动点轨迹问题专题讲解
北京市日坛中学数学组 张留杰
一．专题内容：
求动点 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：
（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．
（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．
（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点 是随另一个在已知曲线 ： 上的动点 的变化而变化，且 能用 表示，即 ， ，则将 代入已知曲线 ，化简后即为所求的轨迹方程．
（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率 等），分别求出动点坐标 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．
（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！
二．相关试题训练
（一）选择、填空题
1．（ ）已知 、 是定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2．（ ）设 ， ， 的周长为36，则 的顶点 的轨迹方程是
（A ） （ ） （B ） （ ）
（C ） （ ） （D ） （ ）
3．与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P 在以 、 为焦点的双曲线 上运动，则 的重心G 的轨迹方程是 ；
5．已知圆C ： 内一点 ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．
6．△ABC 的顶点为 、 ，△ABC 的内切圆圆心在直线 上，则顶
点C 的轨迹方程是 ； （ ）
变式：若点 为双曲线 的右支上一点， 、 分别是左、右焦点，则△ 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
推广：若点 为椭圆 上任一点， 、 分别是左、右焦点，圆 与线段 的延长线、线段 及 轴分别相切，则圆心 的轨迹是 ；
7．已知动点 到定点 的距离比到直线 的距离少1，则点 的轨迹方程是
．
8．抛物线 的一组斜率为 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
（ ）
9．过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点 旋转时， 弦 中点的轨迹方程为 ．
解法分析：解法1 当直线 的斜率存在时，
设PQ 所在直线方程为 与抛物线方程联立，
消去 得 ．
设 ， ， 中点为 ，则有
消 得 ．
当直线 的斜率不存在时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为 ．
解法2 设 ， ，
由 得 ，设 中点为 ，
当 时，有 ，又 ，
所以， ，即 ．
当 时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为 ．
10．过定点 作直线交抛物线 于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．
（二）解答题
1．一动圆过点 ，且与圆 相内切，求该动圆圆心 的轨迹方程．
（定义法）
2．过椭圆 的左顶点 作任意弦 并延长到 ，使 ， 为椭圆另一顶点，连结 交 于点 ， 求动点 的轨迹方程．
（直接法、定义法；突出转化思想）
3．已知 、 是椭圆 的长轴端点， 、 是椭圆上关于长轴 对称的两点，求直线 和 的交点 的轨迹．（交轨法）
4．已知点G 是△ABC 的重心， ，在 轴上有一点M ，满足
， ．
（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足 ，试求 的取值范围．
解：（1）设 ，则由重心坐标公式可得 ．
∵ ，点 在 轴上，∴ ．
∵ ， ，∴ ，即 ．
故点 的轨迹方程为 （ ）．（直接法）
（2）设直线 的方程为 （ ）， 、 ， 的中点为 ．
由 消 ，得 ．
∴ ，即 ． ①
又 ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，又由①式可得 ，∴ 且 ．
∴ 且 ，解得 且 ．
故 的取值范围是 且 ．
5．已知平面上两定点 、 ， 为一动点，满足 ．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；（直接法）
（Ⅱ）若A 、B 是轨迹 上的两动点，且 ．过A 、B 两点分别作轨迹 的切线，设其交点为 ，证明 为定值．
解：(Ⅰ) 设 ．由已知 ， ， ,
．
，……………………………………………3分
∵ ，
∴ ．
整理，得 ．
即动点 的轨迹 为抛物线，其方程为 ．
6．已知O 为坐标原点，点 、 ，动点 、 、 满足 （ ）， ， ， ．求点M 的轨迹W 的方程．
解：∵ ， ，
∴ MN 垂直平分AF ．
又 ，∴ 点M 在AE 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，
∴ ．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为 （ ）．
动点轨迹问题专题讲解
北京市日坛中学数学组 张留杰
一．专题内容：
求动点 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：
（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．
（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．
（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点 是随另一个在已知曲线 ： 上的动点 的变化而变化，且 能用 表示，即 ， ，则将 代入已知曲线 ，化简后即为所求的轨迹方程．
（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率 等），分别求出动点坐标 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．
（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！
二．相关试题训练
（一）选择、填空题
1．（ ）已知 、 是定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2．（ ）设 ， ， 的周长为36，则 的顶点 的轨迹方程是
（A ） （ ） （B ） （ ）
（C ） （ ） （D ） （ ）
3．与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P 在以 、 为焦点的双曲线 上运动，则 的重心G 的轨迹方程是 ；
5．已知圆C ： 内一点 ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．
6．△ABC 的顶点为 、 ，△ABC 的内切圆圆心在直线 上，则顶
点C 的轨迹方程是 ； （ ）
变式：若点 为双曲线 的右支上一点， 、 分别是左、右焦点，则△ 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
推广：若点 为椭圆 上任一点， 、 分别是左、右焦点，圆 与线段 的延长线、线段 及 轴分别相切，则圆心 的轨迹是 ；
7．已知动点 到定点 的距离比到直线 的距离少1，则点 的轨迹方程是
．
8．抛物线 的一组斜率为 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
（ ）
9．过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点 旋转时， 弦 中点的轨迹方程为 ．
解法分析：解法1 当直线 的斜率存在时，
设PQ 所在直线方程为 与抛物线方程联立，
消去 得 ．
设 ， ， 中点为 ，则有
消 得 ．
当直线 的斜率不存在时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为 ．
解法2 设 ， ，
由 得 ，设 中点为 ，
当 时，有 ，又 ，
所以， ，即 ．
当 时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程．
故所求轨迹方程为 ．
10．过定点 作直线交抛物线 于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．
（二）解答题
1．一动圆过点 ，且与圆 相内切，求该动圆圆心 的轨迹方程．
（定义法）
2．过椭圆 的左顶点 作任意弦 并延长到 ，使 ， 为椭圆另一顶点，连结 交 于点 ， 求动点 的轨迹方程．
（直接法、定义法；突出转化思想）
3．已知 、 是椭圆 的长轴端点， 、 是椭圆上关于长轴 对称的两点，求直线 和 的交点 的轨迹．（交轨法）
4．已知点G 是△ABC 的重心， ，在 轴上有一点M ，满足
， ．
（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足 ，试求 的取值范围．
解：（1）设 ，则由重心坐标公式可得 ．
∵ ，点 在 轴上，∴ ．
∵ ， ，∴ ，即 ．
故点 的轨迹方程为 （ ）．（直接法）
（2）设直线 的方程为 （ ）， 、 ， 的中点为 ．
由 消 ，得 ．
∴ ，即 ． ①
又 ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，又由①式可得 ，∴ 且 ．
∴ 且 ，解得 且 ．
故 的取值范围是 且 ．
5．已知平面上两定点 、 ， 为一动点，满足 ．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；（直接法）
（Ⅱ）若A 、B 是轨迹 上的两动点，且 ．过A 、B 两点分别作轨迹 的切线，设其交点为 ，证明 为定值．
解：(Ⅰ) 设 ．由已知 ， ， ,
．
，……………………………………………3分
∵ ，
∴ ．
整理，得 ．
即动点 的轨迹 为抛物线，其方程为 ．
6．已知O 为坐标原点，点 、 ，动点 、 、 满足 （ ）， ， ， ．求点M 的轨迹W 的方程．
解：∵ ， ，
∴ MN 垂直平分AF ．
又 ，∴ 点M 在AE 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，
∴ ．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为 （ ）．