定标源的盖子，然后打开
137
C s
γ定标源的盖子并移动闪烁探测
137
C s
源的出射孔并开始记数测量，等0.661MeV 光电峰的峰顶记数达到
1000后对能谱进行数据分析，记录下0.184MeV 反散射峰和0.661 MeV光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 1、CH 2； 7. 关上
137
C s
γ定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转2～3分钟即可停止工作）；
8. 盖上有机玻璃罩，打开β源的盖子开始测量快速电子的动量和动能，探测器与β源的距
离∆X 最近要小于9cm 、最远要大于24cm ，保证获得动能范围0.4～1.8MeV 的电子； 9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰，记下峰位道数CH 和相应的位置坐标X ； 10. 全部数据测量完毕后关闭β源及仪器电源，进行数据处理和计算。
四、数据处理
1. 真空状态下P 与∆X 的关系的合理表述
由于工艺水平的限制，磁场的非均匀性(尤其是边缘部分) 无法避免，直接用
p =e B R =e B ∆X /2
来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表
述P 与∆X 的关系。
设粒子的真实径迹为aob ，位移ds 与Y 轴的夹角为θ，如上图所示；则ds 在X 轴上的投影为sin θ⋅ds 。显然有：
θ1
π
∆x =
⎰
sin θ⋅ds ≈
⎰sin θ
⋅ds
( θ1≈π)
(5—9)
又因为d s =R ⋅d θ以及R =P /eB ，(其中R 、B 分别为ds 处的曲率半径和磁场强度) ，则有：
π
∆X =
⎰
sin θ⋅
P e B
⋅d θ=
P e
π
⎰
sin θB
⋅d θ
( 真空中P 为定值) (5─10)
所以有：
π
P =e ∆X /
⎰
sin θB
⋅d θ=
12
1
Be ∆X
(B
=
12
π
⎰
s in θB
⋅d θ
) (5─11)
1
把B 改写成：
1B
π
=
⎰
sin θB
⋅d θ/
π
⎰
sin θ⋅d θ
，
则物理含义更为明显：即1/B 为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的位移与Y 轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然，B 相当于均匀磁场下公式
p =e B R =e B ∆X /2
中的磁场强度B ；即只要求出B ，就能更为确切地表述P 与∆X 的关系，
进而准确地确定粒子的动量值。
实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直径为∆X 的半圆弧作N 等分(间距取10毫米左右为宜) ，依此读出第i 段位移所在处的磁场强度B i ，再注意到：
θi =
π
N (i -1)
∆θi =
π
N ，
以及
则最后求和可以得到：
1B ≈12
π
⎰
s in θ'B '
⋅d θ'≈
1π2N
N
∑
i =1
s in [
π
N
(i -1)]/B i =
π
2N
N
∑
i =1
s in [
π
N
(i -1)]/B i
(5─12)
所以：
P =
N e ∆x
N
π
∑
i =1
sin [
π
N
(i -1)]/B i
(5─13)
2. β粒子动能的测量
β粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十分重要。
①β粒子在Al 膜中的能量损失修正
在计算β粒子动能时还需要对粒子穿过Al 膜(220μm ：200μm 为NaI(Tl)晶体的铝膜密封层厚度，20μm 为反射层的铝膜厚度) 时的动能予以修正，计算方法如下。 设β-粒子在Al 膜中穿越∆x 的动能损失为∆E ，则：
∆E =
d E d x ρ
ρ∆x
(5—14)
d E d E
其中d x ρ(d x ρ
d E d x ρ
d E
) 是Al 对β-粒子的能量吸收系数，(ρ是Al 的密度) ，d x ρ是关于E 的函数，不同
d E d x ρ
ρ=K (E )
E 情况下的取值可以通过计算得到。可设-
β粒子穿过整个Al 膜的能量损失为：
x +d
，则∆E=K(E)∆x ；取∆x →0，则
x +d
E 2-E 1=
⎰K (E ) dx
x
E 1=E
2
-
(5─15) ；即
⎰K (E ) dx
x
(5─16)
其中d 为薄膜的厚度，E 2为出射后的动能，E 1为入射前的动能。由于实验探测到的是经Al 膜衰减后的动能，所以经公式(4─9) 可计算出修正后的动能(即入射前的动能) 。下表列出了根据本计算程序求出的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系：
②β粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正
此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对β存在一定的能量吸收，尤其对小于0.4MeV 的β粒子吸收近0.02MeV 。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量，可采用实验的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动能E k 和出射动能E 0(单位均为MeV) 的关系，采用分段插值的方法进行计算。具体数据见下表：
3．数据处理的计算方法和步骤（举例说明）：
