圆周运动中的临界问题和周期性问题

圆周运动中的临界问题和周期性问题

一、圆周运动问题的解题步骤：

1、确定研究对象

2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源

v22

5、由牛顿第二定律Fnmanmm2rm()2r……列方程求解

rT

二、临界问题常见类型：

1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有

绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动

三、竖直面内的圆周运动的临界问题

1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力

① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv2/R→v临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力

②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为l=60cm，求：（g取10m/s2）

A、最高点水不留出的最小速度？

B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？ 答案：（1）m/s （2）2.5N

变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？

2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：

汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

vgr时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，

因为桥面不能对汽车产生拉力．

例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，

如图所示。今给小物体一个水平初速度A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题

物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．

（一）轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．

(1)能过最高点的临界条件是：v0．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力Nmg．

(2)

当0v

v0 ）

0Nmg，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，

(3)

当v(4)

当v

N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，

例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。

解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：

vA2m

L mg=

解得

:

vA

(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有

vB2

T-mg=mL

其中T=6mg

解得小球在B点的速度大小为

细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:

12gt

竖直方向上1.9L-L=2

(2分) (2分) (2分)

水平方向上x=vBt 解得:x=3L 即小球落地点到C点的距离为3L。 答案

(2)3L

㈡管道模型

质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：

(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为v

Rg．

v2

(2)当vRg时，对下管壁有压力，此时Nmgm，故0Nmg。

R

v2

(3)当vRg时，对上管壁有压力，此时Nmmg。

R

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．

例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是 。 解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：

2v0v12

同理m2在最高点有： N2mgm2 N1mgm1RR

m2球由最高点到最低点机械能守恒： 2m2gR

112

m2v12m2v0

22

N1N2

由上述方程可得：v0

(5m2m1)gR

m2m1

【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析

2、找到其中可以变化的力以及它的临界值

3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值

4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值

例5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？

2

mgmr 解：由



得：

g

r

点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值

变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？ 解：

例6、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？

解：当ω渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。

C

FNm2r

FNmg

得



g

r

当AC绳与杆夹角为30°时，BC绳处在虚直状态。之后ω再增大， BC绳上也会有拉力。所以BC绳虚直为临界状态。

0

2

mgtan30

m0Lsin30





2.4rad/s

∴

0，BC绳上有拉力。

分析小球，由牛顿第二定律：

TACcos30TBCcos45mg2

TACsin30TBCsin45mLsin30

BCmgTAC

AC2



1T1m2LTACBCBC

222

1

N10N20

C

变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光滑水平面上。



（1）当小球以

g

L 做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？ 4g

L 做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？



（2）当小球以

答案：（1）T=mg (2)T=4mg

FN

1

mg2

FN0

变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 ⑴当v⑵当v1

时，求绳对物体的拉力； 6

时，求绳对物体的拉力。 2

解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。

v2TsinNcosm

Lsin

TcosNsinmg

(1)(2)

T

由（2）得：

mgNsincos

v2

mgtanN(tansincos)m

Lsin 代入（1）得：

由此可得，当v增大时，N减少。∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。

显然当球与锥面虚接触（即N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛

2

Tv0

2m2Lmg顿第二定律：

2

(3)(4)



T

v03

⑴当

v1

v12TsinNcosm

Lsinv0

TcosNsinmg，所以N>0。

(1)(2)

N

由（2）得：

mgTcos

sin

v12

T(sincotcos)mgcot

m

Lsin 代入（1）得：

v

mgcotTsincotcos

m

20

m

gL

6L

1.03mg

⑵当

v2

v0，此时N=0，但夹角变大，不为30°

(5)(6)

v2

Tsinm

Lsin

Tcosmg

sinv2mg

mgmT

cosLsin cos由（6）得：（7），代入（5）得：

3gL

sinv1.5cosgLgL60代入（7）得：

2

2

T2mg

例7、如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）

55

3rad/srad/s

3（ω的范围是：3

即 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s）

变式7：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：

（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动？

（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。



答案：（1）

2

30rad/s3

（2）2rad/s

例8、 如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA0.2m，

rB0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取g10m/s2。

变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：

（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件？

（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？ （3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？

