抛物线的焦点弦问题
作者：王野
来源：《课程教育研究·中》2014年第06期
【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路，而且能够节省很多时间。例如：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦（过焦点F的弦），且A(x1，y1)，B(x2,y2),则： 结论一：x1x2=■，y1y2=-p2。
结论二：■+■=■。
结论三：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB=■ 结论四：焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论五：以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。
结论六：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论七：以AF，BF为直径的圆与y轴相切。
我在做13年高考题中，发现了一个新的结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。
【关键词】焦点弦抛物线问题高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0148-01 全国大纲卷（11）
已知抛物线C：y2=8x与点M(-2，2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若■·■=0，则k=（）
（A）■ （B）■ （C）■ （D）2
标准答案：【解析】设直线AB方程为y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）
∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即
(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①
∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③
由（?鄢）及①②③得k=2，故选D
标准答案的计算量非常的大，主要考察学生的计算能力。
我觉得的用抛物线的性质可以非常快的解决这个问题。我的做法，利用抛物线的焦点弦的性质，以AB为直径的圆与准线相切，M点在准线上，满足MA⊥MB，M为与准线的切点。取AB中点E，则ME⊥y轴。所以y1+y2=4。
设直线方程为y=k(x-2)，由y=k(x-2)y2=8x得■y2-y-2k=0，所以y1+y2=■。
所以k=2。
同时我发现MF⊥AB，这是一个必然事件，还是一个偶然事件？由此，我做了以下的证明。
例：已知抛物线y2=2px(p＞0)，直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，AB中点在准线上的射影为M，求证：MF⊥AB。
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(-■，■)
当x1≠x2时，kAB=■=■=■，kMF=■=■
所以，kAB·kMF=-1，所以MF⊥AB。
当x1=x2时，y1+y2=0，AB⊥x轴，MF与x轴重合。所以， MF⊥AB。
所以，我们得到了，焦点弦的一个性质，
那就是：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。 参考文献：
[1]苏福增;例谈抛物线的最值问题[J];福建中学数学;2008年06期
[2]姚立宏;刘兴培;关于抛物线焦点弦的若干结论[J];高中数学教与学;2003年07期
[3]杨丽;抛物线焦点弦的性质及其应用[J];科技信息;2009年30期
[4]裴金楼;抛物线焦点弦的几条性质[J];数理天地(高中版);2007年10期
抛物线的焦点弦问题
作者：王野
来源：《课程教育研究·中》2014年第06期
【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路，而且能够节省很多时间。例如：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦（过焦点F的弦），且A(x1，y1)，B(x2,y2),则： 结论一：x1x2=■，y1y2=-p2。
结论二：■+■=■。
结论三：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB=■ 结论四：焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论五：以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。
结论六：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论七：以AF，BF为直径的圆与y轴相切。
我在做13年高考题中，发现了一个新的结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。
【关键词】焦点弦抛物线问题高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0148-01 全国大纲卷（11）
已知抛物线C：y2=8x与点M(-2，2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若■·■=0，则k=（）
（A）■ （B）■ （C）■ （D）2
标准答案：【解析】设直线AB方程为y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）
∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即
(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①
∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③
由（?鄢）及①②③得k=2，故选D
标准答案的计算量非常的大，主要考察学生的计算能力。
我觉得的用抛物线的性质可以非常快的解决这个问题。我的做法，利用抛物线的焦点弦的性质，以AB为直径的圆与准线相切，M点在准线上，满足MA⊥MB，M为与准线的切点。取AB中点E，则ME⊥y轴。所以y1+y2=4。
设直线方程为y=k(x-2)，由y=k(x-2)y2=8x得■y2-y-2k=0，所以y1+y2=■。
所以k=2。
同时我发现MF⊥AB，这是一个必然事件，还是一个偶然事件？由此，我做了以下的证明。
例：已知抛物线y2=2px(p＞0)，直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，AB中点在准线上的射影为M，求证：MF⊥AB。
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(-■，■)
当x1≠x2时，kAB=■=■=■，kMF=■=■
所以，kAB·kMF=-1，所以MF⊥AB。
当x1=x2时，y1+y2=0，AB⊥x轴，MF与x轴重合。所以， MF⊥AB。
所以，我们得到了，焦点弦的一个性质，
那就是：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。 参考文献：
[1]苏福增;例谈抛物线的最值问题[J];福建中学数学;2008年06期
[2]姚立宏;刘兴培;关于抛物线焦点弦的若干结论[J];高中数学教与学;2003年07期
[3]杨丽;抛物线焦点弦的性质及其应用[J];科技信息;2009年30期
[4]裴金楼;抛物线焦点弦的几条性质[J];数理天地(高中版);2007年10期