天弈辅导自编教材系列 数学基础知识
《天弈数学自编教材系列》
二0一六年寒假
天弈辅导自编教材系列 数学基础知识
目 录
第一讲 和绝对值有关的问题 第二讲：代数式的化简求值问题 第三讲：与一元一次方程有关的问题 第四讲：图形的初步认识 第五讲：线段和角 第六讲：相交线与平行线 第七讲：平面直角坐标系 第八讲：与三角形有关的线段 第九讲：与三角形有关的角 第十讲：二元一次方程组 第十四讲——含字母系数的一次不等式 第十五讲 —— 含绝对值的一次不等式
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数学基础知识讲义
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a a 的绝对值，记作|a|。 (2)
⎧a (当⎪⎪|a |=也可以写成： ⎨为⎪⎩a (说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c－a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：x 0，且
y >z >x ， 那
么
x +z +y +z -x -y
的值（ ）
A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x
由题意得：
x =3（1若x 在原点左侧，y 若x 在原点右侧，y （2若x 、y 若x 、y 例4．A ．1个 B ．2的解，利用绝对值的代
例5．（非负性）已知|11+ab a +1b +1分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2 111于是1+ ++ +
ab a +1b +1a +2b +2a +2007b +20071111+++ +22⨯33⨯42008⨯[1**********]=+-+-+ +-[1**********]09
1=1-
20092008=
2009=
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，
+ + + + 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为
分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？因为x 可以表示任意有理数，
所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与B 两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x
综上，我们得到（3）结合数轴求得分析：
1
2⨯
414⨯616⨯81
2008⨯2010
x x -2即x 与x +3=x -如图，x
图1 图2符合题意 （4） 满足
x ++x x +1x 是什么数
分析： 同理
时x 与-1或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，
A -B 表示的几何意义就是在数轴上表示数A
与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
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第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中
阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式2mx
求m
2
2
-x 2+5x +8-7x 2-3y +5x 的值与x 无关，
()
-2m 2-(5m -4)+m 的值.
[]
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式ax +bx +cx -6的值为8+bx +cx -6的值。 例3．当代数式x +3x +5的值为7时, 分析：观察两个代数式的系数
由x +3x +5=7 得x +3x 3x +9x =6
整体代人，3x +9x -2=
之一。
例4． 已知a +a -1=+2a +2007的值. 分析：解法一（整体代人）：
解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 解法三（降次、消元）：
例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）； B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)
由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。
2
3
2
2
2
2
2
2
5
3
3
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例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x
=
a b c ab ac bc
， +++++
a b c ab ac bc
则 ax +bx +cx +1的值是_______ 。
32
解：因为abc
又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。 不妨设a0，c>0 则ab0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b
规律探索问题：
例7．写出数字1，2，（1）“17“2008（2）若n
分析：OA 因为17=3×6-1因为2008=334例8． 第一列第一行第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
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n k
例9．（2014年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为2
n
k
（其中k 是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．
n n
k k
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，结果为2（其中k 是使2 为奇数的
26
F ② 第一次
13
F ① 第二次
44
F ② 第三次
11 „
正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169， 169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1， 1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8
再看运算的次数是44981， 所以，结果是8。
三、小结
一、知识回顾
方程是初中代数的重要内容，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题：
二、典型例题
2x -k x -3k
+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） 32
213A ． B．1 C．- D．0
711
3a -x
=0的解相同，则a 的值为多少？ 例2．若方程3x-5=4和方程1-3
例1．若关于x 的一元一次方程
例3. （方程与代数式联系）
a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算
a b
=ad -bc . c d
4（1）则12的值为 ；（2）当2=18 时，x -12(1-x ) 5
分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
a b 12=2-（-2）=4 因为=ad -bc ，所以c d -12
4 （2）由2=18 得：10-4（1-x ）=18
(1-x ) 5
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘
2分钟，他发现A 5人。此时，解：设开始时，每队有x 人在排队，
2分钟后，B 窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 根据题意，可列方程：
x x -21=2++ 462
去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26
所以，开始时，有26人排队。
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法： 思考：ax =b 是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以ax =b 不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程ax =b
解：（分类讨论）当a ≠0时，x =
b
a
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b ≠0时，即 0x=b，方程无解 即方程ax =b 的解有三种情况。
例7．问当a 、b
分析：先解关于x 解： 将原方程移项得 当2+b0，即b-2当2+b=0且a-4=0当2+b=0且a-4≠例 8． 解方程
x -1-a 分析：根据题意，ab 去分母，得 去括号，得 移项，并项得 当a+b≠0时，x 当a+b=0
例9． 解下列方程
5解法1：（分类讨论）
2
， 5x-2=3， 5x=5， x=1 5
2
因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1
52
当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
521
当5x-2
55121
因为x=-符合大前提x
555
当5x-2>0时，即x>
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综上，方程的解为x=1 或x=-
1 5
注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想： 类比：
a =3时，a=±3
5x -2=3，则5x-2=3或5x-2=-3
1
5
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=-
例10． 解方程
2x --5
x 例11． 解方程
三、小结
1212． （1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。 （2）立体图形的平面展开图 常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）
二、典型问题：
（一）正方体的侧面展开图（共十一种） 分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
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第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：
1. ）
（A ）3种 （B ）种 C 种 （D ）6种
2．下图中, )
A B C D 3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是
（ ）
c 8
A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④
较高要求：
4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的
4
b 25a
1
6 2
4
5
一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ ） A ．40 B.38 C.36 D. 34 分析： 由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17
所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）
7
8
9
A ．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C ．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10．下列几何体中是棱锥的是（ B ）
A . B . C . D .
11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题： （1）如果A 面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？
（2）若F 面在前面，B 面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C 面
在右面，D 面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外） 答案：（1）F ；（2）C ，A
（三）立体图形的三视图
13
A
B
(2)
C
D
12．如图，从正面看可看到△的是( )
14
15
A ．3 C ．5 （四）新颖题型
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .
