抛物线及其性质
作者：周佳
来源：《数学金刊·高考版》2015年第01期
应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等是一个难点也是重点，本文旨在归纳相关性质及相关例题. 重点难点
重点：（1）利用定义求抛物线的标准方程，与抛物线有关的焦半径问题及最值；（2）利用焦点弦的性质处理有关焦点弦的问题；（3）联立直线与抛物线的方程，设而不求，解决直线与抛物线的综合问题.
难点：涉及抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，切线问题，轨迹问题，最值问题，参数范围问题，定点、定值问题，面积与弦长问题，向量的共线、垂直、夹角等问题，考题大都比较难.
方法突破
抛物线的定义有广泛的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线的问题可根据定义获得简捷、直观的求解. “由数想到形，由形想到数”，数形结合是灵活解题的一条捷径. 解决直线与抛物线的综合问题，要注意运用韦达定理，通过“设而不求”的方法求解. 抛物线的切线问题，注意与导数的几何意义联系，利用导数求解. 有关焦点弦问题要注意焦点弦的性质.
抛物线y2=2px（p>0）的几何性质：
（1）焦点坐标F，0，离心率e=1，准线方程x=-.
（2）p的几何意义是焦点到准线的距离.
（3）焦半径：①MF=x0+，其中M（x0，y0）；②过抛物线y2=2px（p>0）的焦半径FP的端点P作抛物线的切线，交准线于点Q，则FP⊥FQ.
（4）若过y2=2px的焦点F的直线与其有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①x1·x2=，y1·y2=-p2；
②焦点弦AB的长AB=x1+x2+p；
③设直线AB的倾斜角为α，则有AB==2p（k为直线AB的斜率，且斜率存在），特别地，当α=90°时，AB为抛物线的通径，且AB=2p；
④以AB为直径的圆与抛物线的位置关系为相切；
⑤A在准线上的射影为A1，B在准线上的射影为B1，则∠A1FB1=90°；
⑥+=；
⑦若=λ（λ>1），则cosα=（α为直线AB的倾斜角）.
（5）直线l与抛物线y2=2px（p>0）有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），若⊥，则直线l过定点（2p，0）.
（6）抛物线y2=2px（p>0）的准线为l，焦点弦所在直线（倾斜角为θ）与准线l相交于点A，与抛物线的另一个交点为B（线段AF外的交点），若=λ，则cosθ=.
（7）弦长公式与点差法：
①若直线l：y=kx+b与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则AB=.
②若直线l：y=kx+b与抛物线C：y2=2px交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且M（x0，y0）为A，B的中点，则kAB=.
典例精讲
例1 如图1，抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若BC=2BF，且AF=4，求抛物线的标准方程.
思索 要求抛物线的标准方程，即要求p，而p的几何意义是焦点到准线的距离. 本题涉及抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离，抓住抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，点到准线的距离转化为点到焦点的距离是本题解题的关键. 破解 设点A（x1，y1），其中y1>0. 由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则可得BF=BB1. 又由已知CB=2FB，所以CB=2BB1，cos∠CBB1==，∠CBB1=，即直线AB与x轴的夹角为. 又已知AF=AK=4，AC=2AK=8，所以F为AC的中点，所以p==2，所以抛物线的标准方程为y2=4x.
例2 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，=3，则弦AB的中点到准线的距离为_____.
思索 利用焦点弦的弦长公式AB=x1+x2+p=，焦点弦的性质+=，问题便可迎刃而解. 破解1 设直线l的方程为y=k（x-1），联立方程：y=k（x-1），y2=4x？圯k2x2-
（2k2+4）x+k2=0. A（x1，y1），B（x2，y2），x1·x2=1，=3？圯1-x1=3（x2-1）？圯x1=4-3x2，（4-3x2）·x2=1？圯3x-4x2+1=0？圯x2=1，x1=1（舍）或x2=，x1=3，AB=x1+x2+p=，AB的中点到准线的距离为.
破解2 +=？圯+=1？圯BF=，AF=，AB=，所以AB的中点到准线的距离为.
例3 （1）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，4，则PA+PM的最小值是_______.
（2）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，F为抛物线的焦点，点B（2，1），则PF+PB的最小值是_______，此时点P 的坐标为_______.
（3）已知抛物线的方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为_______.
思索 （1）该题是求抛物线上的点到坐标轴的距离与到定点的距离之和的最小值；（2）该题是求抛物线上的点到焦点的距离与到定点的距离之和的最小值；（3）该题是求抛物线上的点到坐标轴的距离与到定直线的距离之和的最小值. 上面这三种题型是考查抛物线的定义与性质的常见题. 解决问题主要利用抛物线的定义进行转化，将到焦点的距离转化到准线，到准线的距离转化到焦点，到坐标轴的距离先转化到准线再转化到焦点，最后结合抛物线的图象，利用数形结合的方法求出最值及点的坐标.
破解 （1）注意到点A在抛物线外，设P到准线的距离为d，F为抛物线的焦点，则PF=d，PM=d-=PF-，PA+PM=PA+PF-≥AF-=.