设对探测器进行能量定标（操作步骤中的第5、6步）的数据如下：
实验测得当探测器位于25cm 时的单能电子能峰道数为220，求该点所得β粒子的动能、动量及误差，已知β源位置坐标为10cm 、平均磁场强度为642.8高斯(Gs)。 1) 根据能量定标数据求定标曲线
已知；的关系：
E 1=0. 6
3
MeV 6, 1C H
1
=1. 85
8；
E 2=1. 17MeV , C H
2
=283. 2
；
E 3=1. 33MeV , C H
=321. 0；根据最小二乘原理用线性拟合的方法求能量E 和道数CH 之间
E =a +b ⨯CH
可以推导，其中：
a =
1∆
[∑CH
i
2
i
⋅
∑
i
E i -
∑
i
CH i ⋅
∑
i
(CH i ⋅E i ) ]
b =
1∆
[n ∑(CH i ⋅E i ) -
i
2
∑
i
i
CH i ⋅
∑
i
2
E i ]
∆=n ∑C H i
i
-(∑C H i )
代入上述公式计算可得：E =0. 00877+0. 0041⋅CH 2）求β粒子动能
对于X=25cm处的β粒子：
①将其道数220代入求得的定标曲线，得动能E 2=0.9108MeV，注意：此为β粒子穿过总计220μm 厚铝膜后的出射动能，需要进行能量修正；
②在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系数据表中取E 2=0.9108MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 2=0.9108MeV的入射动能E 1=0.9990MeV
③上一步求得的E 1为β粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能E 0，需要再次进行能量修正求出之前的入射动能E k ，同上面一步，取E 0=0.9990MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 0=0.9990MeV的入射动能
E k =1.006MeV；
E k =1.006MeV才是最后求得的β粒子动能。
3）根据β粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量PC （为与动能量纲统一，故把动量P 乘以光速，这样两者单位均为MeV ）的理论值 由
E k =E -E 0=
c p
2
2
+m 0c PC =
2
4
-m 0c
2
得出：
2
2
(E k +m 0c ) -m 0c
2
4
将E k =1.006MeV代入，得PCT=1.428MeV，为动量PC 的理论值。 4）由P =eBR 求PC 的实验值
β源位置坐标为10cm ，所以X=25cm处所得的β粒子的曲率半径为：
R =(25-10) /2=7. 5cm
-19
；电子电量e =1. 60219⨯10C ，磁场强度
8
B =642. 8Gs =0. 06428T ，光速c =2. 99⨯10m /s ；所以：
PC =eBRC
=1. 60219
-19
⨯10
-19
⨯0. 06428⨯0. 075⨯2. 99⨯10
8
J ；
因为1eV =1. 60219⨯10
J
，所以：
⨯0. 075⨯2. 99⨯10eV =1441479
8
PC =BRC (eV ) =0. 06428eV ≈1. 441MeV
5）求该实验点的相对误差DPC
PC -PCT
PCT
1. 441-1. 428
1. 428
DPC ==⨯100%=0. 9%
4．关于非真空条件下的实验方法和数据处理
这一实验也可以在非真空状况下进行，同样可得到较为理想的结果。非真空条件下得到的单能电子峰与真空条件相比其分辨率明显变差，可能出现寻峰困难或不准的情况，建议在寻峰前先利用多道程序软件进行光滑化处理，可以较好地解决这一问题。在数据处理上要对电子在回转路径上因与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正，具体做法是对E k 进行电子在回转路径上与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正以得到最终的能量E k '。
五、实验注意事项
1. 闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错； 2. 装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭β源； 3. 应防止β源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜； 4. 移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜；
附录：空气对β粒子的能量吸收系数（取空气密度ρ=1. 290mg /cm ）
3
验证快速电子的动量与动能的相对论关系
摘 要：本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对
论关系。同时实验者将从中学习到β磁谱仪测量原理、闪烁记数器的使用方法及一些实验数据处理的思想方法。
关键词：电子的动量 电子的动能 相对论效应 β磁谱仪 闪烁记数器
引 言：相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。狭义
