３８Ｓ＇Ｉ、ＵＤＩＥＳＩＮＣ（）Ｉ，Ｉ。ＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ高等数学研究Ｖ０１．１２，Ｎｏ．３
Ｍａｙ，２００９
关于交错级数收敛性判定的探讨＋
瞿勇
摘要张建军宋业新（海军工程大学理学院武汉４３００３３）对交错级数的收敛性判定思路进行探讨。运用莱布尼兹判别法结合级数收敛的性质，方
便地解决了几种典型交错级数收敛性判定问题．
关键词交错级数；莱布尼兹判别法；绝对收敛；条件收敛．中图分类号０１７３．ｉ
文［１］和文［２］介绍了关于交错级数收敛性的新的判别方法，但在教学中不太可能有时间介绍教材以外的其它判别法，学生也不易掌握．根据实际教学经验，我们认为在目前的教学体系下，只需要掌握其基本的判别法，而且利用级数收敛的性质及莱布尼兹判别法就可解决很多交错级数收敛性的判定问题．下面我们分三种情形来探讨交错级数收敛性的判定思路，并利用级数收敛的性质和莱布尼兹判别法解决文［１］和文［２］中交错级数的收敛性判定问题．
１能用绝对收敛来判别的情形
在交错级数的收敛性判别中，经常先考虑取绝对值后的级数是否收敛，如果收敛，则原级数收敛且绝对收敛‘３｜．
例ｌ
解判别交错级数∑（一１）一－玺上等土上的敛散性．因为ｈ，｛一半≤万３，ｊ“”５一——＿石一≮磊，
收敛且为而薹万３收敛，由比较判别法可知，级数薹Ｉ‰Ｉ收敛，从而级数薹（一１）
绝对收敛．
２能直接使用莱布尼兹判别法的情形
文１－１７介绍的３个交错级数的敛散性判别，使用了新的判别法来判定，事实上直接用莱布尼兹判别法就可以判定，下面加以说明．
例２
解讨论交错级数妻ｔｌ＝１（－－１），－ｔ［Ｌ｝≥丢素÷÷三等］’（ｐ＞。）的敛散性凹］．
如一ｌ■■丁可＿ｉ—矿ｊ’广１・３・５…・・（２聍——１）１９令
则
等＝（糍２）９＜・，ｆｌ，．＼２７７＋／、”
由数学归纳法易证得不等式：＊收稿Ｅｌ期：２００８—１１—２５，修改日期：２００９—０３—２６
第１２卷第３期瞿勇，张建军。宋业新：关于交错级数收敛性判定的探讨３９
丽≮１■石百ｉｉ酉＜Ｉ兰，ｌ，１・３・５・…・（２ｎ—１）（１）
√２挖＋１
由（１）式，显然有ｌｉｍｕ。一ｏ，依莱布尼兹判别法知，级数∑（一１）”１“。收敛，即原级数收敛．
又由（１）式再结合Ｐ一级数的收敛性，易知级数∑“。当０＜户≤２时发散，当夕＞２时收敛．故原级数当０＜Ｐ≤２时条件收敛，当ｐ＞２时绝对收敛．文［１］中交错级数；（－－ｉ）”１端的收敛性判定，因
（２ｎ）！矿■ｉｊ万一■■Ｔ■■ｉ＿西；ｒ’
即例２中ｐ—ｌ的情形，故级数条件收敛．
例３
解ｌ－３・５…・・（２ｎ一１）判别交错级数芝：（一Ｉ）”１ｉ生Ｉ的敛散性ｎ］．‘一ｐ’●＂Ｔ令
‰一而’
则
—Ｕｎ＋ｌ一——』Ｉ岫＜１，
“。ｅ（１＋土）ｉ
由文［４］中Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式导出的不等式ｅ，，ｓ＜—』ｋ＜ｅ，（ｎ／ｅ）”√ｋ
有下述不等式成立：
去＜南＜忐，
知级数∑Ｍ。发散，故原级数条件收敛．
３㈤从而显然有ｌｉｍ‰一ｏ，依莱布尼兹判别法可知，级数∑（一１）州甜。收敛，即原级数收敛；由（２）式易不能直接用莱布尼兹判别法的情形
在交错级数的敛散性判别中，莱布尼兹判别法使用起来非常方便，但是有些情况下的交错级数不满足莱布尼兹定理条件，看以下两个例子．
例４
解判别交错级数壹（一１）计１垄掣的敛散性口］．
，，十二因为ｃ叫州警一ｃ叫荆南＋南，７Ｚ十厶行十二
依莱布尼兹判别法易知交错级数；；（一ｌｒＨ莉２
例５收敛；又级数蚤而ｉ发散，故原级数发散．讨论交错级数∑（一１）”‘一ｎｐＪ，１兰万再（ｐ＞ｏ）的的敛散性・
４０高等数学研究２００９年５月
群凼力
（二！！！二！
矿＋（一１）”一１一（二！！：二‘一鲨二生！之尘一（二！！！二！型！一７，２ｐ—ｌ７ｚ！．２ｐ一１扎２ｐ—ｌ’
