高考有关导数问题解题方法总结
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
2
2．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3
3．函数y =1+3x -x 有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
3
(-1, -3)处的切线方程是 y =x -2 y =4x -x 1．曲线在点
4
2．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
4
y =x 3．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
4．求下列直线的方程：
322
（1）曲线y =x +x +1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y =x 过点P(3,5)的切线；
32
∴y /=3x 2+2x ∴k =y /|x =－1=3－2=1
解：（1） 点P (-1, 1) 在曲线y =x +x +1上，
即x -y +2=0 所以切线方程为y -1=x +1 ，
2/ （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A (x 0, y 0) ，则y 0=x 0①又函数的导数为y =2x ，
所以过
2x 0=
A (x 0, y 0)
点的切线的斜率为
k =y /|x =x 0=2x 0
，又切线过A (x 0, y 0) 、P(3,5)点，所以有
y -5
x 0-3
⎧x 0=1⎧x 0=5⎨y =1 或 ⎨y =25
⎩0
②，由①②联立方程组得，⎩0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k 1=2x 0=2;
；当切点为（5，25）时，切线斜率为k 2=2x 0=10；所以所求的切线有两条，方程分
即y =2x -1 或y =10x -25 别为y -1=2(x -1) 或y -25=10(x -5) ，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
'f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f (x ) =3x +2ax +b . 解：（1）由
过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为：
y -f (1) =f '(1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3
⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
'∵y =f (x ) 在x =-2时有极值, 故f (-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③
32
f (x ) =x +2x -4x +5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
2
（2）f '(x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2).
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''依题意f (x ) 在[－2，1]上恒有f (x ) ≥0，即3x -bx +b ≥0.
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66； b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
x =
②当
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞)
32
2．已知三次函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4．
(1) 求函数y =f (x ) 的表达式； (2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件．
'(x ) =3x 2+2ax +b f 解：(1) ，
2
由题意得，1, -1是3x +2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．
3
f (-2) =-4f (x ) =x -3x -2． c =-2再由可得．∴
'(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) f (2) ，
''
当x 0；当x =-1时，f (x ) =0； ''
当-1
'
当x >1时，f (x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数． 在区间[-1, １
函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4．
(3) 函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． 而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．
于是，函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]． 令f (x ) =0得x =-1或x =2．由f (x ) 的单调性知，-1剟n -4综上所述，m 、n 应满足的条件是：m =4，且3剟n
3．设函数f (x ) =x (x -a )(x -b ) ．
（1）若f (x ) 的图象与直线5x -y -8=0相切，切点横坐标为２，且f (x ) 在x =1处取极值，求实数a , b 的值；
6．
2，即3剟n
6．
（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点．
'解：（1）f (x ) =3x -2(a +b ) x +ab .
''由题意f (2)=5, f (1)=0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2
'令f (x ) =0得方程3x -2(a +1) x +a =0. （2）当b=1时，
2
2
∆=4(a -a +1) >0, 故方程有两个不同实根x 1, x 2． 因
' '
x
' ' ' x x 时，f (x ) f (x ) f (x ) ＞０ 1122当＞０；当＜０；当
因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f 1．如右图：是f （x ）的导函数， (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
32
3．方程2x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1
f (x ) =-x 3+2ax 2-3a 2x +b , 0
31．设函数
（1）求函数f (x ) 的单调区间、极值.
'（2）若当x ∈[a +1, a +2]时，恒有|f (x ) |≤a ，试确定a 的取值范围.
