课 题：8．5抛物线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；
23教学重点：抛物线的定义
教学难点：抛物线标准方程的不同形式
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： “抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最作为教学大纲规定的重点内容，高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学但抛物线的确定过程中只有一个定点，所以这里要从对e 教材利用教具演示引出抛物线定义，这种直观形象的过程类似于椭圆、双但这三者毕竟有着各自的特征，尤其是抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以演示操作时除了讲出教材像椭圆和双曲线一样，抛物线的标准方程不只一种形式，而是共有4种形为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线没有渐近第一课时主要内容为抛物线的定义、标准方程及其第二课时教学过程：
一、复习引入： 一动点到定点的距
离和它到一条定直线l 的距离的比是一个(0, 1) 内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常
数e
2. 双曲线的第二定义：一动点到定点F
的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个
(1, +∞) 内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做其中定点叫做双曲线的焦点，定直常数e 是双曲线的3．问题：到定点距离与到定直线距离
之比是定值e 的点的轨迹，当01时是双曲线。此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？
若一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个常数e =1时，那么这个点的轨迹是什么曲线？
把一根直尺固定在图板上直线L 位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘, 再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A ，取绳长等于点A 到直角标顶点C 的长（即点A 到直线L 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点用铅笔尖扣着绳子，使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条二、讲解新课：
1. 抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）, 那么焦点p p F 的坐标为(, 0) ，准线l 的方程为x =-， 22
设抛物线上的点M （x,y ），则有(x -
化简方程得 y =2px 2
p 2p ) +y 2=|x +22(p >0
方程y 2=2px (p >0)（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （
的准线方程是x =-p ,0），它2p 2
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=-2px ，x 2=2py ，x 2=-2py . 3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），
, 0) ，准线l ：x =-22
p (2)x 2=2py (p >0) , 焦点:(0, ) ，准线l ：y =2
p p 2(3)y =-2px (p >0) , 焦点:(-, 0) ，准线l ：x =22
p 2(4) x =-2py (p >0) , 焦点:(0, -) ，准线l ：y =2(1)y 2=2px (p >0) , 焦点:(
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12p =，即44不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为±2px 、左端为y 2；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为±2py ，左端为x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 2
轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、
自学能力，提高教学效果 （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是y 2=6x （2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2）分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p ，问题易解。
解析：（1）p ＝3，焦点坐标是（33，0）准线方程是x ＝－． 22
p （2）焦点在y 轴负半轴上，＝2， 2
2所以所求抛物线的标准议程是x =-8y ．
例2 已知抛物线的标准方程是（1）y ＝12x ，（2）y ＝12x ，求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p 的值．
解：（1）p ＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x ＝－3．
（2）先化为标准方程x =准线方程是y ＝－222111y ，p =，焦点坐标是（0，）， 224481. 48
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F （－5，0）
（2）经过点A （2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p ，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p 值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）.
