习题精解
9-1. 在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 F =-(k 1+k 2) x 根据牛顿第二定律有
d 2x
F =-(k 1+k 2) x =ma =m 2
dt
化简得
d 2x k 1+k 2
2+x =0
dt m
k 1+k 2d 2x 2
令ω=则2+ωx =0所以物体做简谐振动，其周期
dt m
2
T =
2π
ω
=29-2 如图9.2所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为
M =-qE 电偶极子对中心O 点的转动惯量为
l l
sin θ-qE sin θ=-qEl sin θ 22
2
1⎛l ⎫⎛l ⎫
J =m ⎪+m ⎪=ml 2
2⎝2⎭⎝2⎭
2
由转动定律知
12d 2θ
M =-qEl sin θ=J β=ml ∙2
2dt
化简得
d 2θ2qE
+sin θ=0 2dt ml
2
当角度很小时有sin θ≈0，若令ω=
2qE
，则上式变为 ml
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
T =
2π
ω
=2 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v =1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，
则振动的周期为T =2频率
为v =
1=T 正常载重时弹簧的压缩量为
mg T 2g x ==2g =22=0.15(m )
k 4π4πv
9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图9.3所示。开始棒在
，
平衡位置OO 处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为
1
M =-mg l sin θ
2
12
ml , 根据转动定律有 3
负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为J =
112d 2θM =-mgl sin θ=J β=ml 2
23dt
化简得
d 2θ3g
+sin θ=0
dt 22l
当θ很小时有sin θ≈θ，若令ω=
2
3g
则上式变为 2l
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
T =
2π
ω
=2π
-2
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A =2⨯10m ，周期T =0.50s ，当t=0时，
（1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动; (5)物体在x =1.0⨯10m 处向负方向运动
(6)物体在x =-1.0⨯10m 处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知A =2.0⨯10m , T =0.5s , ω=
-2-2-2
2π
=4πs -1 T
（1）由初始条件得初想为是ϕ1=0, 所以振动方程为
x =2⨯10-2cos 4π(m )
（2）由初始条件得初想为是ϕ2=π，所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +π)(m )
（3）由初始条件得初想为是ϕ3=
π
2
，所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
3π
（4）由初始条件得初想为是ϕ4=，所以振动方程为
2
3π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
x 01⨯10-2π5ππ==0.5（5）因为cos ϕ5=，所以，取（因为速度小于零），ϕ=, ϕ=55-2A 2⨯10333
所以振动方程为
π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
3
π
x 0-1⨯10-22π4π4π==-0.5（6）cos ϕ6=，所以，取（因为速度大于零），ϕ=, ϕ=66-2A 2⨯10333
所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +
4π
)(m ) 3
9-6一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求； （1）质点振动的运动方程；
（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知：A =0.12m , ω=零），所以质点的运动方程为
2ππ
=π, x 0=A cos ϕ0可求得ϕ0=-（初速度为T 3
π⎫⎛
x =0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
（2）
π⎫⎛
x t =0.5=0.12cos 0.5π-⎪=0.1(m )
3⎭⎝
任意时刻的速度为
π⎫⎛
v =-0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
π⎫⎛
v t =0.5=-0.12cos 0.5π-⎪=-0.19(m ∙s -1)
3⎭⎝
所以
任意时刻的加速度为
π⎫⎛
a =-0.12π2cos πt -⎪
3⎭⎝
所以
π⎫⎛
a t =0.5=-0.12π2cos 0.5π-⎪=-1.0(m ∙s -2)
3⎭⎝
（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。
由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
325∆ϕ=π-π=π
236∆ϕ
=
5
≈0.833(s ) 6
所以
∆t =
ω
9-7 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ，现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。
（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；
（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm 后，又给以向上21cm ∙s 的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。 系统振动的圆频率为
-1
ω=
