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三角函数周期的求法
高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ) 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin（x +）的周期
3
3
2π2π
=3sin（x +2π+）=3sin[(x +3π) +]
3333
3
3
23
π
解：∵y=f（x ）=3sin（2x +π）=3sin（x ++2π）
23
π
= f（x+3π）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin（x +）的周期是T=3π。
323
π
例2：求f （x ）=sin6x+cos6x 的周期
解∵f （x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x ）
∴f （x ）=sin6x+cos6x 的周期为T=
1
π2π2π2
π2
ω
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例3：求f （x ）=
sin x +sin 3x
的周期
cos x +cos 3x
解：∵f （x+π）=
=
sin(x +π) +sin 3(x +π)
cos(x +π) +cos(x +π)
-sin x -sin 3x
-cox -cos 3x sin x +sin 3x = cos x +cos 3x
= f（x ）
∴求f （x ）=
sin x +sin 3x
的周期：T=π
cos x +cos 3x
2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（ωx +ϕ）、y=Acos（ωx +ϕ）、
ϕ为常数，ϕ∈R ）ｙ＝tg （ωx +ϕ）形成（其中A 、且A ≠0、＞0、，ω、
则可知道它们的周期分别是：
2π2ππ
、、。 ωωω
例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期
解：∵y=1-2（ sinx-π
3
12
3
cosx ） 2
=1-2（cos sinx-sin cosx） =1-2sin（x-） 这里ω=1 ∴周期T=2π 例5：求：y=2（
解：∵y=2（
1sinx-cos3x ）-1
22
13
sinx-cos3x ）-1
22
2
π
3
π3
ω
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=2sin（3x-）-1
这里ω=3 ∴周期为T=例6：求y=tg（1+
解：这里
2π 3
π6
3πx
）的周期 53π3π5=，∴周期为：T=π/=553
（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。 例7：求f （x ）=sinx·cosx 的周期 解：∵f （x ）=sinx·cosx=sin2x
这里ω=3，∴f （x ）=sinx·cosx 的周期为T=π
例8：求f （x ）=sin2x 的周期
解：∵f （x ）=sin2x=
1-cos 2x
212
而cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin2x 的周期为T=π
注：以上二题可以运用定义求出周期。 例9：求y=sin6ωx+ cos6ωx 的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。 ∵y=sin6ωx+ cos6ωx
=（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4ωx ） =( sin2ωx+ cos2ωx) 2-3 sin2ωx ·cos 2ωx =1-3 sin2ωx ·cos 2ωx
3
453
=+cos4ωx
88
=1- sin22ωx
而cos4ωx 的周期为T=
2ππ=, 4ω23
∴y= sin6ωx+ cos6ωx 的周期为T=
π 2例10：函数y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 ∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos2x =3-2sinx ·cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1
=4+2(1cos2x-2
π
3
sin2x 2
=4+2cos(2x+)
∴y=3sin2x-2sinx ·cosx+5cos2x 的周期为T=
3．定理法：
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f 1(x)的周期为T 1, f2(x)的周期为T 2，则f(x)的周期为T=P2T 1=P1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1
事实上，由
T 1P 1
（既约分数），得T= P2T 1=P1T 2 =
T 2P 2
2π
=π 2
∵f （x+ P1T 2）=f1（x+ P1T 2）+f2（x+ P1T 2） =f1（x+ P2T 1）+ f2（x+ P1T 2） = f1（x ）+ f2（x ） =f（x ）
∴P 1T 2是f （x ）的周期，同理P 2T 1也是函数f （x ）的周期。 例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解：∵y=tg6x的周期为T 1=，tg8x 的周期为T 2=
4
π6π8
由P 1T 2= P2T 1，得
T 1P 14
==，取P 1=4，P 2=3 T 2P 23
∴y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T 2=。
π2
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
解：∵sin2x 的周期为T 1=π，sin3x 的周期为T 2=
而
T 13
=，即是T=2T1=3T2， T 22
2π 3
∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2π 例13：求函数y=cos+sin的周期
解：∵cos 的周期为T 1=6π，sin 的周期为T 2=8π
而
T 16π3==，即是T=4T1=3T2 T 28π4
x 3
x 4
x 3
x 4
x 3
x 4
∴y=cos+sin的周期为T=3T2=24π。
类似，y=sin-2sin 的周期为T=30π，y=tg3θ+2ctg2θ的周期为T=π。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。
x
5
x 3
5
