上海七年级数学因式分解专题讲解

上海七年级 数学 因式分解专题讲解

一、提取公因式

1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？ （1）2a23a1a(2a3)1； （2）xy1xy(1（3）(a1)(a1)a21； （5）x22x

例2、指出下列各式中的公因式：

233222

（1）4a4、 6(ab)、-（9ab）8ab、32ab （2）3(ab)、

1xy

)；

12

14

(x)

2

；

m（3）3a2m、18a

2、提取公因式的注意事项

（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—”号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。 例：12a2b8ab2(12a2b8ab2)4ab(3a2b)

（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。也就是说当一个多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成。

（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。

例：4x26xy2x2x(2x3y1)，不能写成4x26xy2x2x(2x3y) （4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式，当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。

例：m(ab)3n(ba)2m(ab)3n(ab)2(ab)2(mambn) 例3、分解因式：9x3y6x2y218x2y4

例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式： （1）6a3、4a； （2）

827

xy、

3

2

49

xy

3

；

232（3）3x(ab)2、51x(ab)； （4）(ma)、3x(am)；

例5、已知关于x的二次三项式2x2mxn因式分解的结果是(2x1)(x)，求

41

m、n的值？

例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式UIR1IR2IR3，当R131.7,R232.4,R335.9,I2.5时，求电压U的值？

3、整式乘法与因式分解有什么关系？

整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式。而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。虽然他们都是恒等变形，但它们是两个不同的互逆过程，既互为相反的恒等变形。因式分解是否正确可以用正式的乘法来进行检验。

例7、简便运算 （1）123（2）2

53

987136834

264

34

9871368

45634

9871368

525

9871368

；

0.60.8

；

二、公式法

1、公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 2、方法归纳：

（1）平分差公式a2b2(ab)(ab) （2）完全平方公式a22abb2(ab)2 例8、判断下列各式分解因式是否正确？ （1）64a244(16a21)4(4a1)2

（2）(ab)2(ba)(ba)(ba)21(ba)(ba1)(ba1)

例9、填写下列各式的空缺项，使他能用完全平反公式分解因式。 （1）x2（）+（2）

2、运用公式法分解因式应注意的问题：

（1）运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式；如果是三项考虑用完全平方公式。其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a”，什么事公式中的“b”，然后采用此公式进行分解因式。

（2）分解因式一定要彻底，不能出现a481(a29)(a29)就不再分解下去的问题。

（3）公式中“a”、“b”可以表示多项式，使用公式是要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。

（4）合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点。

例：分解因式(xy)24(xy1)时，将此多项式变形为

2

(xy)4(xy)4后，就可以用完全平方公式进行分解了。

三、十字相乘法

例10、把下列各式分解因式：

（1）x22x15； （2）x25xy6y2；

（3）x53x34x； （4）(x1)(x2)(x3)(x4)48；

（5）x2y2x2y24xy1； （6）(x2x)211(x2x)26；

916

xxy(2

136

2

()

）()2

上海七年级 数学 因式分解专题讲解

一、提取公因式

1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？ （1）2a23a1a(2a3)1； （2）xy1xy(1（3）(a1)(a1)a21； （5）x22x

例2、指出下列各式中的公因式：

233222

（1）4a4、 6(ab)、-（9ab）8ab、32ab （2）3(ab)、

1xy

)；

12

14

(x)

2

；

m（3）3a2m、18a

2、提取公因式的注意事项

（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—”号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。 例：12a2b8ab2(12a2b8ab2)4ab(3a2b)

（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。也就是说当一个多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成。

（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。

例：4x26xy2x2x(2x3y1)，不能写成4x26xy2x2x(2x3y) （4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式，当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。

例：m(ab)3n(ba)2m(ab)3n(ab)2(ab)2(mambn) 例3、分解因式：9x3y6x2y218x2y4

例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式： （1）6a3、4a； （2）

827

xy、

3

2

49

xy

3

；

232（3）3x(ab)2、51x(ab)； （4）(ma)、3x(am)；

例5、已知关于x的二次三项式2x2mxn因式分解的结果是(2x1)(x)，求

41

m、n的值？

例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式UIR1IR2IR3，当R131.7,R232.4,R335.9,I2.5时，求电压U的值？

3、整式乘法与因式分解有什么关系？

整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式。而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。虽然他们都是恒等变形，但它们是两个不同的互逆过程，既互为相反的恒等变形。因式分解是否正确可以用正式的乘法来进行检验。

例7、简便运算 （1）123（2）2

53

987136834

264

34

9871368

45634

9871368

525

9871368

；

0.60.8

；

二、公式法

1、公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 2、方法归纳：

（1）平分差公式a2b2(ab)(ab) （2）完全平方公式a22abb2(ab)2 例8、判断下列各式分解因式是否正确？ （1）64a244(16a21)4(4a1)2

（2）(ab)2(ba)(ba)(ba)21(ba)(ba1)(ba1)

例9、填写下列各式的空缺项，使他能用完全平反公式分解因式。 （1）x2（）+（2）

2、运用公式法分解因式应注意的问题：

（1）运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式；如果是三项考虑用完全平方公式。其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a”，什么事公式中的“b”，然后采用此公式进行分解因式。

（2）分解因式一定要彻底，不能出现a481(a29)(a29)就不再分解下去的问题。

（3）公式中“a”、“b”可以表示多项式，使用公式是要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。

（4）合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点。

例：分解因式(xy)24(xy1)时，将此多项式变形为

2

(xy)4(xy)4后，就可以用完全平方公式进行分解了。

三、十字相乘法

例10、把下列各式分解因式：

（1）x22x15； （2）x25xy6y2；

（3）x53x34x； （4）(x1)(x2)(x3)(x4)48；

（5）x2y2x2y24xy1； （6）(x2x)211(x2x)26；

916

xxy(2

136

2

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