数学在生活中的应用
数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，“在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）。“在BC3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展”，而“在BC600—BC300年间古希腊学者登场后”，数学便开始“作为一名有组织的、独立的和理性的学科”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）登上了人类发展史的大舞台。
如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt 三角形有关知识的应用。由于这些内容所涉及的高中数学知识不是很多，在此就不赘述了。
由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。
下面，我就紧扣高中数学学习的实际，从函数、不等式、数列、立体几何和解析几何等五方面，简明扼要地谈一下数学知识在生产生活中的应用。
第一部分 函数的应用
我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。这里重点讲前两类函数的应用。
一元一次函数的应用
一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。
下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。
随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 我在纸上写道：
设某顾客买茶杯x 只，付款y 元，(x>3且x ∈N) ，则
用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;
用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.
接着比较y1y2的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;
当d=0时，x=24;
当d
综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！
二、一元二次函数的应用
在企业进行诸如建筑、饲养、造林绿化、产品制造及其他大规模生产时，
其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景。他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题。常用方法有：求函数最值、某单调区间上最值及某自变量对应的函数值。
三、三角函数的应用
三角函数的应用极其广泛，这里仅讲最简的也是最常见的一类——锐角三角函数的应用：“山林绿化”问题。
在山林绿化中， 须在山坡上等距离植树，且山坡上两树之间的距离投影到平地上须同平地树木间距保持一致。（如左图）因此，林业人员在植树前，要计算出山坡上两树之间的距离。这便要用到锐角三角函数的知识。
如右图，令C=90 ,B=α ,平地距为d ，山坡距为r ，则sec α=secB =AB/CB=r/d. ∴r=secα×d 这个问题至此便迎刃而解了。
第二部分 不等式的应用
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来
解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法
设计花坛绿地 周长或斜边 面积最
大 极值定理一
经营成本 各项费用单价及销售量 成本最
低 函数、极值定理二
车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出
速度、各项费用及相
应 最低成本，再由此
比例关
系 计算出最低票价
（票价=最低票价+ +平均利润）
包装罐设计 （见表后） （见表
后） （见表后）
包装罐设计问题
1、“白猫”洗衣粉桶
“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），
若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是
什么关系时用料最省（即表面积最小）？
分析：容积一定=>лr h=V（定值）
=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)
≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号),
∴应设计为h=d的等边圆柱体.
2、“易拉罐”问题
圆柱体上下第半径为R, 高为h ，若体积为定值V, 且上下底
厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最
省（即表面积最小）？
分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己
写出, 本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.
事实上，不等式特别是均值不等式在生产实践中的应用远不止这些，在这里就不一一列举了。
第三部分 数列的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资
理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 本文重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元, 贷款月利率为p, 还款方式每月等额还本付息a 元. 设第n 月还款后的本金为an, 那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他应用问题
数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。读者朋友一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。下面请看北京市西城区2003年抽样测试-高二数学试卷中的一道应用问题。
（题目内容及解答详见北京市西城区2003年抽样测试-高二数学试卷第19题。本文暂略，容等日后增补。）
第四部分 立体几何的应用
一、多面体的应用
有一个著名的问题：一间民房屋顶有三种不同的盖法①单向倾斜 ②双向倾斜 ③四向倾斜，且屋顶平面与水平面所成角都是α。许多农民想节省建材，纷纷把房盖成①型。
① ② ③
请问，①型盖法果真能节省建材吗？
解答：不妨设三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3由射影公式
cos α=S’/S知，P1=P2=P3.
由此，我们应得到一点启示：凡事不可人云亦云，生活实际中经过科学地推理论证的说法才是可信的。
由于多面体的应用不甚普遍，在此仅举一例加以说明。
二、旋转体的应用
旋转体在日常生活中应用较为普遍。主要有如下几类：
天文观测：已知地球半径和人造卫星高度，求地球上能观测到人造卫星的最大面积；
制作漏斗等由旋转体构成的物体的下料方案；
登山问题：已知锥形小山底面半径及母线长度，又知某人登山路线，求登山路程长短。
第五部分 平面解析几何的应用
在线性规划和与物理学相联系的一些问题中，常常用到平面解析几何的相关知识。例如，平抛、斜抛等抛体问题及“三大球”（篮、足、排）运动问题。由于笔者目前这部分知识尚未学完，因此只能略谈一二暂付阙如。
以上就是我对“高中数学知识在生活实践中的应用”这一课题的一点肤浅的体会。我想，尽管我的论证还不够深刻、观点还很不成熟，但我相信，每位读者朋友都能从本文中读懂我最想告诉给大家的东西，那就是：数学并不是一门从来就有的单独的学科，它是人们在长期的社会实践活动中认识到并总结出来的，与人们的生产生活实际紧密联系的科学道理。其实，数学知识的应用远远不止这些。亲爱的读者朋友，不知大家看了我上面的这些杂乱的意思，可否认识到了“数学”二字所蕴含着的真谛了吗？
另外，在撰写本文的过程中，我参考了许多有关高中数学和世界数学发展史的资料。资料中对数学知识的精辟论述让我茅塞顿开；对数学史的详尽介绍令我掩卷难忘。在此，我要衷心感谢为我提供了这些宝贵资料的学者、教师、主编及在期刊上发表文章的“小小数学爱好者”（参考文献的书名及作者在附录中逐一列出）。让我们全社会共同努力，重视数学知识的应用，使全民族的数学素质在新世纪里更上一层楼吧！
高2008级1班 王艺海
数学在生活中的应用
数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，“在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）。“在BC3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展”，而“在BC600—BC300年间古希腊学者登场后”，数学便开始“作为一名有组织的、独立的和理性的学科”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）登上了人类发展史的大舞台。
如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt 三角形有关知识的应用。由于这些内容所涉及的高中数学知识不是很多，在此就不赘述了。
由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。
下面，我就紧扣高中数学学习的实际，从函数、不等式、数列、立体几何和解析几何等五方面，简明扼要地谈一下数学知识在生产生活中的应用。
第一部分 函数的应用
我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。这里重点讲前两类函数的应用。
一元一次函数的应用
一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。
下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。
随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 我在纸上写道：
设某顾客买茶杯x 只，付款y 元，(x>3且x ∈N) ，则
用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;
用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.
