6 刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标
描述。作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n ) 。设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。于是，由式(8.1.11)可写出
&C =F R x , m &&C =F R y (8.1.55) m &x y
式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在x , y 方向上的分量。由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得
d L Cz
=M Cz (8.1.56) d t
&，J C 是刚其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。而L Cz =J C ϕ
体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。 应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义
坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。动力学方程组
&C =∑F ix , m &&C =∑F iy , m &x y
i =1
i =1
n n
&&=M Cz J C ϕ
(8.1.57)
称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时
&0。作用力已知的速度分别为x &C 0，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0和ϕ&C 0和y
时，方程(8.1.57)和该初始条件构成一初始值问题。可解得任意时刻的质心坐标和转角。
刚体平面运动的动力学的分析过程中建立了质心平移坐标系，将运动分解为跟随质心的
平移和相对质心的转动，实际上就是采用运动学中的基点法来分析运动。但是，在运动学中基点是可以任意选择的。而在动力学中，平移参考系的原点应选在刚体的质心上。从动力学角度来看，方程组(8.1.57)已经封闭，可提供三个独立的方程来解刚体平面运动问题。但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。
例8.1-7： 半径为r ，质量为m 的均质圆柱体，
放置于固定的倾角为θ的粗糙斜面的顶端，在重力的作用下向下运动。设轮与斜面间的滑动摩擦因数为f s ，不计滚动摩阻，求圆柱体质心的运动规律。
解：圆柱体作平面运动，建立Oxy 为固定坐
标系，如图 (a)所示。圆柱体受到的作用力有，静滑动摩擦力F ，斜面对圆柱体的约束力F N ，如图 (b)所示。设x C , y C 和α分别为圆柱体质心坐标和角加速度，则柱体的运动微分方程为
(a)
&C =mg sin θ−F m &x
&C =F N −mg cos θ (a) m &y 12
mr α=Fr 2
初始条件为
&C =0 (b) t =0, x C =0, x 还有4个未知量&补充方程可从运动学关系中寻找。 在上述方程组中，除&&C =0，&C , F N , F 和α。y x
圆柱体运动时只滚不滑，有
&&C =r α x (c) 联立求解方程(a)和(c)得到
21
g sin θ, F =mg sin θ, F N =mg cos θ (d) 33
利用初始条件(b)，可以积分得到圆柱体质心的运动规律
1
x C =gt 2sin θ (e)
3
&&C =x
圆柱体作纯滚动的条件为F ≤f s F N ，所以滑动摩擦因数因满足
1
f s ≥tan θ (f)
3
圆柱体运动时即滚又滑，式(a)仍成立，但其中F 为动摩擦力，满足 F =f s
F N (g)
联立求解方程(a)和(g)并利用初始条件(b)，得到
t 2
x C =g (sinθ−f s cos θ) (h)
2
例8.1-8：质量为m 均质杆AB 长为l ，放置
在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地面上，并与水平面成ϕ0角，如图所示。此后，杆由静止状态倒下。试求：(1) 杆在任意位置时的角速度和角加速度；(2) 当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
解：研究平面运动的杆AB ，Oxy 为固定坐标系，杆在脱离墙之前受有重力m g ，墙面和地面的约束力F A 和F B ，如图所示，在杆与水平面成ϕ角的任一位置时，杆的运动微分方程为
&C =F A , m &&C =F B −mg m &x y
,
例8.1-8图
1l l
&&=F B cos ϕ−F A sin ϕ (a) ml 2ϕ1222
上述三个方程包含五个未知数：x C , y C , F A , F B 和ϕ，所以必须补充方程，补充方程可由运动关系得到。因在任一位置，有
l l
x C =cos ϕ, y C =sin ϕ (b)
22
上两式两边分别求导两次，得
l 2l l 2l &cos ϕ−ϕ&&sin ϕ, &&sin ϕ+ϕ&&cos ϕ (c) &&C =−ϕ&C =−ϕx y
2222
&=0，所以ϕ&&0，而当ϕ=ϕ0时，ϕ式(c)即为补充方程。因为&x
&&，得 (c)，并注意杆的角加速度α=−ϕ
3g 3g
&2=ϕ(sinϕ0−sin ϕ) , α=cos ϕ (d)
2l l
&和ϕ&&的值代入式(a)中第一式，得 通过式(b)，将ϕ
3g 3g
F A =m cos ϕ[−(sinϕ0−sin ϕ) + sin ϕ] (f)
24
当杆脱离墙时，F A =0，所以
2 ϕ=arcsin(sin ϕ0) (g) 3
例8.1-9：质量为m 的均质杆AB 长为l ，
A 端用光滑铰链与天花板连接，另一端B 用水平细绳系于墙上，使杆与水平面成θ角，如图(a)所示。试求细绳剪断瞬时铰链A 的约束力。
例8.1-9图
解：取杆AB 为研究对象，建立固定坐标
系Axy 。细绳剪断瞬时，杆受到重力m g ，铰链A 的约束力F x 和F y 的作用，如图(b)所示。设杆的角加速度为α，由刚体平面运动微分方程得
&C =F y −mg sin θ, &C =F x −mg cos θ, m &m &x y
1l
ml 2α=F x (a) 122
剪断细绳瞬时，杆没有运动，角速度ω=0。质心加速度的分量分别是切向和法向加速度，故
l
&&C =−α, &&C =r ω2=0 (b) x y
2
式(b)即为补充方程。由式(a)和(b)消去加速度量，可解出
1
F y =mg sin θ, F x =mg cos θ
4
例8.1-9代表了一种类型的问题，称为突然解除约束问题。此类问题解除约束的前、后瞬
时，系统的速度与角速度连续，而加速度与角加速度将发生突变。