===7(s -1) 根据题意，初始条件为
⎧x 0=4cm ⎨-1
v =0cm ∙s ⎩0
振幅A ==4cm ，初相位ϕ1=0
振动方程为
x =4cos7t (m )
（2）根据题意，初始条件为
⎧x 0=0cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
振幅A ==3cm ，初相位ϕ2=
π
2
振动方程为
x =3cos(7t +)(m )
2⎧x 0=4cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
π
（3）根据题意，初始条件为
振幅A ==5cm ，tan ϕ3=-
v 0
=0.75，得ϕ3=0.64 x 0ω
振动方程为
x =5cos(7t +0.64)(m )
-2
9-8 质量为0.1kg 的物体，以振幅A =1.0⨯10m 做简谐振动，其最大加速度为
4.0m ∙s -2，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。
解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为
a max =A ω2
ω=
2π2π-1
==20s ，所以周期为T ===0.314(s )。 ()ω20
（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
v max =A ω
所以动能为
121122-22
E k =mv max =mA ω=⨯0.1⨯(1.0⨯10)⨯20=2⨯10-3(J )
222
（3）总能量为
E 总=E k =2⨯10-3(J )
9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A 0的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M ，弹簧的劲度系数为k ，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m 的小泥团以
速度v '从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求： （1）系统振动的圆频率；
（2）按图示坐标列出初始条件； （3）写出振动方程；
解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k ，所以系统振动的圆频率为
ω=
（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有
-Mv -mv '=(M +m )v 0
v 0=-
Mv +mv '
M +m
x 0=0⎧⎪
按图9.6所示坐标初始条件为⎨Mv +mv '
v 0=-⎪M +m ⎩
（3）根据初始条件，系统振动的初相位为ϕ=守恒，有
π
2
；假设，系统的振动振幅为A ，根据能量
1211(Mv +mv ') 22kA =(M +m )v 0= 222M +m
其中 故得
11
Mv 2=kA 02 22
A =
振动方程为
x =
π⎫t +(m ) ⎪⎪2⎭
-2
9-10 有一个弹簧振子，振幅A =2⨯10m ，周期T=1s，初相位ϕ=振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t 图。 解 （1）由题意可知，ω=
3
（1）写出它的π，4
2π
=2π，所以弹簧振子的振动方程为 T
-2
x =2⨯10cos 2πt +
⎛⎝3⎫
π⎪(m ) 4⎭
（2）利用旋转矢量图做x-t 图如图9.7所示 9-11 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？
解 （1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。
由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是
±
π
3
, ±
2π 3
121
kA ，在任意位置时的时能为W p =kx 2，所以22
2
（2）物体做简谐振动时的总能量为W =
1⎛1⎫12
当它的位置在振幅的一半时的势能为W p =k A ⎪=kA ，势能占总能量的百分比为
2⎝2⎭8
25%，动能占总能量的百分比为75%。
9-12 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz ，振幅是0.04m, 问： （1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ （2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？
(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？
解 （1）由题意可知，ω=2πv =4πs , A =0.04m 。因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小a max =A ω=0.04⨯16π=0.64π 根据牛顿第二定律有
2
2
2
-1
N 1-mg =ma max mg -N 2=ma max
解得N 1=8.06N （最低位置），N 2=1.74N (最高位置)
（2）当mg =ma max =mA ω，即时A =0.062m 会使砝码脱离平板。 （3）频率增大一倍，把ω1=2ω代入mg =ma max =mA 1ω1得
2
2
A 1=
1
A =1.55⨯10-2(m ) 4
9-13 有两个完全相同的弹簧振子A 和B ，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s 。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm ，然后先释放A 振子，经过0.5s 后，再释放B 振子，如图9.9所示，若以B 振子释放的瞬间作为时间的起点， （1）分别写出两个物体的振动方程；
（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t 图。 解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为ω=
2π
=π，若以B 振子释放的瞬时T
作为时间的起点，则B 物体振动的初相位是ϕB =0，振动方程应为
x B =5cos πt (cm )
由于A 物体先释放0.5s 时的时间，所以相位超前B 物体∆ϕ=2π∙振动的初相位是ϕA =
0.5π
=，所以A 物体T 2
π
2
，振动方程应为
π⎫⎛
