反比例函数与几何综合（讲义）
一、知识点睛
反比例函数与几何综合的解题思路：
1. 抓住_______．“关键点”是信息汇聚点，通常是_________和________的
______．通过___________和____________的互相转化可将_________与_________综合在一起进行研究． 2. 梳理题干中的条件，__________．
3. 集中到___________或__________建等式求解． 二、精讲精练
1. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y =
1
图象的一个分支，第二象x
2
限内的图象是反比例函数y =-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于
x
x 轴的直线l 与它们分别交于点A ，B ，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．若四边形ACDB 的周长为8，且AB
第1题图 第2题图 第4题图
2. 如图，正方形OAPB 的顶点B 以及等腰直角三角形AFD 的顶点A ，D 在坐
9
标轴上，点P ，F 在函数y =（x >0）的图象上，则点F 的坐标为________．
x
2
3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数y =（x >0）
x
的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
2
P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y =（x >0）
x
的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为____________．
4
4. 如图，已知动点A 在函数y =（x >0）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y
x
轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC ．直线
DE 分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ．当QE :DP =4:9时，图中阴影部分的面积等于_________．
5. 如图，□A B C D 的顶点A ，B 的坐标分别是A (-1，0) ，
k
B (0，-2) ，顶点C ，D 在双曲线y =x >0）上，边AD 交y 轴于点E
，且四
x
1
边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =_______．
第5题图
k
6. 如图，点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 均在双曲线y =（x >0）的图
x
象上，且x 2-x 1=4，y 1-y 2=2．分别过点A ，B 向x 轴、y
轴作垂线段，垂足分别为C ，D ，E ，F ．AC 与BF 相交于点 G ，若四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，
则双曲线的解析式为____________________．
k
7. 如图，双曲线y =经过点A (2，2) 与点B (4，m ) ，则△AOB 的面积为
x
___________．
第7题图 第8题图
8. 如图，正比例函数y =kx （k >0）与反比例函数y =
1
的图象交于A ，C 两点，x
过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点D ．连接AD ，BC ，则四边形ABCD 的面积为____________．
k 1
9. 两个反比例函数y =（k >1）和y =在第一象限内的图象如图所示，点P
x x
k 1
在y =的图象上， PC ⊥x 轴于点C ，交y =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点
x x
1k
D ，交y =的图象于点B ，当点P 在y =的图象上运动时，以下结论：
x x
①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；
③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是____________（填写序号）．
10. 如图，一次函数y =ax +b 的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函
数y =
k
的图象交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作y 轴，x 轴的垂线，垂x
2
足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论： ①△DEF 与△CEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；④AC =BD ．
其中正确的结论是____________（填写序号）．
第10题图 第11题图
11. 如图，M
为双曲线y =
M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y =-x +m 于D ，C 两点，若直线y =-x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，
则AD ·BC 的值为_____．
12. 如图，直线y =-x +6与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是反比例函数y =
4
x
（x >0）图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，
交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ．则
AF ⋅BE =________．
【参考答案】 知识点睛
1．关键点，函数图象，几何图形，交点，关键点坐标，横平竖
直线段长，函数特征，几何特征2．依次转化
3．函数特征，几何特征
精讲精练
1
1．(，3)
3134．
3
3+
-3+) 3．
11) 22
6
5．12 6．y = 7．3
x
2．
(
8．2 12．8
9．①②④ 10．①②④ 11．
3
反比例函数与几何综合（讲义）
一、知识点睛
反比例函数与几何综合的解题思路：
1. 抓住_______．“关键点”是信息汇聚点，通常是_________和________的
______．通过___________和____________的互相转化可将_________与_________综合在一起进行研究． 2. 梳理题干中的条件，__________．
3. 集中到___________或__________建等式求解． 二、精讲精练
1. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y =
1
图象的一个分支，第二象x
2
限内的图象是反比例函数y =-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于
x
x 轴的直线l 与它们分别交于点A ，B ，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．若四边形ACDB 的周长为8，且AB
第1题图 第2题图 第4题图
2. 如图，正方形OAPB 的顶点B 以及等腰直角三角形AFD 的顶点A ，D 在坐
9
标轴上，点P ，F 在函数y =（x >0）的图象上，则点F 的坐标为________．
x
2
3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数y =（x >0）
x
的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
2
P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y =（x >0）
x
的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为____________．
4
4. 如图，已知动点A 在函数y =（x >0）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y
x
轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC ．直线
DE 分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ．当QE :DP =4:9时，图中阴影部分的面积等于_________．
5. 如图，□A B C D 的顶点A ，B 的坐标分别是A (-1，0) ，
k
B (0，-2) ，顶点C ，D 在双曲线y =x >0）上，边AD 交y 轴于点E
，且四
x
1
边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =_______．
第5题图
k
6. 如图，点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 均在双曲线y =（x >0）的图
x
象上，且x 2-x 1=4，y 1-y 2=2．分别过点A ，B 向x 轴、y
轴作垂线段，垂足分别为C ，D ，E ，F ．AC 与BF 相交于点 G ，若四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，
则双曲线的解析式为____________________．
k
7. 如图，双曲线y =经过点A (2，2) 与点B (4，m ) ，则△AOB 的面积为
x
___________．
第7题图 第8题图
8. 如图，正比例函数y =kx （k >0）与反比例函数y =
1
的图象交于A ，C 两点，x
过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点D ．连接AD ，BC ，则四边形ABCD 的面积为____________．
k 1
9. 两个反比例函数y =（k >1）和y =在第一象限内的图象如图所示，点P
x x
k 1
在y =的图象上， PC ⊥x 轴于点C ，交y =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点
x x
1k
D ，交y =的图象于点B ，当点P 在y =的图象上运动时，以下结论：
x x
①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；
③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是____________（填写序号）．
10. 如图，一次函数y =ax +b 的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函
数y =
k
的图象交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作y 轴，x 轴的垂线，垂x
2
足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论： ①△DEF 与△CEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；④AC =BD ．
其中正确的结论是____________（填写序号）．
第10题图 第11题图
11. 如图，M
为双曲线y =
M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y =-x +m 于D ，C 两点，若直线y =-x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，
则AD ·BC 的值为_____．
12. 如图，直线y =-x +6与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是反比例函数y =
4
x
（x >0）图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，
交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ．则
AF ⋅BE =________．
【参考答案】 知识点睛
1．关键点，函数图象，几何图形，交点，关键点坐标，横平竖
直线段长，函数特征，几何特征2．依次转化
3．函数特征，几何特征
精讲精练
1
1．(，3)
3134．
3
3+
-3+) 3．
11) 22
6
5．12 6．y = 7．3
x
2．
(
8．2 12．8
9．①②④ 10．①②④ 11．
3