相对论和广义相对论的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯性参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观领域。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论颠覆了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“时间和空间的相对性”、“四维时空”、“弯曲空间”等全新的概念。狭义相对论提出于1905年，广义相对论提出于1915年[爱因斯坦在1915年末完成广义相对论的创建工作，在1916年初正式发表相关论文]。
本实验通过对快速电子的动量值及动能的同事测定，验证其动能与动量的关系，同时
了解半圆聚焦β磁谱仪的工作原理。
实验方案：
一、实验内容
1 测量快速电子的动量。 2 测量快速电子的动能。
3 验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。
二、实验原理
经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量(如坐标、速度) 可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利略变换下是不变的。
19世纪末至20世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学时遇到了困难；实验证明对高速运动的物体伽利略变换是不正确的，实验还证明在所有惯性参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”。
洛伦兹变换下，静止质量为m 0，速度为v 的物体，狭义相对论定义的动量p 为：
p =
m 0-β
2
v =m v
(5—1)
式中
m =m 0/-β
2
, β=v /c
。相对论的能量E 为：
E =m c (5—2)
2
这就是著名的质能关系。mc 2是运动物体的总能量，当物体静止时v=0，物体的能量为E 0=m0c 2称为静止能量；两者之差为物体的动能E k ，即
E k =m c
2
-m 0c
2
=m 0c (
2
1-β
2
-1)
(5—3)
当β« 1时，式（5—3）可展开为
E k =m 0c (1+
2
1v 2c
22
+ ) -m 0c
2
≈
12
m 0v
2
=
1p
2
2m 0 (5—4)
即得经典力学中的动量—能量关系。
由式(5—1) 和(5—2) 可得：
E
2
-c p
22
=E 0 (5—5)
2
这就是狭义相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为：
E k =E -E 0=
c p
2
2
+m 0c
2
4
-m 0c
2
(4─6)
这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中pc 用MeV 作单位，电子的m 0c 2=0.511MeV。式(5—4) 可化为：
E k =
1p c 2m 0c
2
22
=
p c
22
2⨯0. 511
以利于计算。
四．实验装置及方法
实验装置主要由以下部分组成：①真空、非真空半圆聚焦β磁谱仪；②β放射源
90
Sr —90Y(强度≈1毫居里) ，定标用γ放射源137Cs 和60Co(强度≈2微居里) ；③200μmAl 窗NaI(Tl)
β源射出的高速β粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中(V ⊥B ) ，粒子因受到与运动方向
闪烁探头；④数据处理计算软件；⑤高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。
垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失(一般情况下为小量) ，则粒子具有恒定的动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为：
d p d t
=-e v ⨯B
(5—7)
e 为电子电荷，v 为粒子速度，B 为磁场强度。由式(5—1) 可知p=mv，对某一确定的动量数值P ，其运动速率为一常数，所以质量m 是不变的，故
d p d t
=m
d v d t
d v
,
且d t
=
v
2
R
所以 p =eBR (5—8)
式中R 为β粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。
在磁场外距β源X 处放置一个β能量探测器来接收从该处出射的β粒子，则这些粒子的能量(即动能) 即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为：
90
90
p =e B R =e B ∆X /2
。由于
β源38Sr -39Y (0～2.27MeV) 射出的β粒子具有连续的能量分布(0～2.27MeV) ，因此探测器在不同位置(不同∆X) 就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。这样就可以用实验方法确定测量范围内动能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确性。
三、实验步骤
1. 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作；
2. 打开
60
C o γ定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准
60
C o 源的出射孔并开始记数
测量；
3. 调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值，使测得的
60
C o 的1.33MeV 峰位道数在一个比