依莱布尼兹判别法易知交错级数薹与≥芝竿收敛．
又级数薹上ｎ２Ｐ－－
散，当ｐ＞ｉ１时收敛．当。＜夕≤丢时发散，当ｐ＞丢时收敛．从而原级数当。＜户≤ｉ１时发而级数蚤万了南是正项级数，且当声＞１时收敛・综上所述，交错级数；蚤（一１）”１矛了南当。＜夕≤虿１时发散，当丢＜夕≤１时条件收
注敛，当Ｐ＞１时绝对收敛．例４与例５都是不满足Ｉ“州Ｉ＜ｆ“。Ｊ的情况，所以不能直接使用莱布尼兹判别法判定．
判别级数虿１一ｉ１十百１一了１十百１一百１十虿１一订１＋…的敛散性嗍．例６
解由于级数的一般项可写为（一１）”叫ｉＦＦ÷Ｆ１丁，而
依莱布尼兹判别法易知交错级数蚤（一１）”１石旱去冬一１收敛，蚤石斋收敛，所以原级数是收敛的・易知正项级数∑ｎ＝ｌｃ叫”１再南一型号翁铲一（一”１瓦筠＋万拓，ｉＦ矿‰发散，故原级数条件收敛・
例４与例５的方法，其基本思路是利用类似于分母有理化方法恒等变形，将原级数分解为两级新夕和．再利胃级辑的悻厢桌判宗．娄似坏可锯澳许名情浔．．电Ⅱ它ｒ５］中的夺错级数薹ｃ叫州面矿斋，奎删（－－Ｉ∥
参考文献矗≮下ｉ歹再’等等．以上我们分三种情形讨论了交错级数收敛性的判定思路，利用级数收敛的性质和莱布尼兹判别法方便地解决了交错级数的发散、条件收敛和绝对收敛的判定问题，其判定思路简洁明了，不需要花很多的时间去解释，学生比较容易理解，从而能使学生更好地掌握交错级数收敛性的判定．
［１］刘晓玲，张艳霞．交错级数收敛性的一个判别法［Ｊ］．高等数学研究，２００７，１０（３）：５１．
［２］周玉霞．关于交错级数收敛的判定法的补充［Ｊ］．高等数学研究，２００７，１０（３）：４０．
［３］同济大学应用数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．第五版．北京：高等教育出版社，２００２．
［４－１（美］ＷａｌｔｅｒＲｕｄｉｎ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．３版．北京：机械工业出版社，２００４；２００［５］郑玉敏．一类交错级数敛散性的探讨［ｊ］．高等数学研究。２００１，４（２）：１１．
关于交错级数收敛性判定的探讨
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：瞿勇， 张建军， 宋业新海军工程大学理学院,武汉,430033高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009，12(3)0次
参考文献(5条)
1. 刘晓玲. 张艳霞 交错级数收敛性的一个判别法[期刊论文]-高等数学研究 2007(03)
2. 周玉霞 关于交错级数收敛的判定法的补充[期刊论文]-高等数学研究 2007(03)
3. 同济大学应用数学系 高等数学 2002
4. Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis 2004
5. 郑玉敏 一类交错级数敛散性的探讨[期刊论文]-高等数学研究 2001(02)
相似文献(7条)
1.期刊论文 肖清风 交错级数敛散性的讨论 -黄山学院学报2004,6(3)
对交错级数,首先给出了与莱布尼兹判别法相关的结论,然后,给出包容莱布尼兹判别法的结论,并举例说明.
2.期刊论文 蔡敏. 龚水法 交错级数收敛性的几个结果及其应用 -高等数学研究2009,12(3)
莱布尼兹判别法只是一个充分条件,有大量交错级数虽然不满足其条件,但却是收敛的.对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数,利用常数项级数收敛的定义及相关结果,可以证明在一定条件下它们都是收敛的.并通过实例说明所得结果的应用价值.