x A =5cos πt +⎪(cm )
2⎭⎝
∆ϕ=
（2）它们的相位差为
π
2
作A,B 两物体的振动曲线如图9.10所示。
9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为
π⎫⎛
x 1=6cos 2t +⎪cm
6⎭⎝
⎛
x 2=8cos 2t -⎪cm
3⎭⎝
π⎫
试 用旋转矢量求出合振动方程。
解 作旋转矢量如图9.11所示。 由平面几何关系可知
A ==10cm
A 16tan ϕ===0.75
A 28
合振动的初相位是
⎛π⎫
α=- -ϕ⎪=-0.4
⎝3⎭x =10cos (2t -0.4)(cm )
所以合振动的振动方程为
9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为
π
，若第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅，第一、第二6
两振动的相位差。
解 做旋转矢量如图9.12所示。 由平面几何关系可知
A 2==0.1(m )
假设A 1和A 2的夹角为，则由平面几何可知
A =
把已知数代入解得ϕ=
π
2
，
9-16 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：
x =0.08cos
π⎫π⎫⎛π⎛π
t +⎪, y =0.06cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎝3
式中x,y 以m 计，t 以s 计。
（1） 求运动轨迹方程；
（2） 质点在任一位置所受的力。
解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为
x 2y 2
+=1 0.0820.062
2
2
（2） 质点在任意时刻的加速度为
d 2x d 2y π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛πa =i +j =-0.08 ⎪cos t +⎪i -0.06 ⎪cos t -⎪j
dt dt 6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3
质点在任一位置所受的力为
22
⎡π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛π
F =ma =⎢-32 ⎪cos t +⎪i -24 ⎪cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3⎢⎣
⎤
j ⎥⨯10-3(N ) ⎥⎦
9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；
（1）证明质点的合振动时简谐振动； （2）求合振动的振幅和频率。
解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为
x =A x cos (ωt +ϕ)y =A y cos (ωt +ϕ)
合成的轨迹是直线y =
A x
A x ，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为 y
x '==
(ωt +ϕ)
所以质点的合振动是简谐振动。 （3）
合振动的振幅为A =ω.
习题精解
9-1. 在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 F =-(k 1+k 2) x 根据牛顿第二定律有
d 2x
F =-(k 1+k 2) x =ma =m 2
dt
化简得
d 2x k 1+k 2
2+x =0
dt m
k 1+k 2d 2x 2
令ω=则2+ωx =0所以物体做简谐振动，其周期
dt m
2
T =
2π
ω
=29-2 如图9.2所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为
M =-qE 电偶极子对中心O 点的转动惯量为
l l
sin θ-qE sin θ=-qEl sin θ 22
2
1⎛l ⎫⎛l ⎫
J =m ⎪+m ⎪=ml 2
2⎝2⎭⎝2⎭
2
由转动定律知
12d 2θ
M =-qEl sin θ=J β=ml ∙2
2dt
化简得
d 2θ2qE
+sin θ=0 2dt ml
2
当角度很小时有sin θ≈0，若令ω=
2qE
，则上式变为 ml
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
T =
2π
ω
=2 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v =1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，
则振动的周期为T =2频率
为v =
1=T 正常载重时弹簧的压缩量为
mg T 2g x ==2g =22=0.15(m )
k 4π4πv
9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图9.3所示。开始棒在
，
平衡位置OO 处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为
1
M =-mg l sin θ
2
12
ml , 根据转动定律有 3
负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为J =
112d 2θM =-mgl sin θ=J β=ml 2
23dt
化简得
d 2θ3g
+sin θ=0
dt 22l
当θ很小时有sin θ≈θ，若令ω=
2
3g
则上式变为 2l
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
T =
2π
ω
=2π
-2
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A =2⨯10m ，周期T =0.50s ，当t=0时，
（1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动; (5)物体在x =1.0⨯10m 处向负方向运动
(6)物体在x =-1.0⨯10m 处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知A =2.0⨯10m , T =0.5s , ω=
-2-2-2
2π
=4πs -1 T
（1）由初始条件得初想为是ϕ1=0, 所以振动方程为
x =2⨯10-2cos 4π(m )