较合理的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的50%～70%之间，这样既可以保证测量高能β粒子(1.8~1.9MeV)时不越出量程范围，又充分利用多道分析器的有效探测范围）；
4. 选择好高压和放大数值后，稳定10～20分钟； 5. 正式开始对NaI(Tl)闪烁探测器进行能量定标，首先测量
60
C o 的γ能谱，等1.33MeV 光电
峰的峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差），对能谱进行数据分析，记录下1.17和1.33MeV 两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 3、CH 4； 6. 移开探测器，关上
器使其狭缝对准
60
C o γ定标源的盖子，然后打开
137
C s
γ定标源的盖子并移动闪烁探测
137
C s
源的出射孔并开始记数测量，等0.661MeV 光电峰的峰顶记数达到
1000后对能谱进行数据分析，记录下0.184MeV 反散射峰和0.661 MeV光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 1、CH 2； 7. 关上
137
C s
γ定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转2～3分钟即可停止工作）；
8. 盖上有机玻璃罩，打开β源的盖子开始测量快速电子的动量和动能，探测器与β源的距
离∆X 最近要小于9cm 、最远要大于24cm ，保证获得动能范围0.4～1.8MeV 的电子； 9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰，记下峰位道数CH 和相应的位置坐标X ； 10. 全部数据测量完毕后关闭β源及仪器电源，进行数据处理和计算。
四、数据处理
1. 真空状态下P 与∆X 的关系的合理表述
由于工艺水平的限制，磁场的非均匀性(尤其是边缘部分) 无法避免，直接用
p =e B R =e B ∆X /2
来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表
述P 与∆X 的关系。
设粒子的真实径迹为aob ，位移ds 与Y 轴的夹角为θ，如上图所示；则ds 在X 轴上的投影为sin θ⋅ds 。显然有：
θ1
π
∆x =
⎰
sin θ⋅ds ≈
⎰sin θ
⋅ds
( θ1≈π)
(5—9)
又因为d s =R ⋅d θ以及R =P /eB ，(其中R 、B 分别为ds 处的曲率半径和磁场强度) ，则有：
π
∆X =
⎰
sin θ⋅
P e B
⋅d θ=
P e
π
⎰
sin θB
⋅d θ
( 真空中P 为定值) (5─10)
所以有：
π
P =e ∆X /
⎰
sin θB
⋅d θ=
12
1
Be ∆X
(B
=
12
π
⎰
s in θB
⋅d θ
) (5─11)
1
把B 改写成：
1B
π
=
⎰
sin θB
⋅d θ/
π
⎰
sin θ⋅d θ
，
则物理含义更为明显：即1/B 为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的位移与Y 轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然，B 相当于均匀磁场下公式
p =e B R =e B ∆X /2
中的磁场强度B ；即只要求出B ，就能更为确切地表述P 与∆X 的关系，
进而准确地确定粒子的动量值。
实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直径为∆X 的半圆弧作N 等分(间距取10毫米左右为宜) ，依此读出第i 段位移所在处的磁场强度B i ，再注意到：
θi =
π
N (i -1)
∆θi =
π
N ，
以及
则最后求和可以得到：
1B ≈12
π
⎰
s in θ'B '
⋅d θ'≈
1π2N
N
∑
i =1
s in [
π
N
(i -1)]/B i =
π
2N
N
∑
i =1
s in [
π
N
(i -1)]/B i
(5─12)
所以：
P =
N e ∆x
N
π
∑
i =1
sin [
π
N
(i -1)]/B i
(5─13)
2. β粒子动能的测量
β粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十分重要。
①β粒子在Al 膜中的能量损失修正
在计算β粒子动能时还需要对粒子穿过Al 膜(220μm ：200μm 为NaI(Tl)晶体的铝膜密封层厚度，20μm 为反射层的铝膜厚度) 时的动能予以修正，计算方法如下。 设β-粒子在Al 膜中穿越∆x 的动能损失为∆E ，则：
∆E =
d E d x ρ
ρ∆x
(5—14)
d E d E
其中d x ρ(d x ρ
d E d x ρ
d E
) 是Al 对β-粒子的能量吸收系数，(ρ是Al 的密度) ，d x ρ是关于E 的函数，不同
d E d x ρ
ρ=K (E )
E 情况下的取值可以通过计算得到。可设-
β粒子穿过整个Al 膜的能量损失为：
x +d
，则∆E=K(E)∆x ；取∆x →0，则
x +d
E 2-E 1=
⎰K (E ) dx
x
E 1=E
2
-
(5─15) ；即
⎰K (E ) dx
x
(5─16)
其中d 为薄膜的厚度，E 2为出射后的动能，E 1为入射前的动能。由于实验探测到的是经Al 膜衰减后的动能，所以经公式(4─9) 可计算出修正后的动能(即入射前的动能) 。下表列出了根据本计算程序求出的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系：