3.期刊论文 孙兰敏. 张平. SUN Lan-min. ZHANG Ping 双项交错级数敛散性的判定 -衡水学院学报2008,10(1)
本文给出了双项交错级数的定义,总结了判定双项交错级数敛散性的定义判别法、比值判别法、根值判别法等一般判别方法,证明了双项交错级数敛散性的一种特有判别法(与莱布尼兹判别法类似),讨论了如何用奇数项、偶数项构成的交错级数的绝对收敛来判定双项交错级数的绝对收敛与条件收敛.
4.期刊论文 范新华. FAN Xin-hua 关于交错级数敛散性判别法的一些探讨 -常州工学院学报2007,20(5)
文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论,结合交错级数自身的特性,提出了交错级数敛散性的一个判别定理.该定理的判别式是极限形式,运用起来十分简便,该判定定理推广了莱布尼兹判别法,并给出了应用.
5.期刊论文 苏翃. 邱利琼. 王大坤. 董建. SU Hong. QIU Li-qiong. WANG Da-kun. DONG Jian 一类交错级数的收敛定理 -大学数学2006,22(5)
讨论和分析了一类交错级数的收敛问题,给出了异于莱布尼兹判别法的关于交错级数的一个收敛定理.我们的结论还推广了正项级数的拉阿伯判别法的使用范围.
6.期刊论文 朱俊恭 级数莱布尼兹判别法的推广 -黔南民族师范学院学报2004,24(6)
将交错级数的概念推广,将莱布尼兹判别法也加以推广.
7.期刊论文 判别变号数值级数敛散性的一种方法 -数学通报2001,""(3)
设变号数值级数∞∑n=1 an (1),我们只对其中较为特殊的一种,即交错级数∞∑n=1(-1)n-1 an(2)有莱布尼兹判别法[1]P245.而在此定理的证明过程中及变号级数的性质[1]P233中,学生往往会觉得困惑:为什么有的级数加括号后收敛,而原级数并不收敛;但有的级数加括号收敛,而原级数也收敛.为此,他们需花费很多时间和精力来弄通这一部分.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200903013.aspx
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３８Ｓ＇Ｉ、ＵＤＩＥＳＩＮＣ（）Ｉ，Ｉ。ＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ高等数学研究Ｖ０１．１２，Ｎｏ．３
Ｍａｙ，２００９
关于交错级数收敛性判定的探讨＋
瞿勇
摘要张建军宋业新（海军工程大学理学院武汉４３００３３）对交错级数的收敛性判定思路进行探讨。运用莱布尼兹判别法结合级数收敛的性质，方
便地解决了几种典型交错级数收敛性判定问题．
关键词交错级数；莱布尼兹判别法；绝对收敛；条件收敛．中图分类号０１７３．ｉ
文［１］和文［２］介绍了关于交错级数收敛性的新的判别方法，但在教学中不太可能有时间介绍教材以外的其它判别法，学生也不易掌握．根据实际教学经验，我们认为在目前的教学体系下，只需要掌握其基本的判别法，而且利用级数收敛的性质及莱布尼兹判别法就可解决很多交错级数收敛性的判定问题．下面我们分三种情形来探讨交错级数收敛性的判定思路，并利用级数收敛的性质和莱布尼兹判别法解决文［１］和文［２］中交错级数的收敛性判定问题．
１能用绝对收敛来判别的情形
在交错级数的收敛性判别中，经常先考虑取绝对值后的级数是否收敛，如果收敛，则原级数收敛且绝对收敛‘３｜．
例ｌ
解判别交错级数∑（一１）一－玺上等土上的敛散性．因为ｈ，｛一半≤万３，ｊ“”５一——＿石一≮磊，
收敛且为而薹万３收敛，由比较判别法可知，级数薹Ｉ‰Ｉ收敛，从而级数薹（一１）
绝对收敛．
２能直接使用莱布尼兹判别法的情形
文１－１７介绍的３个交错级数的敛散性判别，使用了新的判别法来判定，事实上直接用莱布尼兹判别法就可以判定，下面加以说明．
例２
解讨论交错级数妻ｔｌ＝１（－－１），－ｔ［Ｌ｝≥丢素÷÷三等］’（ｐ＞。）的敛散性凹］．
如一ｌ■■丁可＿ｉ—矿ｊ’广１・３・５…・・（２聍——１）１９令
则