22
x =a , x 2=3a ''f (x ) =-x +4ax -3a 解：（1）=-(x -3a )(x -a ) ，令f (x ) =0得1
列表如下：
x （-∞，a ） a
（a ，3a ） 3a +
0 极大
（3a ，+∞） -
f '(x ) f (x )
- 0 极小
∴f (x ) 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减
4
f 极小(x ) =b -a 3
3，x =3a 时，f 极小(x ) =b x =a 时，
22
'f (x ) =-x +4ax -3a （2）∵0
'∴f (x ) 在[a+1，a+2]上单调递减
'=-(a +1) 2+4a (a +1) -3a 2=2a -1f min '=-(a +2) 2+4a (a +2) -3a 2=4a -4f Max ∴，
'|≤a |f '|≤a ，|f min '依题|f (x ) |≤a ⇔Max 即|2a -1|≤a ,|4a -4|≤a
44≤a ≤1[,1) 解得5，又0
2
2．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函
数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
由f '（
21241
－a ＋b ＝0－
3）＝93，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝2，b ＝－2
f '（x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：
22
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3）与（1，＋∞），递减区间是（－3，1） 1222（2）f （x ）＝x3－2x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－3时，f （x ）＝27＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2
题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2, 2).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.
y x ⋅y 解：(1)∵x ⊥，∴=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +tb )=0.
2 2
整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·b =0
1
2 2
∵a ⋅b =0，a =4，b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11
(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33
于是f ′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).
1
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
1
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2 1
函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11
(1)当k ＞2或k ＜－2时, 方程f(t)－k=0有且只有一解； 11
(2)当k=2或k=－2时, 方程f(t)－k=0有两解； 11
(3) 当－2＜k ＜2时, 方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3
a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 1．设
（1）求实数a 的取值范围； （2）设
x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0)) =x 0，求证：f (x 0) =x 0.
22
'''f (x ) )[1, +∞y =f (x ) =3x -a , y 3x , 这解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
样的实数a 不存在. 故f (x ) 在[1, +∞)上不可能是单调递减函数.
2
若f (x ) 在[1, +∞)上是单调递增函数，则a ≤3x ，
2
)[x ∈1, +∞, 故3x ≥3. 从而0
x
（2）方法1、可知f (x ) 在[1, +∞)上只能为单调增函数. 若1≤0
f (x 0)
只有
f (x 0) =x 0成立.
33
f (x ) =u , 则f (u ) =x ∴x -ax =u , u -au =x 0, 两式相减得0000方法2：设，32
(x 0-u 3) -a (x 0-u ) =u -x 0 ∴(x 0-u )(x 0+x 0u +u 2+1-a ) =0, x 0≥1,u ≥1， 22∴x 0+x 0u +u 2≥3, 又00
3
f (x ) =(x 2+)(x +a )
22．已知a 为实数，函数
（1）若函数f (x ) 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若f '(-1) =0，（Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x 1、x 2∈(-1,0) ，不等式
|f (x 1) -f (x 2) |
5
16恒成立
f (x ) =x 3+ax 2+
解：
333x +a ∴f '(x ) =3x 2+2ax +22，2
函数f (x ) 的图象有与x 轴平行的切线，∴f '(x ) =0有实数解
∴∆=4a 2-4⨯3⨯
39≥0a 2≥（-∞，- +∞）22，所以a
的取值范围是，
39931
=0a =∴f '(x ) =3x 2+x +=3(x +)(x +1) 24，222， 11
f '(x )
f '(-1) =0，
∴3-2a +
由f '(x ) >0, x
x >-
11(-∞, -1),(-, +∞) (-1, -)
∴f (x ) 的单调递增区间是22 ；单调减区间为
f (-1) =
2514927
f (-) =f (0)=
8，f (x ) 的极小值为216，又8 2749
m =
8，最小值16
27495
-=81616
易知f (x ) 的最大值为
∴f (x ) 在[-1，0]上的最大值
M =
∴对任意x 1, x 2∈(-1,0) ，恒有
|f (x 1) -f (x 2) |
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心o 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为x m ，则1
由题设可得正六棱锥底面边长为：
2-(x -1) 2=8+2x -x 2
，（单位：m ）
6⋅
故底面正六边形的面积为：
3⋅(⋅(8+2x -x 2) 222
+2x -x ) =24，（单位：m ）
帐篷的体积为：
V （x ）=
133
(16+12x -x 3) (8+2x -x 2) [(x -1) +1]=3
322（单位：m ）
V' （x ）=
求导得
3
(12-3x 2) 2。
（x ）=0，解得x =-2（不合题意，舍去）令V' ，x =2， （x ）>0，V （x ）当1
∴当x =2时，V （x ）最大。
3
答：当OO1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16m 。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y （升）关于行驶速度x （千米/
y =
小时）的函数解析式可以表示为：
13
x 3-x +8(0
12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100
=2.5
x =40解：（I ）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(⨯403-⨯40+8) ⨯2.5=17.5
80要耗没128000（升）。
100
（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x 小时，设耗油量为h (x ) 升， [1**********]5
h (x ) =(x 3-x +8). =x +-(0
12800080x 1280x 4依题意得
x 800x 3-803
h '(x ) =-2=(0
640x 640x
令h '(x ) =0, 得x =80.
