解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定
则与C 1而的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，且A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。
证明：分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足记为A 1、B 1、C 1，与y 轴交于A 2、
B 2，C 2，则C 到l 轴的距离|CC1|=|AA1|+|BB1|=|AB|，∴|CC1|=
|AA 1|+|BB 1|
，由第二定义得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴
2
|AB |
，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。 2
p
当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x－
), 代入
|y1B 4tg 2
x 1x 2y 22b 2
结论5、设AB 是椭圆2+2=1的焦点弦，则当AB 垂直x 轴时|AB|min =。
c a b
证明略。
想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？
结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A 、
B
⎧|⎨⎩x 2y 2-1
结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设2+2=1是优美椭
2a b
圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF=
证明略。
π
。 2
x 2y 2
结论9、设P 是椭圆+2=1上的一动点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，当P 位于短轴端点2
a b
时，∠F 1PF 2取到最大值。
证明：设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n ，则m+n=2a,在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠
F 1
mn 2+B K co
解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定
则与C 1而的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，且A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。
证明：分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足记为A 1、B 1、C 1，与y 轴交于A 2、
B 2，C 2，则C 到l 轴的距离|CC1|=|AA1|+|BB1|=|AB|，∴|CC1|=
|AA 1|+|BB 1|
，由第二定义得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴
2
|AB |
，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。 2
p
当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x－
), 代入
|y1B 4tg 2
x 1x 2y 22b 2
结论5、设AB 是椭圆2+2=1的焦点弦，则当AB 垂直x 轴时|AB|min =。
c a b
证明略。
想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？
结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A 、
B
⎧|⎨⎩x 2y 2-1
结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设2+2=1是优美椭
2a b
圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF=
证明略。
π
。 2
x 2y 2
结论9、设P 是椭圆+2=1上的一动点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，当P 位于短轴端点2
a b
时，∠F 1PF 2取到最大值。
证明：设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n ，则m+n=2a,在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠
F 1
mn 2+B K co