2

30rad/s

答案：（1）3 （2）4rad/s

（3）A继续做圆周运动，B做离心运动 五、圆周运动的周期性问题：

利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。

在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。 例9：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。

【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。

1解：①小球做平抛运动，在竖直方向上：h＝2gt2 2hg

则运动时间t＝

gR

又因为水平位移为R， 所以球的速度 v＝t＝R·2h

②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt

n2

则转盘角速度：ω＝t＝2nπ

g

2h(n＝1，2，3„

)

【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。

变式9-1：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。

解：设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得

2h1

2gt2=h 求得t=g

Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有

2hT2π2π

g

t=(4n+1)4(n=0，1，2，3„„) 两式联立再由T=得 (4n+1)=

π

所以ω=2(4n+1)

g

2h (n=0，1，2，3„„)

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性

六、圆周运动中的临界问题练习：

1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求： ⑴当转盘角速度ω1⑵当转盘角速度ω2μg

时，细绳的拉力T1。 2r

3μg

时，细绳的拉力T2。 2r

1

mg

答案：（1）0 （2）2

2、

（ABD）

3、

( BD )

11

4、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）

Mm

gmRA． Mm

gmRC．

Mm

gmRB．

5、在光滑的水平面上钉有两个钉子A和B.相距20cm.用一根长度为1m的细绳.一端系一个质量为0.4kg的小球.另一端栓在钉子A上.使小球开始位于A的左边.并以2m/s的速率在水平面上绕A做匀速圆周运动.若绳子承受4N的拉力就会断.那么从开始运动到绳被拉断.小球转的半圆周数（ B ）

A.2 B.3 C.4 D.5

6.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8N. A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，

且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在坐标系中作出

MgD．mR

F2图象. g取10m/s2.

解：

1



2rad/sT0

[0,2]

24rad/s

12

2

m2r

2mg

T2m2r12mg0.522

[2,4]

T

2m12r22mg2420.25

26N

6rad/s 3

22

Tmrmg0.2511

[4,6]

小结：多物体、拉力、静摩擦力变化。抓住各物体达到最大静摩擦力，拉力达到最大值。 注意各个临界值达到的顺序，和物体飞出对拉力的影响。

13

圆周运动中的临界问题和周期性问题

一、圆周运动问题的解题步骤：

1、确定研究对象

2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源

v22

5、由牛顿第二定律Fnmanmm2rm()2r……列方程求解

rT

二、临界问题常见类型：

1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有

绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动

三、竖直面内的圆周运动的临界问题

1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力

① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv2/R→v临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力

②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为l=60cm，求：（g取10m/s2）

A、最高点水不留出的最小速度？

B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？ 答案：（1）m/s （2）2.5N

变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？

2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：

汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

vgr时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，

因为桥面不能对汽车产生拉力．

例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，

如图所示。今给小物体一个水平初速度A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题

物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．

（一）轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．

(1)能过最高点的临界条件是：v0．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力Nmg．

(2)

当0v

v0 ）

0Nmg，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，

(3)

当v(4)

当v

N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，

例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。

解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：

vA2m

L mg=

解得

:

vA

(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有

vB2

T-mg=mL

其中T=6mg

解得小球在B点的速度大小为

细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:

12gt

竖直方向上1.9L-L=2

(2分) (2分) (2分)

水平方向上x=vBt 解得:x=3L 即小球落地点到C点的距离为3L。 答案

(2)3L

㈡管道模型

质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：

(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为v

Rg．

v2

(2)当vRg时，对下管壁有压力，此时Nmgm，故0Nmg。

R

v2

(3)当vRg时，对上管壁有压力，此时Nmmg。

R

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．

例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是 。 解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：