分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿 所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=17
17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：
共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见„„
（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n) 个图形中看不见的小立方体的个数为____ 3个. 分析：
1 1=1 0=03 2 8=23 1=13 3 27=33 8=23
4 64=43 27=33 n n 3 (n-1) 3
第五讲：线段和角
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段
2 1
3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 „„
n 1+2+3+ „ +(n-1)=
n n -1 2
问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ D ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 „„
n 1+2+3+ „ +(n+1)=
(n +1)(n +2)
类比：从O 3 4 5 n
图形语言：几何语言： 典型例题：
1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）
（A ）AP=
11
2AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2
AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AB =1
2
AC ；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．
其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 如果点C 在线段AB 上, 下列表达式①AC=
1
2
AB; ②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 分析：据题意画出图形
N
5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a，BC=b，则线段AD 的长是（ ）
D
A 2（a-b ） B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，
则∠A OC =_________度（分类讨论）
2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 猜想：_______
3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠AOE ，∠COF 34，
求∠BOD 的度数．
4．如图，BO 、CO （1）若∠A = 60O ；
（2）若∠A =100°，∠O A =120°，∠O 又是多少？
（3）由（1）、（2A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）
5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线, 则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6．互为余角的两个角 （ ）
（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关 （C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关
7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）
A.
1111
（∠1＋∠2） B.∠1 C.（∠1－∠2） D.∠2 2222
第六讲：相交线与平行线
一、知识框架
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图所示, 下列说法不正确的是( )
A. 点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C. 线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3. 下列说法正确的有( )
①在平面内, 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内, 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内, 过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内, 有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）
A
B
C
F
D
E
A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立的是（ ） ．．．．A. CD>AD B.ACBD D. CD
7．如图,AB ∥EF ∥•A.6个 B.5个
8．如图，直线l 1、l 2 l 3l l 1 C
A
D
B
D
23
9. 如图，在4⨯4
10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O, ∠1=∠2, ∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)
11． 如图所示, 已知AB ∥CD, 分别探索下列四个图形中∠P 与∠A, ∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以
说明.
A
A P
B
B
P
A
P B D
A C
P
B D
D
C
(1) (2) (3) (4)
（1）分析：过点P 作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C-∠A, （4）∠P=∠A-∠C
12．如图，若
证出：x+y-z=90°
13．已知：如图， 求证：∠E =∠F 分析：法一
法二：由AB//CD证明∠PAB=∠APC ， 所以∠EAP=∠APF 所以AE//FP 所以∠E =∠F
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第七讲：平面直角坐标系
一、知识要点：
1、特殊位置的点的特征
（1）各个象限的点的横、纵坐标符号
（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为(x , 0) , 即纵坐标为0;
y 轴上的点的坐标为(0, y ) ，即横坐标为0;
2、具有特殊位置的点的坐标特征 设P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2)
P 1、P 2两点关于x 轴对称⇔x 1=x 2，且y 1=-y 2; P 1、P 2两点关于y 轴对称⇔x 1=-x 2，且y 1=y 2; P 1、P 2两点关于原点轴对称⇔x 1=-x 2，且y 13、距离
（1）点A (x , y ) 到轴的距离：点A 到x |（2 A (x A , 0) 、B (x B , 0) ，则|到y 轴的距离为|x |；
A B (y A ) 、B (0, y B ) ，则AB =|y A -y B |；
二、典型例题
1、已知点M 的坐标为（x ，y ），如果xy
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上 3．已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点P （1，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（-2，1）
5．如果点M （1-x ，1-y ） 在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。
6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o) 表示帅的位置， 用(3，9) 表示将的位置，那么炮的位置应表示为 A ．(8，7) B ．(7，8) C ．(8，9)D ．(8，8)
7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0）， （5，0），（2，3）则顶点C 的坐标为（ ）
A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 8．已知点P （x ,
，则点P 一定 （ ） x ）
A ．在第一象限 B ．在第一或第四象限 C ．在x 轴上方 D ．不在x 轴下方
9．已知长方形ABCD
_ ______。 10．三角形ABC 2个单位长度，再向上平移3 A．（2，2），（3， C．（-2，2），（311．“若点P 、Q
已知点A 、B 、C 段AC 、BC 的中点
12．如图，得到OA '，则点A '3) Ｂ．(-Ａ．(-4，分析：
13．如图，三角形AOB 中，A 、B 两点的坐标分别为（-4，-6），
（-6，-3），求三角形AOB 的面积 解：做辅助线如图．
S△AOB =S梯形BCDO -（S △ABC +S△OAD ）
=
14．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，
横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 分析： （1）80
（2111
×（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=12． 222
15．如图，已知A 1A 5（2，-1）
答案：(-502,502)
一、相关知识点
1．三角形的边
即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c－b ，b>a－c ，c>b－a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2． 高
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
二、典型例题
（一）三边关系
1．已知三角形三边分别为2,a-1,4, 那么a 的取值范围是( ) A.1
2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m 和5m 的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？
可以是多少？
分析：设第三根木棒的长度为x ， 则3
所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12
3：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线 求证：D
分析：因为 所以 因为AD 是 所以
问题：（1 （2
4垂足分别为E 、F A ．5 B 分析：
5．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，
DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。 分析：∠CED=40°+34°=74°
所以∠CDF=74°
6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。 分析：
A
C
D
C
A
A
A A
7（（（（（
8
9．已知: BF为∠ABC 的角平分线, CF 为外角∠ACG 的角平分线,
求: ∠F 与∠A 的关系 分析：
∠F=
C
1∠A 2
思考题：如图：∠ABC 与∠ACG 的平分线交于F1；∠F1BC 与∠F1CG 的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC 与∠F2CG 的平分线交于F3；…探究∠Fn 与∠A 的关系（n 为自然数）
1． 2． F
B
1．如图, 在△ABC 中, ∠B=∠C, ∠BAD=40°, 且∠ADE=∠AED, 求∠CDE 的度数.