②β粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正
此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对β存在一定的能量吸收，尤其对小于0.4MeV 的β粒子吸收近0.02MeV 。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量，可采用实验的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动能E k 和出射动能E 0(单位均为MeV) 的关系，采用分段插值的方法进行计算。具体数据见下表：
3．数据处理的计算方法和步骤（举例说明）：
设对探测器进行能量定标（操作步骤中的第5、6步）的数据如下：
实验测得当探测器位于25cm 时的单能电子能峰道数为220，求该点所得β粒子的动能、动量及误差，已知β源位置坐标为10cm 、平均磁场强度为642.8高斯(Gs)。 1) 根据能量定标数据求定标曲线
已知；的关系：
E 1=0. 6
3
MeV 6, 1C H
1
=1. 85
8；
E 2=1. 17MeV , C H
2
=283. 2
；
E 3=1. 33MeV , C H
=321. 0；根据最小二乘原理用线性拟合的方法求能量E 和道数CH 之间
E =a +b ⨯CH
可以推导，其中：
a =
1∆
[∑CH
i
2
i
⋅
∑
i
E i -
∑
i
CH i ⋅
∑
i
(CH i ⋅E i ) ]
b =
1∆
[n ∑(CH i ⋅E i ) -
i
2
∑
i
i
CH i ⋅
∑
i
2
E i ]
∆=n ∑C H i
i
-(∑C H i )
代入上述公式计算可得：E =0. 00877+0. 0041⋅CH 2）求β粒子动能
对于X=25cm处的β粒子：
①将其道数220代入求得的定标曲线，得动能E 2=0.9108MeV，注意：此为β粒子穿过总计220μm 厚铝膜后的出射动能，需要进行能量修正；
②在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系数据表中取E 2=0.9108MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 2=0.9108MeV的入射动能E 1=0.9990MeV
③上一步求得的E 1为β粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能E 0，需要再次进行能量修正求出之前的入射动能E k ，同上面一步，取E 0=0.9990MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 0=0.9990MeV的入射动能
E k =1.006MeV；
E k =1.006MeV才是最后求得的β粒子动能。
3）根据β粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量PC （为与动能量纲统一，故把动量P 乘以光速，这样两者单位均为MeV ）的理论值 由
E k =E -E 0=
c p
2
2
+m 0c PC =
2
4
-m 0c
2
得出：
2
2
(E k +m 0c ) -m 0c
2
4
将E k =1.006MeV代入，得PCT=1.428MeV，为动量PC 的理论值。 4）由P =eBR 求PC 的实验值
β源位置坐标为10cm ，所以X=25cm处所得的β粒子的曲率半径为：
R =(25-10) /2=7. 5cm
-19
；电子电量e =1. 60219⨯10C ，磁场强度
8
B =642. 8Gs =0. 06428T ，光速c =2. 99⨯10m /s ；所以：
PC =eBRC
=1. 60219
-19
⨯10
-19
⨯0. 06428⨯0. 075⨯2. 99⨯10
8
J ；
因为1eV =1. 60219⨯10
J
，所以：
⨯0. 075⨯2. 99⨯10eV =1441479
8
PC =BRC (eV ) =0. 06428eV ≈1. 441MeV
5）求该实验点的相对误差DPC
PC -PCT
PCT
1. 441-1. 428
1. 428
DPC ==⨯100%=0. 9%
4．关于非真空条件下的实验方法和数据处理
这一实验也可以在非真空状况下进行，同样可得到较为理想的结果。非真空条件下得到的单能电子峰与真空条件相比其分辨率明显变差，可能出现寻峰困难或不准的情况，建议在寻峰前先利用多道程序软件进行光滑化处理，可以较好地解决这一问题。在数据处理上要对电子在回转路径上因与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正，具体做法是对E k 进行电子在回转路径上与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正以得到最终的能量E k '。
五、实验注意事项
1. 闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错； 2. 装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭β源； 3. 应防止β源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜； 4. 移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜；
附录：空气对β粒子的能量吸收系数（取空气密度ρ=1. 290mg /cm ）
3