6 刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标
描述。作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n ) 。设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。于是，由式(8.1.11)可写出
&C =F R x , m &&C =F R y (8.1.55) m &x y
式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在x , y 方向上的分量。由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得
d L Cz
=M Cz (8.1.56) d t
&，J C 是刚其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。而L Cz =J C ϕ
体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。 应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义
坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。动力学方程组
&C =∑F ix , m &&C =∑F iy , m &x y
i =1
i =1
n n
&&=M Cz J C ϕ
(8.1.57)
称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时
&0。作用力已知的速度分别为x &C 0，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0和ϕ&C 0和y
时，方程(8.1.57)和该初始条件构成一初始值问题。可解得任意时刻的质心坐标和转角。
刚体平面运动的动力学的分析过程中建立了质心平移坐标系，将运动分解为跟随质心的
平移和相对质心的转动，实际上就是采用运动学中的基点法来分析运动。但是，在运动学中基点是可以任意选择的。而在动力学中，平移参考系的原点应选在刚体的质心上。从动力学角度来看，方程组(8.1.57)已经封闭，可提供三个独立的方程来解刚体平面运动问题。但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。
例8.1-7： 半径为r ，质量为m 的均质圆柱体，
放置于固定的倾角为θ的粗糙斜面的顶端，在重力的作用下向下运动。设轮与斜面间的滑动摩擦因数为f s ，不计滚动摩阻，求圆柱体质心的运动规律。
解：圆柱体作平面运动，建立Oxy 为固定坐
标系，如图 (a)所示。圆柱体受到的作用力有，静滑动摩擦力F ，斜面对圆柱体的约束力F N ，如图 (b)所示。设x C , y C 和α分别为圆柱体质心坐标和角加速度，则柱体的运动微分方程为
(a)
&C =mg sin θ−F m &x
&C =F N −mg cos θ (a) m &y 12
mr α=Fr 2
初始条件为
&C =0 (b) t =0, x C =0, x 还有4个未知量&补充方程可从运动学关系中寻找。 在上述方程组中，除&&C =0，&C , F N , F 和α。y x
圆柱体运动时只滚不滑，有
&&C =r α x (c) 联立求解方程(a)和(c)得到
21
g sin θ, F =mg sin θ, F N =mg cos θ (d) 33
利用初始条件(b)，可以积分得到圆柱体质心的运动规律
1
x C =gt 2sin θ (e)
3
&&C =x
圆柱体作纯滚动的条件为F ≤f s F N ，所以滑动摩擦因数因满足
1
f s ≥tan θ (f)
3
圆柱体运动时即滚又滑，式(a)仍成立，但其中F 为动摩擦力，满足 F =f s
F N (g)
联立求解方程(a)和(g)并利用初始条件(b)，得到
t 2
x C =g (sinθ−f s cos θ) (h)
2
例8.1-8：质量为m 均质杆AB 长为l ，放置
在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地面上，并与水平面成ϕ0角，如图所示。此后，杆由静止状态倒下。试求：(1) 杆在任意位置时的角速度和角加速度；(2) 当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
解：研究平面运动的杆AB ，Oxy 为固定坐标系，杆在脱离墙之前受有重力m g ，墙面和地面的约束力F A 和F B ，如图所示，在杆与水平面成ϕ角的任一位置时，杆的运动微分方程为
&C =F A , m &&C =F B −mg m &x y
,
例8.1-8图
1l l
&&=F B cos ϕ−F A sin ϕ (a) ml 2ϕ1222
上述三个方程包含五个未知数：x C , y C , F A , F B 和ϕ，所以必须补充方程，补充方程可由运动关系得到。因在任一位置，有
l l
x C =cos ϕ, y C =sin ϕ (b)
22
上两式两边分别求导两次，得
l 2l l 2l &cos ϕ−ϕ&&sin ϕ, &&sin ϕ+ϕ&&cos ϕ (c) &&C =−ϕ&C =−ϕx y
2222
&=0，所以ϕ&&0，而当ϕ=ϕ0时，ϕ式(c)即为补充方程。因为&x
&&，得 (c)，并注意杆的角加速度α=−ϕ
3g 3g
&2=ϕ(sinϕ0−sin ϕ) , α=cos ϕ (d)
2l l
&和ϕ&&的值代入式(a)中第一式，得 通过式(b)，将ϕ
3g 3g
F A =m cos ϕ[−(sinϕ0−sin ϕ) + sin ϕ] (f)
24
当杆脱离墙时，F A =0，所以
2 ϕ=arcsin(sin ϕ0) (g) 3
例8.1-9：质量为m 的均质杆AB 长为l ，
A 端用光滑铰链与天花板连接，另一端B 用水平细绳系于墙上，使杆与水平面成θ角，如图(a)所示。试求细绳剪断瞬时铰链A 的约束力。
例8.1-9图
解：取杆AB 为研究对象，建立固定坐标
系Axy 。细绳剪断瞬时，杆受到重力m g ，铰链A 的约束力F x 和F y 的作用，如图(b)所示。设杆的角加速度为α，由刚体平面运动微分方程得
&C =F y −mg sin θ, &C =F x −mg cos θ, m &m &x y
1l
ml 2α=F x (a) 122
剪断细绳瞬时，杆没有运动，角速度ω=0。质心加速度的分量分别是切向和法向加速度，故
l
&&C =−α, &&C =r ω2=0 (b) x y
2
式(b)即为补充方程。由式(a)和(b)消去加速度量，可解出
1
F y =mg sin θ, F x =mg cos θ
4
例8.1-9代表了一种类型的问题，称为突然解除约束问题。此类问题解除约束的前、后瞬
时，系统的速度与角速度连续，而加速度与角加速度将发生突变。