分析：∠CDE=∠ADC-∠2 ∠1=∠B+40°-∠2
∠1=∠B+40°-（∠1+∠C ） 2∠1=40°
∠1=20°
2．如图：在△ABC 中，∠C >∠B ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 求证：∠EAD ＝
3．已知：CE 是△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 于E 求证：∠BAC>∠B 分析：
问题2：如何证明n B
1
（∠C －∠B ） 2
E C
45．（ ）
A. 6米
一、相关知识点
1、 二元一次方程的定义：
经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。 2、二元一次方程的标准式：
ax +by +c =0(a ≠0, b ≠0)
3、 一元一次方程的解的概念：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和
y 的值，叫做这个方程的一个解。
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4、 二元一次方程组的定义：
方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
x +y =1，，， Ｂ．⎧x +y =1Ａ．⎧x =1 Ｃ．⎧Ｄ．⎧y =x ， ⎨⎨⎨⎨⎩xy =0．⎩x -y =0．⎩y +2=3．⎩x -2y =1．
x =3，2．有这样一道题目：判断⎧是否是方程组⎧x +2y -5=0，的解？ ⎨⎨
⎩y =1⎩2x +3y -5=0
3，x +2y -5=0，小明的解答过程是：将x =3，y =1代入方程x +2y -5=0，等式成立．所以⎧⎧的解． ⎨⎨
y ⎩⎩2x +3y -5=0
小颖的解答过程是：将x =3，y =1分别代入方程x +2y -5=02x +x +2y -5=0，
⎧x =3，⎧x +2y -5=0，
2x +3y -5≠0．所以⎨不是方程组⎨的解．
y =12x +3y -5=0⎩⎩
你认为上面的解答过程哪个对？为什么？
3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；的取值应是（ ）
A 、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3 4．解方程组⎨
⎧⎪6m -3n +1=0
⎪⎩3m +2n -10=0
(1)
2(方法一：（代入消元法） 方法二：（加减消元法） 方法三：（整体代入法） 5．已知方程组⎨
⎧2a -b ==8. 3⎧2(x +2)-3(y -1)=13⎨，则方程组⎨的解是（ ）
()()3a +5b =30. b =1. 23x +2+5y -1=30. 9⎩⎩⎩
A ．⎨
⎧x =8. 3⎧x =10. 3⎧x =6. 3⎧x =10. 3
B ．⎨ C ．⎨ D ．⎨
⎩y =1. 2⎩y =2. 2⎩y =2. 2⎩y =0. 2
⎧45
⎪x +y =13⎧⎪x :y =3:2⎪6．⎨ 7．解方程组⎨
45⎪⎩3x -5y =3⎪-=3⎪⎩x y
8．解三元一次方程组
(1)
(2)
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⎧x +2y +z =8 (1)⎪
⎨x -y =-1 (2)
⎪x +2z =2y +3 (3)⎩
消元 转化
消元
9．字母系数的二元一次方程组 （
1）当a 为何值时，方程组⎨
（1） 当m 为何值时，方程组⎨
⎧ax +2y =1
有唯一的解
3x +y =3⎩
⎧x +2y =1
⎩2x +my =2
10．一副三角板按如图方式摆放，且∠50，若设∠1的度数为x ，
∠2的度数为y
A ．⎨
⎧x =y -50，=y -50，⎧x =y +50，
B ．⎨ D ．⎨
x +y =180+x +y =90x +y =90⎩⎩⎩
11A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ）
⎧0. 9x =1. 1y ⎧1. 1x =0. 9y ⎧0. 9x =1. 1y ⎧1. 1x =0. 9y A ．⎨ B ．⎨ C ．⎨ D ．⎨
y -x =24x -y =24x -y =24y -x =24⎩⎩⎩⎩
12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
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张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。
第十一讲：一元一次不等式
一、知识链接：
1．不等式的基本性质
通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。
性质1 若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。
性质2若a>b且c>0，则ac>bc。
性质3 若a>b且c
3．一元一次不等式的定义：
像2x -70（a ≠0）或ax +b b 则（1）当⎨
⎧x >a
时，则x >a ，即“大大取大”
⎩x >b
⎧x
时，则x
（2）当⎨
⎧x
（3）当⎨时，则b ⎩x >b
（4）当⎨
⎧x >a
时，则无解，即“大大小小取不了”
⎩x
二、典型例题：
1．下列关系不正确的是（ ）
A ．若a >b ，则b b ，b >c ，则a >c
C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D ．若a >b ，c >d ，则a -c >b -d 2．已知x >y 且xy y B ．
3C ．若a >0，b 0，bc
6．解关于x 的不等式
7．若不等式m
(x -2)>x +1和3x -5
8．不等式组⎨
9．若不等式组⎨
⎧2x +7>3x -1
的解集为________________.
⎩x -2≥0
⎧x +8
的解是x>3，则m 的取值范围是（ ）
⎩x ≥m
A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m =3 D ．m
10． 关于x
A ．-
11．已知关于x 、
12．解下列不等式（1
思考题：解下列含绝对值的不等式。 （1）
115
2x -1
≥4 3
第十二讲：一元一次不等式（组）的应用
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。 2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。 3．能够用分类讨论思想解有关问题。 4．能利用不等式解决实际问题
二、典型例题
1．m
2．已知x 、
3．比较a
-3a +1和（作差法比大小）
2
y 满足x 4．若方程组
5．k 取怎样的整数时，方程组⎨
⎧kx -2y =3⎧x >0
的解满足⎨.
⎩y
6．若2(a -3) ＜
7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.