（2）注意到B（2，1）在抛物线内，设点P到准线的距离为d，点B到准线的距离为d′，则PF=d，PF+PB≥d+PB≥d′=，此时点P的坐标为，1.
（3）设点P到准线的距离为d，F到l的距离为d′，则d1=d-1，F为抛物线的焦点，PF=d，d1+d2=PF+d2-1≥d′-1=-1.
例4 如图2，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py（p>0）交于A，B两点，O为坐标原点，+=（-4，-12）.
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值.
思索 （1）由已知条件+=（-4，-12）易求得直线l的方程，再由点差法即可求得抛物线C的方程.
（2）因为线段AB的长度为定值，所以只要求点P到直线AB的最大值即可，原问题转化为求点到直线的距离.
破解 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x0==-2，y0==-6，代入直线l：y=kx-2，得k=2. 由点差法，得k=-，p=1. 所以直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x2=-2y.
（2）设P（x0，y0），依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大. 又y′=-x，所以-x0=2？圯x0= -2，y0=-x20=-2，所以P（-2，-2）.
此时点P到直线l的距离d===.
由y=2x-2，x2=-2y得x2+4x-4=0，AB=·=·=4. 所以△ABP的面积的最大值为×4×=8. 变式练习
1. （2014年高考辽宁卷）已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. （2014年高考新课标卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点. 若=4，则等于（ ）
A. B. 3 C. D. 2
3. （2014年高考新课标卷Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设抛物线y2=4x的焦点为F，经过点P（2，1）的直线与抛物线交于A，B两点，又知点P恰好为AB的中点，则AF+BF的值是_____.
5. （2014年高考湖南卷）如图3，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a0）经过C，F两点，则=________.
图3
6. （2014年高考全国卷）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
参考答案
1. D 2. B 3. D
4. 6 5. 1+
6. （1）设Q（x0，4），代入y2=2px，得x0=，所以PQ=，QF=+x0=+. 由题设得+=×，解得p=-2（舍去）或p=2. 所以C的方程为y2=4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x，得y2-4my-4=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4. 故线段AB的中点为D（2m2+1，2m），AB=y1-y2=4（m2+1）.
又直线l′的斜率为-m，所以l′的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x，并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.
设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3+y4=-，y3y4=-4（2m2+3），故线段MN的中点为E+2m2+3，-，MN=·y3-y=.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN. 从而AB2+DE2=MN2，即4（m2+1）2+2m+2++22=，化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1. 故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
抛物线及其性质
作者：周佳
来源：《数学金刊·高考版》2015年第01期
应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等是一个难点也是重点，本文旨在归纳相关性质及相关例题. 重点难点
重点：（1）利用定义求抛物线的标准方程，与抛物线有关的焦半径问题及最值；（2）利用焦点弦的性质处理有关焦点弦的问题；（3）联立直线与抛物线的方程，设而不求，解决直线与抛物线的综合问题.
难点：涉及抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，切线问题，轨迹问题，最值问题，参数范围问题，定点、定值问题，面积与弦长问题，向量的共线、垂直、夹角等问题，考题大都比较难.
方法突破
抛物线的定义有广泛的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线的问题可根据定义获得简捷、直观的求解. “由数想到形，由形想到数”，数形结合是灵活解题的一条捷径. 解决直线与抛物线的综合问题，要注意运用韦达定理，通过“设而不求”的方法求解. 抛物线的切线问题，注意与导数的几何意义联系，利用导数求解. 有关焦点弦问题要注意焦点弦的性质.
抛物线y2=2px（p>0）的几何性质：
（1）焦点坐标F，0，离心率e=1，准线方程x=-.
（2）p的几何意义是焦点到准线的距离.
（3）焦半径：①MF=x0+，其中M（x0，y0）；②过抛物线y2=2px（p>0）的焦半径FP的端点P作抛物线的切线，交准线于点Q，则FP⊥FQ.
（4）若过y2=2px的焦点F的直线与其有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①x1·x2=，y1·y2=-p2；
②焦点弦AB的长AB=x1+x2+p；
③设直线AB的倾斜角为α，则有AB==2p（k为直线AB的斜率，且斜率存在），特别地，当α=90°时，AB为抛物线的通径，且AB=2p；
④以AB为直径的圆与抛物线的位置关系为相切；
⑤A在准线上的射影为A1，B在准线上的射影为B1，则∠A1FB1=90°；
⑥+=；
⑦若=λ（λ>1），则cosα=（α为直线AB的倾斜角）.
（5）直线l与抛物线y2=2px（p>0）有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），若⊥，则直线l过定点（2p，0）.
（6）抛物线y2=2px（p>0）的准线为l，焦点弦所在直线（倾斜角为θ）与准线l相交于点A，与抛物线的另一个交点为B（线段AF外的交点），若=λ，则cosθ=.
（7）弦长公式与点差法：
①若直线l：y=kx+b与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则AB=.