解：（1）焦点在x 轴负半轴上，p ＝5， 2
所以所求抛物线的标准议程是y 2=-20x ．
（2）经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y 2＝2px 或x 2＝－2py ．
点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝
29 24 3点A （2，－3）坐标代入x ＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝
∴所求抛物线的标准方程是y ＝294x 或x 2＝－y 23
四、课堂练习：
1（1）y ＝8x 2（2）x ＝4y （3）2y ＋3x ＝0 （4）y =-2212x 6
2（1）焦点是F （－2，0（2）准线方程是y =13
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y （4）经过点A （6，－223．抛物线x ＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 课堂练习答案：
1．（1）F （2，0），x ＝－2 （2）（0，1），y ＝－1
（3）（-33，0），x ＝ 88
22（4）（0，-33），y ＝ 22（3）x ＝8y 或x ＝－8y 222．（1）y ＝－8x
（4）y =2（2）x ＝－4y 32x 或 x 2=-18y 3
3．（±6，9点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；
（2）p 表示焦点到准线的距离故p ＞0；（3五、小结 ： 七、板书设计
课 题：8．5抛物线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；
23教学重点：抛物线的定义
教学难点：抛物线标准方程的不同形式
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： “抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最作为教学大纲规定的重点内容，高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学但抛物线的确定过程中只有一个定点，所以这里要从对e 教材利用教具演示引出抛物线定义，这种直观形象的过程类似于椭圆、双但这三者毕竟有着各自的特征，尤其是抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以演示操作时除了讲出教材像椭圆和双曲线一样，抛物线的标准方程不只一种形式，而是共有4种形为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线没有渐近第一课时主要内容为抛物线的定义、标准方程及其第二课时教学过程：
一、复习引入： 一动点到定点的距
离和它到一条定直线l 的距离的比是一个(0, 1) 内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常
数e
2. 双曲线的第二定义：一动点到定点F
的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个
(1, +∞) 内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做其中定点叫做双曲线的焦点，定直常数e 是双曲线的3．问题：到定点距离与到定直线距离
之比是定值e 的点的轨迹，当01时是双曲线。此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？
若一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个常数e =1时，那么这个点的轨迹是什么曲线？
把一根直尺固定在图板上直线L 位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘, 再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A ，取绳长等于点A 到直角标顶点C 的长（即点A 到直线L 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点用铅笔尖扣着绳子，使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条二、讲解新课：
1. 抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）, 那么焦点p p F 的坐标为(, 0) ，准线l 的方程为x =-， 22
设抛物线上的点M （x,y ），则有(x -
化简方程得 y =2px 2
p 2p ) +y 2=|x +22(p >0
方程y 2=2px (p >0)（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （
的准线方程是x =-p ,0），它2p 2
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=-2px ，x 2=2py ，x 2=-2py . 3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），
, 0) ，准线l ：x =-22
p (2)x 2=2py (p >0) , 焦点:(0, ) ，准线l ：y =2
p p 2(3)y =-2px (p >0) , 焦点:(-, 0) ，准线l ：x =22
p 2(4) x =-2py (p >0) , 焦点:(0, -) ，准线l ：y =2(1)y 2=2px (p >0) , 焦点:(
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12p =，即44不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为±2px 、左端为y 2；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为±2py ，左端为x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 2
轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、
自学能力，提高教学效果 （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是y 2=6x （2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2）分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p ，问题易解。
解析：（1）p ＝3，焦点坐标是（33，0）准线方程是x ＝－． 22
p （2）焦点在y 轴负半轴上，＝2， 2
2所以所求抛物线的标准议程是x =-8y ．
例2 已知抛物线的标准方程是（1）y ＝12x ，（2）y ＝12x ，求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p 的值．
解：（1）p ＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x ＝－3．
（2）先化为标准方程x =准线方程是y ＝－222111y ，p =，焦点坐标是（0，）， 224481. 48
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F （－5，0）
（2）经过点A （2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p ，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p 值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）.
解：（1）焦点在x 轴负半轴上，p ＝5， 2
所以所求抛物线的标准议程是y 2=-20x ．
（2）经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y 2＝2px 或x 2＝－2py ．
点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝
29 24 3点A （2，－3）坐标代入x ＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝
∴所求抛物线的标准方程是y ＝294x 或x 2＝－y 23
四、课堂练习：
1（1）y ＝8x 2（2）x ＝4y （3）2y ＋3x ＝0 （4）y =-2212x 6
2（1）焦点是F （－2，0（2）准线方程是y =13
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y （4）经过点A （6，－223．抛物线x ＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 课堂练习答案：
1．（1）F （2，0），x ＝－2 （2）（0，1），y ＝－1
（3）（-33，0），x ＝ 88
22（4）（0，-33），y ＝ 22（3）x ＝8y 或x ＝－8y 222．（1）y ＝－8x
（4）y =2（2）x ＝－4y 32x 或 x 2=-18y 3
3．（±6，9点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；
（2）p 表示焦点到准线的距离故p ＞0；（3五、小结 ： 七、板书设计