等＝（糍２）９＜・，ｆｌ，．＼２７７＋／、”
由数学归纳法易证得不等式：＊收稿Ｅｌ期：２００８—１１—２５，修改日期：２００９—０３—２６
第１２卷第３期瞿勇，张建军。宋业新：关于交错级数收敛性判定的探讨３９
丽≮１■石百ｉｉ酉＜Ｉ兰，ｌ，１・３・５・…・（２ｎ—１）（１）
√２挖＋１
由（１）式，显然有ｌｉｍｕ。一ｏ，依莱布尼兹判别法知，级数∑（一１）”１“。收敛，即原级数收敛．
又由（１）式再结合Ｐ一级数的收敛性，易知级数∑“。当０＜户≤２时发散，当夕＞２时收敛．故原级数当０＜Ｐ≤２时条件收敛，当ｐ＞２时绝对收敛．文［１］中交错级数；（－－ｉ）”１端的收敛性判定，因
（２ｎ）！矿■ｉｊ万一■■Ｔ■■ｉ＿西；ｒ’
即例２中ｐ—ｌ的情形，故级数条件收敛．
例３
解ｌ－３・５…・・（２ｎ一１）判别交错级数芝：（一Ｉ）”１ｉ生Ｉ的敛散性ｎ］．‘一ｐ’●＂Ｔ令
‰一而’
则
—Ｕｎ＋ｌ一——』Ｉ岫＜１，
“。ｅ（１＋土）ｉ
由文［４］中Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式导出的不等式ｅ，，ｓ＜—』ｋ＜ｅ，（ｎ／ｅ）”√ｋ
有下述不等式成立：
去＜南＜忐，
知级数∑Ｍ。发散，故原级数条件收敛．
３㈤从而显然有ｌｉｍ‰一ｏ，依莱布尼兹判别法可知，级数∑（一１）州甜。收敛，即原级数收敛；由（２）式易不能直接用莱布尼兹判别法的情形
在交错级数的敛散性判别中，莱布尼兹判别法使用起来非常方便，但是有些情况下的交错级数不满足莱布尼兹定理条件，看以下两个例子．
例４
解判别交错级数壹（一１）计１垄掣的敛散性口］．
，，十二因为ｃ叫州警一ｃ叫荆南＋南，７Ｚ十厶行十二
依莱布尼兹判别法易知交错级数；；（一ｌｒＨ莉２
例５收敛；又级数蚤而ｉ发散，故原级数发散．讨论交错级数∑（一１）”‘一ｎｐＪ，１兰万再（ｐ＞ｏ）的的敛散性・
４０高等数学研究２００９年５月
群凼力
（二！！！二！
矿＋（一１）”一１一（二！！：二‘一鲨二生！之尘一（二！！！二！型！一７，２ｐ—ｌ７ｚ！．２ｐ一１扎２ｐ—ｌ’
依莱布尼兹判别法易知交错级数薹与≥芝竿收敛．
又级数薹上ｎ２Ｐ－－
散，当ｐ＞ｉ１时收敛．当。＜夕≤丢时发散，当ｐ＞丢时收敛．从而原级数当。＜户≤ｉ１时发而级数蚤万了南是正项级数，且当声＞１时收敛・综上所述，交错级数；蚤（一１）”１矛了南当。＜夕≤虿１时发散，当丢＜夕≤１时条件收
注敛，当Ｐ＞１时绝对收敛．例４与例５都是不满足Ｉ“州Ｉ＜ｆ“。Ｊ的情况，所以不能直接使用莱布尼兹判别法判定．
判别级数虿１一ｉ１十百１一了１十百１一百１十虿１一订１＋…的敛散性嗍．例６
解由于级数的一般项可写为（一１）”叫ｉＦＦ÷Ｆ１丁，而
依莱布尼兹判别法易知交错级数蚤（一１）”１石旱去冬一１收敛，蚤石斋收敛，所以原级数是收敛的・易知正项级数∑ｎ＝ｌｃ叫”１再南一型号翁铲一（一”１瓦筠＋万拓，ｉＦ矿‰发散，故原级数条件收敛・
例４与例５的方法，其基本思路是利用类似于分母有理化方法恒等变形，将原级数分解为两级新夕和．再利胃级辑的悻厢桌判宗．娄似坏可锯澳许名情浔．．电Ⅱ它ｒ５］中的夺错级数薹ｃ叫州面矿斋，奎删（－－Ｉ∥
参考文献矗≮下ｉ歹再’等等．以上我们分三种情形讨论了交错级数收敛性的判定思路，利用级数收敛的性质和莱布尼兹判别法方便地解决了交错级数的发散、条件收敛和绝对收敛的判定问题，其判定思路简洁明了，不需要花很多的时间去解释，学生比较容易理解，从而能使学生更好地掌握交错级数收敛性的判定．
［１］刘晓玲，张艳霞．交错级数收敛性的一个判别法［Ｊ］．高等数学研究，２００７，１０（３）：５１．
［２］周玉霞．关于交错级数收敛的判定法的补充［Ｊ］．高等数学研究，２００７，１０（３）：４０．
［３］同济大学应用数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．第五版．北京：高等教育出版社，２００２．
［４－１（美］ＷａｌｔｅｒＲｕｄｉｎ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．３版．北京：机械工业出版社，２００４；２００［５］郑玉敏．一类交错级数敛散性的探讨［ｊ］．高等数学研究。２００１，４（２）：１１．