②若直线l：y=kx+b与抛物线C：y2=2px交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且M（x0，y0）为A，B的中点，则kAB=.
典例精讲
例1 如图1，抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若BC=2BF，且AF=4，求抛物线的标准方程.
思索 要求抛物线的标准方程，即要求p，而p的几何意义是焦点到准线的距离. 本题涉及抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离，抓住抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，点到准线的距离转化为点到焦点的距离是本题解题的关键. 破解 设点A（x1，y1），其中y1>0. 由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则可得BF=BB1. 又由已知CB=2FB，所以CB=2BB1，cos∠CBB1==，∠CBB1=，即直线AB与x轴的夹角为. 又已知AF=AK=4，AC=2AK=8，所以F为AC的中点，所以p==2，所以抛物线的标准方程为y2=4x.
例2 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，=3，则弦AB的中点到准线的距离为_____.
思索 利用焦点弦的弦长公式AB=x1+x2+p=，焦点弦的性质+=，问题便可迎刃而解. 破解1 设直线l的方程为y=k（x-1），联立方程：y=k（x-1），y2=4x？圯k2x2-
（2k2+4）x+k2=0. A（x1，y1），B（x2，y2），x1·x2=1，=3？圯1-x1=3（x2-1）？圯x1=4-3x2，（4-3x2）·x2=1？圯3x-4x2+1=0？圯x2=1，x1=1（舍）或x2=，x1=3，AB=x1+x2+p=，AB的中点到准线的距离为.
破解2 +=？圯+=1？圯BF=，AF=，AB=，所以AB的中点到准线的距离为.
例3 （1）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，4，则PA+PM的最小值是_______.
（2）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，F为抛物线的焦点，点B（2，1），则PF+PB的最小值是_______，此时点P 的坐标为_______.
（3）已知抛物线的方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为_______.
思索 （1）该题是求抛物线上的点到坐标轴的距离与到定点的距离之和的最小值；（2）该题是求抛物线上的点到焦点的距离与到定点的距离之和的最小值；（3）该题是求抛物线上的点到坐标轴的距离与到定直线的距离之和的最小值. 上面这三种题型是考查抛物线的定义与性质的常见题. 解决问题主要利用抛物线的定义进行转化，将到焦点的距离转化到准线，到准线的距离转化到焦点，到坐标轴的距离先转化到准线再转化到焦点，最后结合抛物线的图象，利用数形结合的方法求出最值及点的坐标.
破解 （1）注意到点A在抛物线外，设P到准线的距离为d，F为抛物线的焦点，则PF=d，PM=d-=PF-，PA+PM=PA+PF-≥AF-=.
（2）注意到B（2，1）在抛物线内，设点P到准线的距离为d，点B到准线的距离为d′，则PF=d，PF+PB≥d+PB≥d′=，此时点P的坐标为，1.
（3）设点P到准线的距离为d，F到l的距离为d′，则d1=d-1，F为抛物线的焦点，PF=d，d1+d2=PF+d2-1≥d′-1=-1.
例4 如图2，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py（p>0）交于A，B两点，O为坐标原点，+=（-4，-12）.
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值.
思索 （1）由已知条件+=（-4，-12）易求得直线l的方程，再由点差法即可求得抛物线C的方程.
（2）因为线段AB的长度为定值，所以只要求点P到直线AB的最大值即可，原问题转化为求点到直线的距离.
破解 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x0==-2，y0==-6，代入直线l：y=kx-2，得k=2. 由点差法，得k=-，p=1. 所以直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x2=-2y.
（2）设P（x0，y0），依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大. 又y′=-x，所以-x0=2？圯x0= -2，y0=-x20=-2，所以P（-2，-2）.
此时点P到直线l的距离d===.
由y=2x-2，x2=-2y得x2+4x-4=0，AB=·=·=4. 所以△ABP的面积的最大值为×4×=8. 变式练习
1. （2014年高考辽宁卷）已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. （2014年高考新课标卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点. 若=4，则等于（ ）
A. B. 3 C. D. 2
3. （2014年高考新课标卷Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设抛物线y2=4x的焦点为F，经过点P（2，1）的直线与抛物线交于A，B两点，又知点P恰好为AB的中点，则AF+BF的值是_____.
5. （2014年高考湖南卷）如图3，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a0）经过C，F两点，则=________.
图3
6. （2014年高考全国卷）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
参考答案
1. D 2. B 3. D
4. 6 5. 1+
6. （1）设Q（x0，4），代入y2=2px，得x0=，所以PQ=，QF=+x0=+. 由题设得+=×，解得p=-2（舍去）或p=2. 所以C的方程为y2=4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x，得y2-4my-4=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4. 故线段AB的中点为D（2m2+1，2m），AB=y1-y2=4（m2+1）.
又直线l′的斜率为-m，所以l′的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x，并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.
设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3+y4=-，y3y4=-4（2m2+3），故线段MN的中点为E+2m2+3，-，MN=·y3-y=.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN. 从而AB2+DE2=MN2，即4（m2+1）2+2m+2++22=，化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1. 故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.