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三角函数周期的求法
高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ) 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin（x +）的周期
3
3
2π2π
=3sin（x +2π+）=3sin[(x +3π) +]
3333
3
3
23
π
解：∵y=f（x ）=3sin（2x +π）=3sin（x ++2π）
23
π
= f（x+3π）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin（x +）的周期是T=3π。
323
π
例2：求f （x ）=sin6x+cos6x 的周期
解∵f （x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x ）
∴f （x ）=sin6x+cos6x 的周期为T=
1
π2π2π2
π2
ω
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例3：求f （x ）=
sin x +sin 3x
的周期
cos x +cos 3x
解：∵f （x+π）=
=
sin(x +π) +sin 3(x +π)
cos(x +π) +cos(x +π)
-sin x -sin 3x
-cox -cos 3x sin x +sin 3x = cos x +cos 3x
= f（x ）
∴求f （x ）=
sin x +sin 3x
的周期：T=π
cos x +cos 3x
2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（ωx +ϕ）、y=Acos（ωx +ϕ）、
ϕ为常数，ϕ∈R ）ｙ＝tg （ωx +ϕ）形成（其中A 、且A ≠0、＞0、，ω、
则可知道它们的周期分别是：
2π2ππ
、、。 ωωω
例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期
解：∵y=1-2（ sinx-π
3
12
3
cosx ） 2
=1-2（cos sinx-sin cosx） =1-2sin（x-） 这里ω=1 ∴周期T=2π 例5：求：y=2（
解：∵y=2（
1sinx-cos3x ）-1
22
13
sinx-cos3x ）-1
22
2
π
3
π3
ω
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=2sin（3x-）-1
这里ω=3 ∴周期为T=例6：求y=tg（1+
解：这里
2π 3
π6
3πx
）的周期 53π3π5=，∴周期为：T=π/=553
（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。 例7：求f （x ）=sinx·cosx 的周期 解：∵f （x ）=sinx·cosx=sin2x
这里ω=3，∴f （x ）=sinx·cosx 的周期为T=π
例8：求f （x ）=sin2x 的周期
解：∵f （x ）=sin2x=
1-cos 2x
212
而cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin2x 的周期为T=π
注：以上二题可以运用定义求出周期。 例9：求y=sin6ωx+ cos6ωx 的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。 ∵y=sin6ωx+ cos6ωx
=（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4ωx ） =( sin2ωx+ cos2ωx) 2-3 sin2ωx ·cos 2ωx =1-3 sin2ωx ·cos 2ωx
3
453
=+cos4ωx
88
=1- sin22ωx
而cos4ωx 的周期为T=
2ππ=, 4ω23
∴y= sin6ωx+ cos6ωx 的周期为T=
π 2例10：函数y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 ∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos2x =3-2sinx ·cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1
=4+2(1cos2x-2
π
3
sin2x 2
=4+2cos(2x+)
∴y=3sin2x-2sinx ·cosx+5cos2x 的周期为T=
3．定理法：
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f 1(x)的周期为T 1, f2(x)的周期为T 2，则f(x)的周期为T=P2T 1=P1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1
事实上，由
T 1P 1
（既约分数），得T= P2T 1=P1T 2 =
T 2P 2
2π
=π 2
∵f （x+ P1T 2）=f1（x+ P1T 2）+f2（x+ P1T 2） =f1（x+ P2T 1）+ f2（x+ P1T 2） = f1（x ）+ f2（x ） =f（x ）
∴P 1T 2是f （x ）的周期，同理P 2T 1也是函数f （x ）的周期。 例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解：∵y=tg6x的周期为T 1=，tg8x 的周期为T 2=
4
π6π8
由P 1T 2= P2T 1，得
T 1P 14
==，取P 1=4，P 2=3 T 2P 23
∴y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T 2=。
π2
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
解：∵sin2x 的周期为T 1=π，sin3x 的周期为T 2=
而
T 13
=，即是T=2T1=3T2， T 22
2π 3
∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2π 例13：求函数y=cos+sin的周期
解：∵cos 的周期为T 1=6π，sin 的周期为T 2=8π
而
T 16π3==，即是T=4T1=3T2 T 28π4
x 3
x 4
x 3
x 4
x 3
x 4
∴y=cos+sin的周期为T=3T2=24π。
类似，y=sin-2sin 的周期为T=30π，y=tg3θ+2ctg2θ的周期为T=π。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。
x
5
x 3
5