（2）由初始条件得初想为是ϕ2=π，所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +π)(m )
（3）由初始条件得初想为是ϕ3=
π
2
，所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
3π
（4）由初始条件得初想为是ϕ4=，所以振动方程为
2
3π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
x 01⨯10-2π5ππ==0.5（5）因为cos ϕ5=，所以，取（因为速度小于零），ϕ=, ϕ=55-2A 2⨯10333
所以振动方程为
π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
3
π
x 0-1⨯10-22π4π4π==-0.5（6）cos ϕ6=，所以，取（因为速度大于零），ϕ=, ϕ=66-2A 2⨯10333
所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +
4π
)(m ) 3
9-6一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求； （1）质点振动的运动方程；
（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知：A =0.12m , ω=零），所以质点的运动方程为
2ππ
=π, x 0=A cos ϕ0可求得ϕ0=-（初速度为T 3
π⎫⎛
x =0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
（2）
π⎫⎛
x t =0.5=0.12cos 0.5π-⎪=0.1(m )
3⎭⎝
任意时刻的速度为
π⎫⎛
v =-0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
π⎫⎛
v t =0.5=-0.12cos 0.5π-⎪=-0.19(m ∙s -1)
3⎭⎝
所以
任意时刻的加速度为
π⎫⎛
a =-0.12π2cos πt -⎪
3⎭⎝
所以
π⎫⎛
a t =0.5=-0.12π2cos 0.5π-⎪=-1.0(m ∙s -2)
3⎭⎝
（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。
由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
325∆ϕ=π-π=π
236∆ϕ
=
5
≈0.833(s ) 6
所以
∆t =
ω
9-7 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ，现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。
（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；
（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm 后，又给以向上21cm ∙s 的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。 系统振动的圆频率为
-1
ω=
===7(s -1) 根据题意，初始条件为
⎧x 0=4cm ⎨-1
v =0cm ∙s ⎩0
振幅A ==4cm ，初相位ϕ1=0
振动方程为
x =4cos7t (m )
（2）根据题意，初始条件为
⎧x 0=0cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
振幅A ==3cm ，初相位ϕ2=
π
2
振动方程为
x =3cos(7t +)(m )
2⎧x 0=4cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
π
（3）根据题意，初始条件为
振幅A ==5cm ，tan ϕ3=-
v 0
=0.75，得ϕ3=0.64 x 0ω
振动方程为
x =5cos(7t +0.64)(m )
-2
9-8 质量为0.1kg 的物体，以振幅A =1.0⨯10m 做简谐振动，其最大加速度为
4.0m ∙s -2，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。
解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为
a max =A ω2
ω=
2π2π-1
==20s ，所以周期为T ===0.314(s )。 ()ω20
（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
v max =A ω
所以动能为
121122-22
E k =mv max =mA ω=⨯0.1⨯(1.0⨯10)⨯20=2⨯10-3(J )
222
（3）总能量为
E 总=E k =2⨯10-3(J )
9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A 0的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M ，弹簧的劲度系数为k ，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m 的小泥团以
速度v '从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求： （1）系统振动的圆频率；
（2）按图示坐标列出初始条件； （3）写出振动方程；
解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k ，所以系统振动的圆频率为
ω=
（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有
-Mv -mv '=(M +m )v 0
v 0=-
Mv +mv '
M +m
x 0=0⎧⎪
按图9.6所示坐标初始条件为⎨Mv +mv '
v 0=-⎪M +m ⎩
（3）根据初始条件，系统振动的初相位为ϕ=守恒，有
π
2
；假设，系统的振动振幅为A ，根据能量
1211(Mv +mv ') 22kA =(M +m )v 0= 222M +m
其中 故得
11
Mv 2=kA 02 22
A =
振动方程为
x =
π⎫t +(m ) ⎪⎪2⎭
-2
9-10 有一个弹簧振子，振幅A =2⨯10m ，周期T=1s，初相位ϕ=振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t 图。 解 （1）由题意可知，ω=