接着比较y1y2的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;
当d=0时，x=24;
当d
综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！
二、一元二次函数的应用
在企业进行诸如建筑、饲养、造林绿化、产品制造及其他大规模生产时，
其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景。他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题。常用方法有：求函数最值、某单调区间上最值及某自变量对应的函数值。
三、三角函数的应用
三角函数的应用极其广泛，这里仅讲最简的也是最常见的一类——锐角三角函数的应用：“山林绿化”问题。
在山林绿化中， 须在山坡上等距离植树，且山坡上两树之间的距离投影到平地上须同平地树木间距保持一致。（如左图）因此，林业人员在植树前，要计算出山坡上两树之间的距离。这便要用到锐角三角函数的知识。
如右图，令C=90 ,B=α ,平地距为d ，山坡距为r ，则sec α=secB =AB/CB=r/d. ∴r=secα×d 这个问题至此便迎刃而解了。
第二部分 不等式的应用
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来
解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法
设计花坛绿地 周长或斜边 面积最
大 极值定理一
经营成本 各项费用单价及销售量 成本最
低 函数、极值定理二
车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出
速度、各项费用及相
应 最低成本，再由此
比例关
系 计算出最低票价
（票价=最低票价+ +平均利润）
包装罐设计 （见表后） （见表
后） （见表后）
包装罐设计问题
1、“白猫”洗衣粉桶
“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），
若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是
什么关系时用料最省（即表面积最小）？
分析：容积一定=>лr h=V（定值）
=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)
≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号),
∴应设计为h=d的等边圆柱体.
2、“易拉罐”问题
圆柱体上下第半径为R, 高为h ，若体积为定值V, 且上下底
厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最
省（即表面积最小）？
分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己
写出, 本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.
事实上，不等式特别是均值不等式在生产实践中的应用远不止这些，在这里就不一一列举了。
第三部分 数列的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资
理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 本文重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元, 贷款月利率为p, 还款方式每月等额还本付息a 元. 设第n 月还款后的本金为an, 那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他应用问题
数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。读者朋友一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。下面请看北京市西城区2003年抽样测试-高二数学试卷中的一道应用问题。
（题目内容及解答详见北京市西城区2003年抽样测试-高二数学试卷第19题。本文暂略，容等日后增补。）
第四部分 立体几何的应用
一、多面体的应用
有一个著名的问题：一间民房屋顶有三种不同的盖法①单向倾斜 ②双向倾斜 ③四向倾斜，且屋顶平面与水平面所成角都是α。许多农民想节省建材，纷纷把房盖成①型。
① ② ③
请问，①型盖法果真能节省建材吗？
解答：不妨设三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3由射影公式
cos α=S’/S知，P1=P2=P3.
由此，我们应得到一点启示：凡事不可人云亦云，生活实际中经过科学地推理论证的说法才是可信的。
由于多面体的应用不甚普遍，在此仅举一例加以说明。
二、旋转体的应用
旋转体在日常生活中应用较为普遍。主要有如下几类：
天文观测：已知地球半径和人造卫星高度，求地球上能观测到人造卫星的最大面积；
制作漏斗等由旋转体构成的物体的下料方案；
登山问题：已知锥形小山底面半径及母线长度，又知某人登山路线，求登山路程长短。
第五部分 平面解析几何的应用
在线性规划和与物理学相联系的一些问题中，常常用到平面解析几何的相关知识。例如，平抛、斜抛等抛体问题及“三大球”（篮、足、排）运动问题。由于笔者目前这部分知识尚未学完，因此只能略谈一二暂付阙如。
以上就是我对“高中数学知识在生活实践中的应用”这一课题的一点肤浅的体会。我想，尽管我的论证还不够深刻、观点还很不成熟，但我相信，每位读者朋友都能从本文中读懂我最想告诉给大家的东西，那就是：数学并不是一门从来就有的单独的学科，它是人们在长期的社会实践活动中认识到并总结出来的，与人们的生产生活实际紧密联系的科学道理。其实，数学知识的应用远远不止这些。亲爱的读者朋友，不知大家看了我上面的这些杂乱的意思，可否认识到了“数学”二字所蕴含着的真谛了吗？
另外，在撰写本文的过程中，我参考了许多有关高中数学和世界数学发展史的资料。资料中对数学知识的精辟论述让我茅塞顿开；对数学史的详尽介绍令我掩卷难忘。在此，我要衷心感谢为我提供了这些宝贵资料的学者、教师、主编及在期刊上发表文章的“小小数学爱好者”（参考文献的书名及作者在附录中逐一列出）。让我们全社会共同努力，重视数学知识的应用，使全民族的数学素质在新世纪里更上一层楼吧！
高2008级1班 王艺海