不等式
2-a a (x -4)，求不等式＜x -a 的解集 35
x -1
>0的解的过程如下： x -2
解：根据题意，得
⎨
⎧⎩解不等式组○1，得所以原不等式的解为由不等式
x +2
≥x -5
正确解法：由不等式
8元，然后每月必须缴501分钟0.6元．若每月通话时间为x 分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为合算．
y 1和y 2，请算一算，哪种对用户
9．某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？
分析：（1）据题意得：⎨
⎧20x +30(100-x )≤2800
⎩40x +20(100-x )≤2800
解不等式组，得 20≤x ≤40
因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。 （2）由题意得：
y =2. 6x +2. 8(100-x )
整理得：y =-0. 2x +280
因为y 随x
10360台产值如下表：
产值是多少万元？
⎧
⎪⎪根据题意得：⎪⎨
⎪0≤x ≤⎪
⎪⎩
⎧⎪由（1）和（2）知 ⎪⎨⎪y ⎪⎩⎩
解得：40≤z ≤240
13
P =0.4x +0.3y +0.2z ＝0.4⨯z +0.3(360-z ) +0.2z ＝108-0.05z
22
要使P 最大，只需z 最小 当z =40时
P 最大＝108－0.05×40＝106(万元)
1
z =20（台） 2
3
-z =30（台）0 y =360 2
此时x =
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？
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第十三讲——方程与不等式的应用
一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。 一、不等式与方程的综合题 例1．已知关于x 的方程组⎨
⎧3x +2y =p +1
的解满足x ＞y ，求 p 的取值范围。
⎩4x +3y =p -1
⎧3x +2y =p +1⑴解：⎨（1）×3+（2）×（-2）：x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7
4x +3y =p -1⑵⎩
因为 x ＞y ，所以p+5＞-p-7，解得p>-6 另解：（整体代入）
（2）-（1）：x+y=-2 （3）
把（3）代入（1），x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 x ＞y ，所以p+5＞-p-7，解得p>-6
例2． 若x +y +z =30，3x +y -z =50，x 、
y 、z 5x y +2z 的取值范围。
解：⎨
⎧x +y +z =30
⎩3x +y -z =50
（1）+（2）：4x+2y=80 , y=40-2x （3） 把（3）代入（1）：z=x-10 （4） 所以：M=-x+140即x=140-M （5）
⎧x =≤140
⎪⎪
分别将（5）代入（3）（4）：⎨y =解得⎨M ≥120
⎪⎪M ≤130⎩
所以120≤M ≤130
二、不定方程（组）
，这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。
例3．若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
解：设有x 只蟋蟀，y 只蜘蛛，则有：
6x +8y =46（称之为不定方程） 3x +4y =23„„①
下面求此方程的非负整数解 由①得：x =
23-4y
„„② 3
∵ x ≥0 ∴ 用当
23-4y
≥0 ∴0≤y ≤5 3
y ＝0，1，2，3，4，5代入②式： y ＝0时，x =
23
不为整数，舍去 319
当y ＝1时，x =不为整数，舍去
3
当当
y ＝2时，x =5为非负整数，符合条件 y ＝3时，x =
11
不为整数，舍去 37
当y ＝4时，x =不为整数，舍去
当
y ＝5例4
解：设分成55x +3y =∵ y ≥0 ∴0≤x ≤7
用x ＝0，1当x ＝0时，由①得：y =
当x ＝1时，28
不为整数，舍去 323
当x ＝3时，y =不为整数，舍去
3
当x ＝2时，y =
当x ＝4时，y =6为非负整数，符合条件
13
不为整数，舍去 38
当x ＝6时，y =不为整数，舍去
3
当x ＝5时，y =
当x ＝7时，y =1为非负整数，符合条件
所以原不定方程的非负整数解为⎨
⎧x =1⎧x =4⎧x =7
，⎨，⎨
⎩y =11⎩y =6⎩y =1
例5．某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可能有多少种不同的买法？ 解：设买一元邮票x 张，8角邮票y 张，2角邮票z 张。根据题意得：
x +y +z =20 (1)⎧
（此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数） ⎨
⎩10x +8y +2z =150 (2)
下面我们求此不定方程组的正整数解 由（2）得：5x +4y +z =75„„（3） 由（3）－（1）得：4x +3y =55
∵y >0 ∴y =
经验证当x ＝1，
所以共有5
（一）形如
x =例6． （1）
5x -2=2
因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1
52
当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
521
当5x-2
55121
因为x=-符合大前提x
555
1
综上，方程的解为x=1 或x=-
5
当解法1：注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件 解法2：（整体思想）
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联想： 类比：
a =3时，a=±3
5x -2=3，则5x-2=3或5x-2=-3
1 5
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=-
（2）
x -15
-1=
6-x 5
例7．解方程解法1： 解法2： 解法3： 例8解方程
4x +2=x -1
x +3+x -=7
因而要分类讨论，两个绝对值分正负讨论，共有下面四中组合 可见，即使不讨论绝对值等于0的情形，就已经很复杂。 我们一般采用下面的方法（零点分段法） 方法二：
解：令x +3=0解得：x =-3
x -2=0解得：x =2
表示－3和2
（1） 当x
解得：x =-4
∵x =-4满足x
（2） 当-3≤x ≤2时，x +3≥0，x -2≤0
) 原方程可化为： x +3-(x -2= 7 可化为：0x =2此方程无解
（3） 当x >2时，x +3>0，x -2>0 原方程可化为：x +3+x -2=7
解得：x =3 ∵x =3满足x >2 ∴x =3是原方程的一个解。
综上所述：原方程的解是x =-4或x =3
例9．解方程
x -4+x +3=7
第十四讲——含字母系数的一次不等式
一元一次不等式（组）是我们熟知的内容，但对于含字母系数和含绝对值的不等式（组）还比较陌生，本讲我们将学习含字母系数的不等式（组）的解法。
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例1．解下列关于x 的不等式 （1）
例2．
a b
x +b >x +ab 22
(a >b ) （2）
k (kx +1)
(m +1) x m mx 1
+≥+ 2332
说明：解含字母系数的不等式欲解含数字系数的不等式的方法、步骤是一样的，所不同的是，前者在最后一步要根据题中附加条件、隐含条件去判断未知数系数的正负，从而确定不等号是否反向的问题。 例3．下面四个结论中，正确的个数有（ ）
b b
②ax
b b 2
③-ax >b ，当a
x >- ④a +1x >-b 的解集是x
①ax =b ，当a ≠0时解为x =
()
A ．1个例4．（1） 例5． 讨论关于x 类比：如何解关于x 思考：如何解关于x 例6．已知a 、b 则不等式
(a -4b )x +例7. 解关于 ax +b 例8．如果适合不等式
（1）解关于x 例1 ．例2．解下列含绝对值的不等式。
（1）
2x -
3-3x -12x -1
43
例3．例5．
x +23x +14 x -5-x +23
⎧x +1
例7．解不等式组⎨
⎩x +2>0
⑴
例8．x ≥x -3⑵
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《天弈数学自编教材系列》
二0一六年寒假
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目 录
第一讲 和绝对值有关的问题 第二讲：代数式的化简求值问题 第三讲：与一元一次方程有关的问题 第四讲：图形的初步认识 第五讲：线段和角 第六讲：相交线与平行线 第七讲：平面直角坐标系 第八讲：与三角形有关的线段 第九讲：与三角形有关的角 第十讲：二元一次方程组 第十四讲——含字母系数的一次不等式 第十五讲 —— 含绝对值的一次不等式
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数学基础知识讲义
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a a 的绝对值，记作|a|。 (2)
⎧a (当⎪⎪|a |=也可以写成： ⎨为⎪⎩a (说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c－a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：x 0，且
y >z >x ， 那
么
x +z +y +z -x -y
的值（ ）
A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x
由题意得：
x =3（1若x 在原点左侧，y 若x 在原点右侧，y （2若x 、y 若x 、y 例4．A ．1个 B ．2的解，利用绝对值的代
例5．（非负性）已知|11+ab a +1b +1分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2 111于是1+ ++ +
ab a +1b +1a +2b +2a +2007b +20071111+++ +22⨯33⨯42008⨯[1**********]=+-+-+ +-[1**********]09
1=1-
20092008=
2009=
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，
+ + + + 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为
分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？因为x 可以表示任意有理数，