关于交错级数收敛性判定的探讨
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：瞿勇， 张建军， 宋业新海军工程大学理学院,武汉,430033高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009，12(3)0次
参考文献(5条)
1. 刘晓玲. 张艳霞 交错级数收敛性的一个判别法[期刊论文]-高等数学研究 2007(03)
2. 周玉霞 关于交错级数收敛的判定法的补充[期刊论文]-高等数学研究 2007(03)
3. 同济大学应用数学系 高等数学 2002
4. Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis 2004
5. 郑玉敏 一类交错级数敛散性的探讨[期刊论文]-高等数学研究 2001(02)
相似文献(7条)
1.期刊论文 肖清风 交错级数敛散性的讨论 -黄山学院学报2004,6(3)
对交错级数,首先给出了与莱布尼兹判别法相关的结论,然后,给出包容莱布尼兹判别法的结论,并举例说明.
2.期刊论文 蔡敏. 龚水法 交错级数收敛性的几个结果及其应用 -高等数学研究2009,12(3)
莱布尼兹判别法只是一个充分条件,有大量交错级数虽然不满足其条件,但却是收敛的.对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数,利用常数项级数收敛的定义及相关结果,可以证明在一定条件下它们都是收敛的.并通过实例说明所得结果的应用价值.
3.期刊论文 孙兰敏. 张平. SUN Lan-min. ZHANG Ping 双项交错级数敛散性的判定 -衡水学院学报2008,10(1)
本文给出了双项交错级数的定义,总结了判定双项交错级数敛散性的定义判别法、比值判别法、根值判别法等一般判别方法,证明了双项交错级数敛散性的一种特有判别法(与莱布尼兹判别法类似),讨论了如何用奇数项、偶数项构成的交错级数的绝对收敛来判定双项交错级数的绝对收敛与条件收敛.
4.期刊论文 范新华. FAN Xin-hua 关于交错级数敛散性判别法的一些探讨 -常州工学院学报2007,20(5)
文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论,结合交错级数自身的特性,提出了交错级数敛散性的一个判别定理.该定理的判别式是极限形式,运用起来十分简便,该判定定理推广了莱布尼兹判别法,并给出了应用.
5.期刊论文 苏翃. 邱利琼. 王大坤. 董建. SU Hong. QIU Li-qiong. WANG Da-kun. DONG Jian 一类交错级数的收敛定理 -大学数学2006,22(5)
讨论和分析了一类交错级数的收敛问题,给出了异于莱布尼兹判别法的关于交错级数的一个收敛定理.我们的结论还推广了正项级数的拉阿伯判别法的使用范围.
6.期刊论文 朱俊恭 级数莱布尼兹判别法的推广 -黔南民族师范学院学报2004,24(6)
将交错级数的概念推广,将莱布尼兹判别法也加以推广.
7.期刊论文 判别变号数值级数敛散性的一种方法 -数学通报2001,""(3)
设变号数值级数∞∑n=1 an (1),我们只对其中较为特殊的一种,即交错级数∞∑n=1(-1)n-1 an(2)有莱布尼兹判别法[1]P245.而在此定理的证明过程中及变号级数的性质[1]P233中,学生往往会觉得困惑:为什么有的级数加括号后收敛,而原级数并不收敛;但有的级数加括号收敛,而原级数也收敛.为此,他们需花费很多时间和精力来弄通这一部分.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200903013.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：686f60fc-8cb2-4394-9a52-9dcf00bc809d
下载时间：2010年8月11日