高中数学-立体几何
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
2. 两个平面可将平面分成. （①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定. （①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） [注]：三条直线可以确定三个平面
4. 三个平面最多可把空间分成. （X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. （×）（可能两条直线平行） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线. （×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. （×）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．的垂线段和斜线段）
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相
等（如下图）.
（二面角的取值范围θ∈[0 , 180 )） （直线与直线所成角θ∈(0 , 90 ]）
2
方向相同
方向不相同 （斜线与平面成角θ∈(0 , 90 )）
1
1
2
（直线与平面所成角θ∈[0 , 90 ]）
（向量与向量所成角θ∈[0 , 180 ])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行. （×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行. （×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β. （×）（α、β可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平
面平行. （“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. （“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. （“线面垂直，面面垂直”）
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点O ' ，则o o '⊥AC , B O '⊥AC ⇒AC ⊥平面O O 'B ⇒AC ⊥BO ⇒∠FGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形. 若对角线等，则EF =FG ⇒EFGH 为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S =4πR 2. ②球的体积公式：V =πR 3.
附：①圆柱体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ③锥形体积：V =Sh （S 为底面积，h 为高） 4. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，h =得
622
a ，S 底=a ，S 侧=a 344
=90°易知
EFGH
4
3
13
13
3263212242a ⋅a =a ⋅R +⋅a ⋅R ⇒R =a /3=a ⋅3=a . 434344344
注：球内切于四面体：V B -AC D =⋅S 侧⋅R ⋅3+底⋅R =S 底⋅h 六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （×） [当b =0时，不成立] ③若∥，则存在小任一实数λ，使=λ. （×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0⋅a =0. （√）[这里用到λ(≠0) 之积仍为向量]
1
313
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a (≠0) ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使a =λb .
（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （。。。）（4）①共面向量定理：如果两个向量, 不共线，则向量与向量, 共面的充要条件是存在实数对x 、y 使=x +y .
②空间任一点、B 、C ，则OP =x OA +y OB +z OC (x +y +z =1) 是P ABC 四点共面．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．．．．．的充要条件. （简证：OP =(1-y -z ) OA +y OB +z OC =AP =y AB +z AC →P 、A 、B 、C 四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的．．．．a , b , c 不共面．．．有序实数组x 、y 、z ，使p =x a +y b +z c .
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、
z 使 OP =x OA +y OB +z OC (这里隐含x+y+z≠1).
D
注：设四面体ABCD 的三条棱，AB =b , AC =c , AD =d , 其
B
1
中Q 是△BCD 的重心，则向量AQ =(a +b +c ) 用AQ =AM +MQ 即证.
3
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2, a 3), =(b 1, b 2, b 3) ，则
a +b =(a 1±b 1, a 2±b 2, a 3±b 3)
λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R )
a 1a 2a 3
==b 1b 2b 3
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
a ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ⇔ ⊥⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
==a 12+a 22+a 3
2
(
=⋅⇒=)
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ⋅b
cos ==
222222|a |⋅|b |a 1+a 2+a 3⋅1+b 2+b 3
②空间两点的距离公式：d =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中A ∈α，则点B 到平面α。。
二、常用结论、方法和公式 4. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S底； 9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有
cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V , 面数为F, 棱数为E. 那么V+F－E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S底+S侧
1
14．棱锥的体积:V棱锥=Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。
3
15. 球的体积公式V=πR 3，表面积公式S =4πR 2；
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高中数学-立体几何
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
2. 两个平面可将平面分成. （①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定. （①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） [注]：三条直线可以确定三个平面
4. 三个平面最多可把空间分成. （X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. （×）（可能两条直线平行） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线. （×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. （×）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．的垂线段和斜线段）
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相
等（如下图）.
（二面角的取值范围θ∈[0 , 180 )） （直线与直线所成角θ∈(0 , 90 ]）
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方向相同
方向不相同 （斜线与平面成角θ∈(0 , 90 )）
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（直线与平面所成角θ∈[0 , 90 ]）
（向量与向量所成角θ∈[0 , 180 ])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行. （×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行. （×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β. （×）（α、β可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平
面平行. （“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. （“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. （“线面垂直，面面垂直”）
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点O ' ，则o o '⊥AC , B O '⊥AC ⇒AC ⊥平面O O 'B ⇒AC ⊥BO ⇒∠FGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形. 若对角线等，则EF =FG ⇒EFGH 为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S =4πR 2. ②球的体积公式：V =πR 3.
附：①圆柱体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ③锥形体积：V =Sh （S 为底面积，h 为高） 4. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，h =得
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a ，S 底=a ，S 侧=a 344
=90°易知
EFGH
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3263212242a ⋅a =a ⋅R +⋅a ⋅R ⇒R =a /3=a ⋅3=a . 434344344
注：球内切于四面体：V B -AC D =⋅S 侧⋅R ⋅3+底⋅R =S 底⋅h 六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （×） [当b =0时，不成立] ③若∥，则存在小任一实数λ，使=λ. （×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0⋅a =0. （√）[这里用到λ(≠0) 之积仍为向量]
1
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（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a (≠0) ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使a =λb .
（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （。。。）（4）①共面向量定理：如果两个向量, 不共线，则向量与向量, 共面的充要条件是存在实数对x 、y 使=x +y .
②空间任一点、B 、C ，则OP =x OA +y OB +z OC (x +y +z =1) 是P ABC 四点共面．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．．．．．的充要条件. （简证：OP =(1-y -z ) OA +y OB +z OC =AP =y AB +z AC →P 、A 、B 、C 四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的．．．．a , b , c 不共面．．．有序实数组x 、y 、z ，使p =x a +y b +z c .
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、
z 使 OP =x OA +y OB +z OC (这里隐含x+y+z≠1).
D
注：设四面体ABCD 的三条棱，AB =b , AC =c , AD =d , 其
B
1
中Q 是△BCD 的重心，则向量AQ =(a +b +c ) 用AQ =AM +MQ 即证.
3
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2, a 3), =(b 1, b 2, b 3) ，则
a +b =(a 1±b 1, a 2±b 2, a 3±b 3)
λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R )
a 1a 2a 3
==b 1b 2b 3
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
a ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ⇔ ⊥⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
==a 12+a 22+a 3
2
(
=⋅⇒=)
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ⋅b
cos ==
222222|a |⋅|b |a 1+a 2+a 3⋅1+b 2+b 3
②空间两点的距离公式：d =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中A ∈α，则点B 到平面α。。
二、常用结论、方法和公式 4. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S底； 9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有
cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V , 面数为F, 棱数为E. 那么V+F－E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S底+S侧
1
14．棱锥的体积:V棱锥=Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。
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15. 球的体积公式V=πR 3，表面积公式S =4πR 2；
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