21在长方体ABCD-A1B1C1D1中

二、填空题

20．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上

)

21．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上的三条棱长分

别是

2、

3、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分

别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ＝________．

22．已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_________．

23．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； ②若l∥α，则l平行于α内所有直线； ③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；

⑤若mα，lβ，且α∥β，则l∥m．

其中正确命题的序号是________．

24．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n

②α⊥β

③n⊥β ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．

25．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线

AB的距离为

3，AB和圆锥轴的距离为1，则该圆锥的体积为

________．

26．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为

π3

，则圆台的体积与球的体积之比为

．

27．棱长为a的正四面体的体积为________．

28．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD，或任何能推出这个条件的其他条件，例如________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．

)

三、解答题

29．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．

(1)证明：C1C⊥BD；

(2)假定CD＝2，CC1＝

，记面C1BD为α，面CBD为β，求

二面角α－BD－β的平面角的余弦值；

(3)当

CDCC1

的值为多少时，能使A1C⊥C1BD？请给出证明．

30．如图，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

31．已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2．求B点到平面EFG的距离．

32．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，且AF⊥DE，F为垂足．

(1)求证：AF⊥DB；

(2)若V圆柱∶VD-ABE＝3π∶1，求直线DE与平面ABCD所成的角．

33．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a．

(1)求证：面AEF⊥面ACF；

(2)求三棱锥A1－AEF的体积．

34．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． (1)证明AD⊥D1D； (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明面AED⊥面A1FD1；

(4)设AA1＝2，求三棱锥F－A1ED1的体积VF-A

ED1．

35．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC

垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．

(1)求侧棱A1A与底面ABC所成的角； (2)求顶点C到侧面A1ABB1的距离．

36．如下左图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a．

(1)求截面EAC的面积；

(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离； (3)求三棱锥B1－EAC的体积．

37．如上右图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示)． 38．设椭圆C1的方程为

为y＝

＋

＝1(a＞b＞0)，曲线C2的方程

，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P．

(1)试用a表示P的坐标；

(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)

的值域；

(3)记min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个．设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)＝min｛g(a)，S(a)｝的表达式．

39．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝

90°， SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝

12．

(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．