当x ∈(0,80)时，h '(x ) 0, h (x ) 是增函数。
∴当x =80时，h (x ) 取到极小值h (80)=11.25.
因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
1 1a =-), b =(22若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使1
．设平面向量
=+(t 2-k ) , =-s +t ⊥
（1）求函数关系式S =f (t ) ；
，+∞)上是单调函数，求k 的取值范围。 （2）若函数S =f (t ) 在[1
=(
解：（1）
3113 , -), =(, ). a =b =1，a ∙b =02222
又x ⊥y , x ∙y =0，得 2⎡a +b ⎤=0，⎣（t -k ）（⎦-sa +tb ）
2 2 22
即-sa +（t t -k ）b -（t -st +sk ）a ⋅b =0。∴-s +（t 2-k ）t =0，故s =（f t ）=t 3-kt 。
（2）
f '（t ）=3t 2-k 且f （t ）在[1，+∞)上是单调函数，
''≤0 则在[1, +∞)上有f (t ) ≥0或f （t ）
222
'f (t ) ≥0⇒3t -k ≥0⇒k ≤3t ⇒k ≤(3t ) min ⇒k ≤3； 由
22'f (t ) ≤0⇒3t -k ≤0⇒k ≥3t 由。
因为在t ∈[1, +∞)上3t 是增函数，所以不存在k ，使k ≥3t 在[1, +∞)上恒成立。故k 的取值范
2
2
围是k ≤3。
高考有关导数问题解题方法总结
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
2
2．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3
3．函数y =1+3x -x 有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
3
(-1, -3)处的切线方程是 y =x -2 y =4x -x 1．曲线在点
4
2．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
4
y =x 3．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
4．求下列直线的方程：
322
（1）曲线y =x +x +1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y =x 过点P(3,5)的切线；
32
∴y /=3x 2+2x ∴k =y /|x =－1=3－2=1
解：（1） 点P (-1, 1) 在曲线y =x +x +1上，
即x -y +2=0 所以切线方程为y -1=x +1 ，
2/ （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A (x 0, y 0) ，则y 0=x 0①又函数的导数为y =2x ，
所以过
2x 0=
A (x 0, y 0)
点的切线的斜率为
k =y /|x =x 0=2x 0
，又切线过A (x 0, y 0) 、P(3,5)点，所以有
y -5
x 0-3
⎧x 0=1⎧x 0=5⎨y =1 或 ⎨y =25
⎩0
②，由①②联立方程组得，⎩0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k 1=2x 0=2;
；当切点为（5，25）时，切线斜率为k 2=2x 0=10；所以所求的切线有两条，方程分
即y =2x -1 或y =10x -25 别为y -1=2(x -1) 或y -25=10(x -5) ，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
'f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f (x ) =3x +2ax +b . 解：（1）由
过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为：
y -f (1) =f '(1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3
⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
'∵y =f (x ) 在x =-2时有极值, 故f (-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③
32
f (x ) =x +2x -4x +5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
2
（2）f '(x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2).
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''依题意f (x ) 在[－2，1]上恒有f (x ) ≥0，即3x -bx +b ≥0.