所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与B 两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x
综上，我们得到（3）结合数轴求得分析：
1
2⨯
414⨯616⨯81
2008⨯2010
x x -2即x 与x +3=x -如图，x
图1 图2符合题意 （4） 满足
x ++x x +1x 是什么数
分析： 同理
时x 与-1或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，
A -B 表示的几何意义就是在数轴上表示数A
与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
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第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中
阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式2mx
求m
2
2
-x 2+5x +8-7x 2-3y +5x 的值与x 无关，
()
-2m 2-(5m -4)+m 的值.
[]
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式ax +bx +cx -6的值为8+bx +cx -6的值。 例3．当代数式x +3x +5的值为7时, 分析：观察两个代数式的系数
由x +3x +5=7 得x +3x 3x +9x =6
整体代人，3x +9x -2=
之一。
例4． 已知a +a -1=+2a +2007的值. 分析：解法一（整体代人）：
解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 解法三（降次、消元）：
例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）； B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)
由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。
2
3
2
2
2
2
2
2
5
3
3
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例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x
=
a b c ab ac bc
， +++++
a b c ab ac bc
则 ax +bx +cx +1的值是_______ 。
32
解：因为abc
又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。 不妨设a0，c>0 则ab0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b
规律探索问题：
例7．写出数字1，2，（1）“17“2008（2）若n
分析：OA 因为17=3×6-1因为2008=334例8． 第一列第一行第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
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n k
例9．（2014年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为2
n
k
（其中k 是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．
n n
k k
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，结果为2（其中k 是使2 为奇数的
26
F ② 第一次
13
F ① 第二次
44
F ② 第三次
11 „
正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169， 169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1， 1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8
再看运算的次数是44981， 所以，结果是8。
三、小结
一、知识回顾
方程是初中代数的重要内容，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题：
二、典型例题
2x -k x -3k
+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） 32
213A ． B．1 C．- D．0
711
3a -x
=0的解相同，则a 的值为多少？ 例2．若方程3x-5=4和方程1-3
例1．若关于x 的一元一次方程
例3. （方程与代数式联系）
a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算
a b
=ad -bc . c d
4（1）则12的值为 ；（2）当2=18 时，x -12(1-x ) 5
分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
a b 12=2-（-2）=4 因为=ad -bc ，所以c d -12
4 （2）由2=18 得：10-4（1-x ）=18
(1-x ) 5
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘
2分钟，他发现A 5人。此时，解：设开始时，每队有x 人在排队，
2分钟后，B 窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 根据题意，可列方程：
x x -21=2++ 462
去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26
所以，开始时，有26人排队。
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法： 思考：ax =b 是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以ax =b 不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程ax =b
解：（分类讨论）当a ≠0时，x =
b
a
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b ≠0时，即 0x=b，方程无解 即方程ax =b 的解有三种情况。
例7．问当a 、b
分析：先解关于x 解： 将原方程移项得 当2+b0，即b-2当2+b=0且a-4=0当2+b=0且a-4≠例 8． 解方程
x -1-a 分析：根据题意，ab 去分母，得 去括号，得 移项，并项得 当a+b≠0时，x 当a+b=0
例9． 解下列方程
5解法1：（分类讨论）
2
， 5x-2=3， 5x=5， x=1 5
2
因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1
52
当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
521
当5x-2
55121
因为x=-符合大前提x
555
当5x-2>0时，即x>
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综上，方程的解为x=1 或x=-
1 5
注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想： 类比：
a =3时，a=±3
5x -2=3，则5x-2=3或5x-2=-3
1
5
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=-
例10． 解方程
2x --5
x 例11． 解方程
三、小结
1212． （1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。 （2）立体图形的平面展开图 常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）
二、典型问题：
（一）正方体的侧面展开图（共十一种） 分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
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第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：
1. ）
（A ）3种 （B ）种 C 种 （D ）6种
2．下图中, )
A B C D 3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是
（ ）
c 8
A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④
较高要求：
4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的
4
b 25a
1
6 2
4
5
一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ ） A ．40 B.38 C.36 D. 34 分析： 由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17
所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）
7
8
9
A ．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C ．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10．下列几何体中是棱锥的是（ B ）
A . B . C . D .
11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题： （1）如果A 面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？
（2）若F 面在前面，B 面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C 面
在右面，D 面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外） 答案：（1）F ；（2）C ，A
（三）立体图形的三视图
13
A
B
(2)
C
D
12．如图，从正面看可看到△的是( )
14
15
A ．3 C ．5 （四）新颖题型
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .
分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿 所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=17
17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：
共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见„„
（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n) 个图形中看不见的小立方体的个数为____ 3个. 分析：
1 1=1 0=03 2 8=23 1=13 3 27=33 8=23
4 64=43 27=33 n n 3 (n-1) 3
第五讲：线段和角
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段
2 1
3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 „„
n 1+2+3+ „ +(n-1)=
n n -1 2
问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ D ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 „„
n 1+2+3+ „ +(n+1)=
(n +1)(n +2)
类比：从O 3 4 5 n
图形语言：几何语言： 典型例题：
1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）
（A ）AP=
11
2AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2
AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AB =1
2
AC ；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．
其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 如果点C 在线段AB 上, 下列表达式①AC=
1
2
AB; ②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 分析：据题意画出图形
N
5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a，BC=b，则线段AD 的长是（ ）
D
A 2（a-b ） B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，
则∠A OC =_________度（分类讨论）
2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 猜想：_______
3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠AOE ，∠COF 34，
求∠BOD 的度数．
4．如图，BO 、CO （1）若∠A = 60O ；
（2）若∠A =100°，∠O A =120°，∠O 又是多少？
（3）由（1）、（2A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）
5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线, 则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6．互为余角的两个角 （ ）
（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关 （C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关
7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）
A.
1111
（∠1＋∠2） B.∠1 C.（∠1－∠2） D.∠2 2222
第六讲：相交线与平行线
一、知识框架
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图所示, 下列说法不正确的是( )
A. 点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C. 线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3. 下列说法正确的有( )
①在平面内, 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内, 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内, 过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内, 有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）
A
B
C
F
D
E
A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立的是（ ） ．．．．A. CD>AD B.ACBD D. CD
7．如图,AB ∥EF ∥•A.6个 B.5个
8．如图，直线l 1、l 2 l 3l l 1 C
A
D
B
D
23
9. 如图，在4⨯4
10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O, ∠1=∠2, ∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)
11． 如图所示, 已知AB ∥CD, 分别探索下列四个图形中∠P 与∠A, ∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以
说明.
A
A P
B
B
P
A
P B D
A C
P
B D
D
C
(1) (2) (3) (4)
（1）分析：过点P 作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C-∠A, （4）∠P=∠A-∠C
12．如图，若
证出：x+y-z=90°
13．已知：如图， 求证：∠E =∠F 分析：法一
法二：由AB//CD证明∠PAB=∠APC ， 所以∠EAP=∠APF 所以AE//FP 所以∠E =∠F
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第七讲：平面直角坐标系
一、知识要点：
1、特殊位置的点的特征
（1）各个象限的点的横、纵坐标符号
（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为(x , 0) , 即纵坐标为0;
y 轴上的点的坐标为(0, y ) ，即横坐标为0;
2、具有特殊位置的点的坐标特征 设P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2)
P 1、P 2两点关于x 轴对称⇔x 1=x 2，且y 1=-y 2; P 1、P 2两点关于y 轴对称⇔x 1=-x 2，且y 1=y 2; P 1、P 2两点关于原点轴对称⇔x 1=-x 2，且y 13、距离
（1）点A (x , y ) 到轴的距离：点A 到x |（2 A (x A , 0) 、B (x B , 0) ，则|到y 轴的距离为|x |；
A B (y A ) 、B (0, y B ) ，则AB =|y A -y B |；
二、典型例题
1、已知点M 的坐标为（x ，y ），如果xy
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上 3．已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点P （1，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（-2，1）
5．如果点M （1-x ，1-y ） 在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。
6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o) 表示帅的位置， 用(3，9) 表示将的位置，那么炮的位置应表示为 A ．(8，7) B ．(7，8) C ．(8，9)D ．(8，8)
7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0）， （5，0），（2，3）则顶点C 的坐标为（ ）
A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 8．已知点P （x ,
，则点P 一定 （ ） x ）
A ．在第一象限 B ．在第一或第四象限 C ．在x 轴上方 D ．不在x 轴下方
9．已知长方形ABCD
_ ______。 10．三角形ABC 2个单位长度，再向上平移3 A．（2，2），（3， C．（-2，2），（311．“若点P 、Q
已知点A 、B 、C 段AC 、BC 的中点
12．如图，得到OA '，则点A '3) Ｂ．(-Ａ．(-4，分析：
13．如图，三角形AOB 中，A 、B 两点的坐标分别为（-4，-6），
（-6，-3），求三角形AOB 的面积 解：做辅助线如图．
S△AOB =S梯形BCDO -（S △ABC +S△OAD ）
=
14．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，
横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 分析： （1）80
（2111
×（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=12． 222
15．如图，已知A 1A 5（2，-1）
答案：(-502,502)
一、相关知识点
1．三角形的边
即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c－b ，b>a－c ，c>b－a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2． 高
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
二、典型例题
（一）三边关系
1．已知三角形三边分别为2,a-1,4, 那么a 的取值范围是( ) A.1
2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m 和5m 的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？
可以是多少？
分析：设第三根木棒的长度为x ， 则3
所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12
3：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线 求证：D
分析：因为 所以 因为AD 是 所以
问题：（1 （2
4垂足分别为E 、F A ．5 B 分析：
5．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，
DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。 分析：∠CED=40°+34°=74°
所以∠CDF=74°
6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。 分析：
A
C
D
C
A
A
A A
7（（（（（
8
9．已知: BF为∠ABC 的角平分线, CF 为外角∠ACG 的角平分线,
求: ∠F 与∠A 的关系 分析：
∠F=
C
1∠A 2
思考题：如图：∠ABC 与∠ACG 的平分线交于F1；∠F1BC 与∠F1CG 的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC 与∠F2CG 的平分线交于F3；…探究∠Fn 与∠A 的关系（n 为自然数）
1． 2． F
B
1．如图, 在△ABC 中, ∠B=∠C, ∠BAD=40°, 且∠ADE=∠AED, 求∠CDE 的度数.