3
（1）写出它的π，4
2π
=2π，所以弹簧振子的振动方程为 T
-2
x =2⨯10cos 2πt +
⎛⎝3⎫
π⎪(m ) 4⎭
（2）利用旋转矢量图做x-t 图如图9.7所示 9-11 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？
解 （1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。
由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是
±
π
3
, ±
2π 3
121
kA ，在任意位置时的时能为W p =kx 2，所以22
2
（2）物体做简谐振动时的总能量为W =
1⎛1⎫12
当它的位置在振幅的一半时的势能为W p =k A ⎪=kA ，势能占总能量的百分比为
2⎝2⎭8
25%，动能占总能量的百分比为75%。
9-12 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz ，振幅是0.04m, 问： （1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ （2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？
(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？
解 （1）由题意可知，ω=2πv =4πs , A =0.04m 。因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小a max =A ω=0.04⨯16π=0.64π 根据牛顿第二定律有
2
2
2
-1
N 1-mg =ma max mg -N 2=ma max
解得N 1=8.06N （最低位置），N 2=1.74N (最高位置)
（2）当mg =ma max =mA ω，即时A =0.062m 会使砝码脱离平板。 （3）频率增大一倍，把ω1=2ω代入mg =ma max =mA 1ω1得
2
2
A 1=
1
A =1.55⨯10-2(m ) 4
9-13 有两个完全相同的弹簧振子A 和B ，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s 。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm ，然后先释放A 振子，经过0.5s 后，再释放B 振子，如图9.9所示，若以B 振子释放的瞬间作为时间的起点， （1）分别写出两个物体的振动方程；
（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t 图。 解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为ω=
2π
=π，若以B 振子释放的瞬时T
作为时间的起点，则B 物体振动的初相位是ϕB =0，振动方程应为
x B =5cos πt (cm )
由于A 物体先释放0.5s 时的时间，所以相位超前B 物体∆ϕ=2π∙振动的初相位是ϕA =
0.5π
=，所以A 物体T 2
π
2
，振动方程应为
π⎫⎛
x A =5cos πt +⎪(cm )
2⎭⎝
∆ϕ=
（2）它们的相位差为
π
2
作A,B 两物体的振动曲线如图9.10所示。
9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为
π⎫⎛
x 1=6cos 2t +⎪cm
6⎭⎝
⎛
x 2=8cos 2t -⎪cm
3⎭⎝
π⎫
试 用旋转矢量求出合振动方程。
解 作旋转矢量如图9.11所示。 由平面几何关系可知
A ==10cm
A 16tan ϕ===0.75
A 28
合振动的初相位是
⎛π⎫
α=- -ϕ⎪=-0.4
⎝3⎭x =10cos (2t -0.4)(cm )
所以合振动的振动方程为
9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为
π
，若第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅，第一、第二6
两振动的相位差。
解 做旋转矢量如图9.12所示。 由平面几何关系可知
A 2==0.1(m )
假设A 1和A 2的夹角为，则由平面几何可知
A =
把已知数代入解得ϕ=
π
2
，
9-16 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：
x =0.08cos
π⎫π⎫⎛π⎛π
t +⎪, y =0.06cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎝3
式中x,y 以m 计，t 以s 计。
（1） 求运动轨迹方程；
（2） 质点在任一位置所受的力。
解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为
x 2y 2
+=1 0.0820.062
2
2
（2） 质点在任意时刻的加速度为
d 2x d 2y π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛πa =i +j =-0.08 ⎪cos t +⎪i -0.06 ⎪cos t -⎪j
dt dt 6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3
质点在任一位置所受的力为
22
⎡π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛π
F =ma =⎢-32 ⎪cos t +⎪i -24 ⎪cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3⎢⎣
⎤
j ⎥⨯10-3(N ) ⎥⎦
9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；
（1）证明质点的合振动时简谐振动； （2）求合振动的振幅和频率。
解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为
x =A x cos (ωt +ϕ)y =A y cos (ωt +ϕ)
合成的轨迹是直线y =
A x
A x ，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为 y
x '==
(ωt +ϕ)
所以质点的合振动是简谐振动。 （3）
合振动的振幅为A =ω.