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66； b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
x =
②当
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞)
32
2．已知三次函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4．
(1) 求函数y =f (x ) 的表达式； (2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件．
'(x ) =3x 2+2ax +b f 解：(1) ，
2
由题意得，1, -1是3x +2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．
3
f (-2) =-4f (x ) =x -3x -2． c =-2再由可得．∴
'(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) f (2) ，
''
当x 0；当x =-1时，f (x ) =0； ''
当-1
'
当x >1时，f (x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数． 在区间[-1, １
函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4．
(3) 函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． 而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．
于是，函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]． 令f (x ) =0得x =-1或x =2．由f (x ) 的单调性知，-1剟n -4综上所述，m 、n 应满足的条件是：m =4，且3剟n
3．设函数f (x ) =x (x -a )(x -b ) ．
（1）若f (x ) 的图象与直线5x -y -8=0相切，切点横坐标为２，且f (x ) 在x =1处取极值，求实数a , b 的值；
6．
2，即3剟n
6．
（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点．
'解：（1）f (x ) =3x -2(a +b ) x +ab .
''由题意f (2)=5, f (1)=0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2
'令f (x ) =0得方程3x -2(a +1) x +a =0. （2）当b=1时，
2
2
∆=4(a -a +1) >0, 故方程有两个不同实根x 1, x 2． 因
' '
x
' ' ' x x 时，f (x ) f (x ) f (x ) ＞０ 1122当＞０；当＜０；当
因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f 1．如右图：是f （x ）的导函数， (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
32
3．方程2x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1
f (x ) =-x 3+2ax 2-3a 2x +b , 0
31．设函数
（1）求函数f (x ) 的单调区间、极值.
'（2）若当x ∈[a +1, a +2]时，恒有|f (x ) |≤a ，试确定a 的取值范围.
22
x =a , x 2=3a ''f (x ) =-x +4ax -3a 解：（1）=-(x -3a )(x -a ) ，令f (x ) =0得1
列表如下：
x （-∞，a ） a
（a ，3a ） 3a +
0 极大
（3a ，+∞） -
f '(x ) f (x )
- 0 极小
∴f (x ) 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减
4
f 极小(x ) =b -a 3
3，x =3a 时，f 极小(x ) =b x =a 时，
22
'f (x ) =-x +4ax -3a （2）∵0
'∴f (x ) 在[a+1，a+2]上单调递减
'=-(a +1) 2+4a (a +1) -3a 2=2a -1f min '=-(a +2) 2+4a (a +2) -3a 2=4a -4f Max ∴，
'|≤a |f '|≤a ，|f min '依题|f (x ) |≤a ⇔Max 即|2a -1|≤a ,|4a -4|≤a
44≤a ≤1[,1) 解得5，又0
2
2．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函
数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
由f '（
21241
－a ＋b ＝0－
3）＝93，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝2，b ＝－2
f '（x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：
22
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3）与（1，＋∞），递减区间是（－3，1） 1222（2）f （x ）＝x3－2x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－3时，f （x ）＝27＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2
题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2, 2).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.
y x ⋅y 解：(1)∵x ⊥，∴=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +tb )=0.
2 2
整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·b =0
1
2 2
∵a ⋅b =0，a =4，b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11
(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33
于是f ′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).
1
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
1
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2 1
函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11
(1)当k ＞2或k ＜－2时, 方程f(t)－k=0有且只有一解； 11
(2)当k=2或k=－2时, 方程f(t)－k=0有两解； 11
(3) 当－2＜k ＜2时, 方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3
a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 1．设
（1）求实数a 的取值范围； （2）设
x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0)) =x 0，求证：f (x 0) =x 0.
22
'''f (x ) )[1, +∞y =f (x ) =3x -a , y 3x , 这解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
样的实数a 不存在. 故f (x ) 在[1, +∞)上不可能是单调递减函数.
2
若f (x ) 在[1, +∞)上是单调递增函数，则a ≤3x ，
2
)[x ∈1, +∞, 故3x ≥3. 从而0
x
（2）方法1、可知f (x ) 在[1, +∞)上只能为单调增函数. 若1≤0
f (x 0)
只有
f (x 0) =x 0成立.