分析：∠CDE=∠ADC-∠2 ∠1=∠B+40°-∠2
∠1=∠B+40°-（∠1+∠C ） 2∠1=40°
∠1=20°
2．如图：在△ABC 中，∠C >∠B ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 求证：∠EAD ＝
3．已知：CE 是△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 于E 求证：∠BAC>∠B 分析：
问题2：如何证明n B
1
（∠C －∠B ） 2
E C
45．（ ）
A. 6米
一、相关知识点
1、 二元一次方程的定义：
经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。 2、二元一次方程的标准式：
ax +by +c =0(a ≠0, b ≠0)
3、 一元一次方程的解的概念：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和
y 的值，叫做这个方程的一个解。
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4、 二元一次方程组的定义：
方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
x +y =1，，， Ｂ．⎧x +y =1Ａ．⎧x =1 Ｃ．⎧Ｄ．⎧y =x ， ⎨⎨⎨⎨⎩xy =0．⎩x -y =0．⎩y +2=3．⎩x -2y =1．
x =3，2．有这样一道题目：判断⎧是否是方程组⎧x +2y -5=0，的解？ ⎨⎨
⎩y =1⎩2x +3y -5=0
3，x +2y -5=0，小明的解答过程是：将x =3，y =1代入方程x +2y -5=0，等式成立．所以⎧⎧的解． ⎨⎨
y ⎩⎩2x +3y -5=0
小颖的解答过程是：将x =3，y =1分别代入方程x +2y -5=02x +x +2y -5=0，
⎧x =3，⎧x +2y -5=0，
2x +3y -5≠0．所以⎨不是方程组⎨的解．
y =12x +3y -5=0⎩⎩
你认为上面的解答过程哪个对？为什么？
3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；的取值应是（ ）
A 、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3 4．解方程组⎨
⎧⎪6m -3n +1=0
⎪⎩3m +2n -10=0
(1)
2(方法一：（代入消元法） 方法二：（加减消元法） 方法三：（整体代入法） 5．已知方程组⎨
⎧2a -b ==8. 3⎧2(x +2)-3(y -1)=13⎨，则方程组⎨的解是（ ）
()()3a +5b =30. b =1. 23x +2+5y -1=30. 9⎩⎩⎩
A ．⎨
⎧x =8. 3⎧x =10. 3⎧x =6. 3⎧x =10. 3
B ．⎨ C ．⎨ D ．⎨
⎩y =1. 2⎩y =2. 2⎩y =2. 2⎩y =0. 2
⎧45
⎪x +y =13⎧⎪x :y =3:2⎪6．⎨ 7．解方程组⎨
45⎪⎩3x -5y =3⎪-=3⎪⎩x y
8．解三元一次方程组
(1)
(2)
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⎧x +2y +z =8 (1)⎪
⎨x -y =-1 (2)
⎪x +2z =2y +3 (3)⎩
消元 转化
消元
9．字母系数的二元一次方程组 （
1）当a 为何值时，方程组⎨
（1） 当m 为何值时，方程组⎨
⎧ax +2y =1
有唯一的解
3x +y =3⎩
⎧x +2y =1
⎩2x +my =2
10．一副三角板按如图方式摆放，且∠50，若设∠1的度数为x ，
∠2的度数为y
A ．⎨
⎧x =y -50，=y -50，⎧x =y +50，
B ．⎨ D ．⎨
x +y =180+x +y =90x +y =90⎩⎩⎩
11A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ）
⎧0. 9x =1. 1y ⎧1. 1x =0. 9y ⎧0. 9x =1. 1y ⎧1. 1x =0. 9y A ．⎨ B ．⎨ C ．⎨ D ．⎨
y -x =24x -y =24x -y =24y -x =24⎩⎩⎩⎩
12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
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张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。
第十一讲：一元一次不等式
一、知识链接：
1．不等式的基本性质
通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。
性质1 若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。
性质2若a>b且c>0，则ac>bc。
性质3 若a>b且c
3．一元一次不等式的定义：
像2x -70（a ≠0）或ax +b b 则（1）当⎨
⎧x >a
时，则x >a ，即“大大取大”
⎩x >b
⎧x
时，则x
（2）当⎨
⎧x
（3）当⎨时，则b ⎩x >b
（4）当⎨
⎧x >a
时，则无解，即“大大小小取不了”
⎩x
二、典型例题：
1．下列关系不正确的是（ ）
A ．若a >b ，则b b ，b >c ，则a >c
C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D ．若a >b ，c >d ，则a -c >b -d 2．已知x >y 且xy y B ．
3C ．若a >0，b 0，bc
6．解关于x 的不等式
7．若不等式m
(x -2)>x +1和3x -5
8．不等式组⎨
9．若不等式组⎨
⎧2x +7>3x -1
的解集为________________.
⎩x -2≥0
⎧x +8
的解是x>3，则m 的取值范围是（ ）
⎩x ≥m
A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m =3 D ．m
10． 关于x
A ．-
11．已知关于x 、
12．解下列不等式（1
思考题：解下列含绝对值的不等式。 （1）
115
2x -1
≥4 3
第十二讲：一元一次不等式（组）的应用
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。 2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。 3．能够用分类讨论思想解有关问题。 4．能利用不等式解决实际问题
二、典型例题
1．m
2．已知x 、
3．比较a
-3a +1和（作差法比大小）
2
y 满足x 4．若方程组
5．k 取怎样的整数时，方程组⎨
⎧kx -2y =3⎧x >0
的解满足⎨.
⎩y
6．若2(a -3) ＜
7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.