2v0v12

同理m2在最高点有： N2mgm2 N1mgm1RR

m2球由最高点到最低点机械能守恒： 2m2gR

112

m2v12m2v0

22

N1N2

由上述方程可得：v0

(5m2m1)gR

m2m1

【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析

2、找到其中可以变化的力以及它的临界值

3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值

4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值

例5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？

2

mgmr 解：由



得：

g

r

点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值

变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？ 解：

例6、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？

解：当ω渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。

C

FNm2r

FNmg

得



g

r

当AC绳与杆夹角为30°时，BC绳处在虚直状态。之后ω再增大， BC绳上也会有拉力。所以BC绳虚直为临界状态。

0

2

mgtan30

m0Lsin30





2.4rad/s

∴

0，BC绳上有拉力。

分析小球，由牛顿第二定律：

TACcos30TBCcos45mg2

TACsin30TBCsin45mLsin30

BCmgTAC

AC2



1T1m2LTACBCBC

222

1

N10N20

C

变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光滑水平面上。



（1）当小球以

g

L 做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？ 4g

L 做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？



（2）当小球以

答案：（1）T=mg (2)T=4mg

FN

1

mg2

FN0

变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 ⑴当v⑵当v1

时，求绳对物体的拉力； 6

时，求绳对物体的拉力。 2

解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。

v2TsinNcosm

Lsin

TcosNsinmg

(1)(2)

T

由（2）得：

mgNsincos

v2

mgtanN(tansincos)m

Lsin 代入（1）得：

由此可得，当v增大时，N减少。∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。

显然当球与锥面虚接触（即N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛

2

Tv0

2m2Lmg顿第二定律：

2

(3)(4)



T

v03

⑴当

v1

v12TsinNcosm

Lsinv0

TcosNsinmg，所以N>0。

(1)(2)

N

由（2）得：

mgTcos

sin

v12

T(sincotcos)mgcot

m

Lsin 代入（1）得：

v

mgcotTsincotcos

m

20

m

gL

6L

1.03mg

⑵当

v2

v0，此时N=0，但夹角变大，不为30°

(5)(6)

v2

Tsinm

Lsin

Tcosmg

sinv2mg

mgmT

cosLsin cos由（6）得：（7），代入（5）得：

3gL

sinv1.5cosgLgL60代入（7）得：

2

2

T2mg

例7、如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）

55

3rad/srad/s

3（ω的范围是：3

即 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s）

变式7：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：

（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动？

（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。



答案：（1）

2

30rad/s3

（2）2rad/s

例8、 如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA0.2m，

rB0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取g10m/s2。

变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：

（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件？

（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？ （3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？

2

30rad/s

答案：（1）3 （2）4rad/s

（3）A继续做圆周运动，B做离心运动 五、圆周运动的周期性问题：

利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。

在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。 例9：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。

【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。

1解：①小球做平抛运动，在竖直方向上：h＝2gt2 2hg

则运动时间t＝

gR

又因为水平位移为R， 所以球的速度 v＝t＝R·2h

②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt

n2

则转盘角速度：ω＝t＝2nπ

g

2h(n＝1，2，3„

)

【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。

变式9-1：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。

解：设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得

2h1

2gt2=h 求得t=g

Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有

2hT2π2π

g

t=(4n+1)4(n=0，1，2，3„„) 两式联立再由T=得 (4n+1)=

π

所以ω=2(4n+1)

g

2h (n=0，1，2，3„„)

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性

六、圆周运动中的临界问题练习：

1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求： ⑴当转盘角速度ω1⑵当转盘角速度ω2μg

时，细绳的拉力T1。 2r

3μg

时，细绳的拉力T2。 2r

1

mg

答案：（1）0 （2）2

2、

（ABD）

3、

( BD )

11

4、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）

Mm

gmRA． Mm

gmRC．

Mm

gmRB．

5、在光滑的水平面上钉有两个钉子A和B.相距20cm.用一根长度为1m的细绳.一端系一个质量为0.4kg的小球.另一端栓在钉子A上.使小球开始位于A的左边.并以2m/s的速率在水平面上绕A做匀速圆周运动.若绳子承受4N的拉力就会断.那么从开始运动到绳被拉断.小球转的半圆周数（ B ）

A.2 B.3 C.4 D.5

6.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8N. A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，

且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在坐标系中作出

MgD．mR

F2图象. g取10m/s2.

解：

1



2rad/sT0

[0,2]

24rad/s

12

2

m2r

2mg

T2m2r12mg0.522

[2,4]

T

2m12r22mg2420.25

26N

6rad/s 3

22

Tmrmg0.2511

[4,6]

小结：多物体、拉力、静摩擦力变化。抓住各物体达到最大静摩擦力，拉力达到最大值。 注意各个临界值达到的顺序，和物体飞出对拉力的影响。

13