33
f (x ) =u , 则f (u ) =x ∴x -ax =u , u -au =x 0, 两式相减得0000方法2：设，32
(x 0-u 3) -a (x 0-u ) =u -x 0 ∴(x 0-u )(x 0+x 0u +u 2+1-a ) =0, x 0≥1,u ≥1， 22∴x 0+x 0u +u 2≥3, 又00
3
f (x ) =(x 2+)(x +a )
22．已知a 为实数，函数
（1）若函数f (x ) 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若f '(-1) =0，（Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x 1、x 2∈(-1,0) ，不等式
|f (x 1) -f (x 2) |
5
16恒成立
f (x ) =x 3+ax 2+
解：
333x +a ∴f '(x ) =3x 2+2ax +22，2
函数f (x ) 的图象有与x 轴平行的切线，∴f '(x ) =0有实数解
∴∆=4a 2-4⨯3⨯
39≥0a 2≥（-∞，- +∞）22，所以a
的取值范围是，
39931
=0a =∴f '(x ) =3x 2+x +=3(x +)(x +1) 24，222， 11
f '(x )
f '(-1) =0，
∴3-2a +
由f '(x ) >0, x
x >-
11(-∞, -1),(-, +∞) (-1, -)
∴f (x ) 的单调递增区间是22 ；单调减区间为
f (-1) =
2514927
f (-) =f (0)=
8，f (x ) 的极小值为216，又8 2749
m =
8，最小值16
27495
-=81616
易知f (x ) 的最大值为
∴f (x ) 在[-1，0]上的最大值
M =
∴对任意x 1, x 2∈(-1,0) ，恒有
|f (x 1) -f (x 2) |
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心o 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为x m ，则1
由题设可得正六棱锥底面边长为：
2-(x -1) 2=8+2x -x 2
，（单位：m ）
6⋅
故底面正六边形的面积为：
3⋅(⋅(8+2x -x 2) 222
+2x -x ) =24，（单位：m ）
帐篷的体积为：
V （x ）=
133
(16+12x -x 3) (8+2x -x 2) [(x -1) +1]=3
322（单位：m ）
V' （x ）=
求导得
3
(12-3x 2) 2。
（x ）=0，解得x =-2（不合题意，舍去）令V' ，x =2， （x ）>0，V （x ）当1
∴当x =2时，V （x ）最大。
3
答：当OO1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16m 。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y （升）关于行驶速度x （千米/
y =
小时）的函数解析式可以表示为：
13
x 3-x +8(0
12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100
=2.5
x =40解：（I ）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(⨯403-⨯40+8) ⨯2.5=17.5
80要耗没128000（升）。
100
（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x 小时，设耗油量为h (x ) 升， [1**********]5
h (x ) =(x 3-x +8). =x +-(0
12800080x 1280x 4依题意得
x 800x 3-803
h '(x ) =-2=(0
640x 640x
令h '(x ) =0, 得x =80.
当x ∈(0,80)时，h '(x ) 0, h (x ) 是增函数。
∴当x =80时，h (x ) 取到极小值h (80)=11.25.
因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
1 1a =-), b =(22若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使1
．设平面向量
=+(t 2-k ) , =-s +t ⊥
（1）求函数关系式S =f (t ) ；
，+∞)上是单调函数，求k 的取值范围。 （2）若函数S =f (t ) 在[1
=(
解：（1）
3113 , -), =(, ). a =b =1，a ∙b =02222
又x ⊥y , x ∙y =0，得 2⎡a +b ⎤=0，⎣（t -k ）（⎦-sa +tb ）
2 2 22
即-sa +（t t -k ）b -（t -st +sk ）a ⋅b =0。∴-s +（t 2-k ）t =0，故s =（f t ）=t 3-kt 。
（2）
f '（t ）=3t 2-k 且f （t ）在[1，+∞)上是单调函数，
''≤0 则在[1, +∞)上有f (t ) ≥0或f （t ）
222
'f (t ) ≥0⇒3t -k ≥0⇒k ≤3t ⇒k ≤(3t ) min ⇒k ≤3； 由
22'f (t ) ≤0⇒3t -k ≤0⇒k ≥3t 由。
因为在t ∈[1, +∞)上3t 是增函数，所以不存在k ，使k ≥3t 在[1, +∞)上恒成立。故k 的取值范
2
2
围是k ≤3。