不等式
2-a a (x -4)，求不等式＜x -a 的解集 35
x -1
>0的解的过程如下： x -2
解：根据题意，得
⎨
⎧⎩解不等式组○1，得所以原不等式的解为由不等式
x +2
≥x -5
正确解法：由不等式
8元，然后每月必须缴501分钟0.6元．若每月通话时间为x 分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为合算．
y 1和y 2，请算一算，哪种对用户
9．某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？
分析：（1）据题意得：⎨
⎧20x +30(100-x )≤2800
⎩40x +20(100-x )≤2800
解不等式组，得 20≤x ≤40
因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。 （2）由题意得：
y =2. 6x +2. 8(100-x )
整理得：y =-0. 2x +280
因为y 随x
10360台产值如下表：
产值是多少万元？
⎧
⎪⎪根据题意得：⎪⎨
⎪0≤x ≤⎪
⎪⎩
⎧⎪由（1）和（2）知 ⎪⎨⎪y ⎪⎩⎩
解得：40≤z ≤240
13
P =0.4x +0.3y +0.2z ＝0.4⨯z +0.3(360-z ) +0.2z ＝108-0.05z
22
要使P 最大，只需z 最小 当z =40时
P 最大＝108－0.05×40＝106(万元)
1
z =20（台） 2
3
-z =30（台）0 y =360 2
此时x =
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？
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第十三讲——方程与不等式的应用
一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。 一、不等式与方程的综合题 例1．已知关于x 的方程组⎨
⎧3x +2y =p +1
的解满足x ＞y ，求 p 的取值范围。
⎩4x +3y =p -1
⎧3x +2y =p +1⑴解：⎨（1）×3+（2）×（-2）：x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7
4x +3y =p -1⑵⎩
因为 x ＞y ，所以p+5＞-p-7，解得p>-6 另解：（整体代入）
（2）-（1）：x+y=-2 （3）
把（3）代入（1），x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 x ＞y ，所以p+5＞-p-7，解得p>-6
例2． 若x +y +z =30，3x +y -z =50，x 、
y 、z 5x y +2z 的取值范围。
解：⎨
⎧x +y +z =30
⎩3x +y -z =50
（1）+（2）：4x+2y=80 , y=40-2x （3） 把（3）代入（1）：z=x-10 （4） 所以：M=-x+140即x=140-M （5）
⎧x =≤140
⎪⎪
分别将（5）代入（3）（4）：⎨y =解得⎨M ≥120
⎪⎪M ≤130⎩
所以120≤M ≤130
二、不定方程（组）
，这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。
例3．若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
解：设有x 只蟋蟀，y 只蜘蛛，则有：
6x +8y =46（称之为不定方程） 3x +4y =23„„①
下面求此方程的非负整数解 由①得：x =
23-4y
„„② 3
∵ x ≥0 ∴ 用当
23-4y
≥0 ∴0≤y ≤5 3
y ＝0，1，2，3，4，5代入②式： y ＝0时，x =
23
不为整数，舍去 319
当y ＝1时，x =不为整数，舍去
3
当当
y ＝2时，x =5为非负整数，符合条件 y ＝3时，x =
11
不为整数，舍去 37
当y ＝4时，x =不为整数，舍去
当
y ＝5例4
解：设分成55x +3y =∵ y ≥0 ∴0≤x ≤7
用x ＝0，1当x ＝0时，由①得：y =
当x ＝1时，28
不为整数，舍去 323
当x ＝3时，y =不为整数，舍去
3
当x ＝2时，y =
当x ＝4时，y =6为非负整数，符合条件
13
不为整数，舍去 38
当x ＝6时，y =不为整数，舍去
3
当x ＝5时，y =
当x ＝7时，y =1为非负整数，符合条件
所以原不定方程的非负整数解为⎨
⎧x =1⎧x =4⎧x =7
，⎨，⎨
⎩y =11⎩y =6⎩y =1
例5．某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可能有多少种不同的买法？ 解：设买一元邮票x 张，8角邮票y 张，2角邮票z 张。根据题意得：
x +y +z =20 (1)⎧
（此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数） ⎨
⎩10x +8y +2z =150 (2)
下面我们求此不定方程组的正整数解 由（2）得：5x +4y +z =75„„（3） 由（3）－（1）得：4x +3y =55
∵y >0 ∴y =
经验证当x ＝1，
所以共有5
（一）形如
x =例6． （1）
5x -2=2
因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1
52
当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
521
当5x-2
55121
因为x=-符合大前提x
555
1
综上，方程的解为x=1 或x=-
5
当解法1：注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件 解法2：（整体思想）
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联想： 类比：
a =3时，a=±3
5x -2=3，则5x-2=3或5x-2=-3
1 5
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=-
（2）
x -15
-1=
6-x 5
例7．解方程解法1： 解法2： 解法3： 例8解方程
4x +2=x -1
x +3+x -=7
因而要分类讨论，两个绝对值分正负讨论，共有下面四中组合 可见，即使不讨论绝对值等于0的情形，就已经很复杂。 我们一般采用下面的方法（零点分段法） 方法二：
解：令x +3=0解得：x =-3
x -2=0解得：x =2
表示－3和2
（1） 当x
解得：x =-4
∵x =-4满足x
（2） 当-3≤x ≤2时，x +3≥0，x -2≤0
) 原方程可化为： x +3-(x -2= 7 可化为：0x =2此方程无解
（3） 当x >2时，x +3>0，x -2>0 原方程可化为：x +3+x -2=7
解得：x =3 ∵x =3满足x >2 ∴x =3是原方程的一个解。
综上所述：原方程的解是x =-4或x =3
例9．解方程
x -4+x +3=7
第十四讲——含字母系数的一次不等式
一元一次不等式（组）是我们熟知的内容，但对于含字母系数和含绝对值的不等式（组）还比较陌生，本讲我们将学习含字母系数的不等式（组）的解法。
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例1．解下列关于x 的不等式 （1）
例2．
a b
x +b >x +ab 22
(a >b ) （2）
k (kx +1)
(m +1) x m mx 1
+≥+ 2332
说明：解含字母系数的不等式欲解含数字系数的不等式的方法、步骤是一样的，所不同的是，前者在最后一步要根据题中附加条件、隐含条件去判断未知数系数的正负，从而确定不等号是否反向的问题。 例3．下面四个结论中，正确的个数有（ ）
b b
②ax
b b 2
③-ax >b ，当a
x >- ④a +1x >-b 的解集是x
①ax =b ，当a ≠0时解为x =
()
A ．1个例4．（1） 例5． 讨论关于x 类比：如何解关于x 思考：如何解关于x 例6．已知a 、b 则不等式
(a -4b )x +例7. 解关于 ax +b 例8．如果适合不等式
（1）解关于x 例1 ．例2．解下列含绝对值的不等式。
（1）
2x -
3-3x -12x -1
43
例3．例5．
x +23x +14 x -5-x +23
⎧x +1
例7．解不等式组⎨
⎩x +2>0
⑴
例8．x ≥x -3⑵