§2.3.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标
（一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程
（二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 （三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点
抛物线的定义及标准方程，能据已知条件用坐标法求抛物线的方程； 会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形， 三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程 （一）复习旧知
在初中，我们学习过了二次函数y =ax +bx +c ，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）y =4x ，（2）y =-4x 的图象（展示两个函数图象）：
2
2
2
（二）讲授新课 1. 课题引入
在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门, 它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物；再看一张图片，这是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥---赵州桥，大家觉得它的拱底是什么曲线？ （学生易回答是抛物线）
师：事实上，它并不是抛物线，而是圆的一段劣弧。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？ 这就是我们今天要研究的内容。
（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程） 2.抛物线的定义
（定义引入）：
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。（板书） 思考？若F 在l 上呢？（学生思考、讨论、画图） 此时退化为过F 点且与直线 l 垂直的一条直线。 3. 抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M (x , y )满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。那么动点M (x , y )的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？ 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
问题 设焦点F 到准线l 的距离为p (p >0) ，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程。
（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）
注意：1. 标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。
2. 若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算 3. 强调P 的意义。
4. 教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方
程的解(x , y )为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程
（选择标准方程）
师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？ （学生选择，说明1. 对称轴 2. 焦点 3. 方程无常数项，顶点在原点）
师：我们把方程y =2px (p >0) 叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是 是x =-
2
⎛p ⎫
,0⎪，准线方程2⎝⎭
p
。（幻灯片展示下列表格的第一行） 2
师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：
（抛物线展示下列表格的第一列）（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）
对表格的说明：统观四种情况
（1）p (p >0) 表示焦点F 到准线l 的距离；
（2）抛物线标准方程中若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，
焦点在y 轴上；（对称轴看一次项）
（3）若标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为x 轴或y 轴的正方向；若一次项前面的系数为
负数，则开口方向为x 轴或y 轴的负方向；（符号决定开口方向）
（4）焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的1，准线方程中的数值是一次项系数的-1。
444. 例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y =6x ，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是F (0, -2)，求它的标准方程。
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，再利用焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次
项系数的1，准线方程中的数值是一次项系数的-1，得到焦点坐标和准线方程。
44
2
（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再利用1关系写出方程。
4 解：（1）因为p =3，所以抛物线的焦点坐标为
3⎛3⎫
,0⎪，准线方程为x =-
2⎝2⎭
（2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为x 2=-8y 。 随堂练习1
P 59练习1，2
2
练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（）1x =
1
y 2
（2）2y 2+5x =0 （3）x 2+16y =0
练习2根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是F (3，0) （2）准线方程是x =-
1
4
（3）焦点到准线的距离是2
思考？你能说明二次函数y =ax (a ≠0) 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。 学生思考，教师引导学生从抛物线的标准方程角度说明
例2 （1）M （x 0, y 0) 是抛物线y 2=2px (p >0) 上一点，则点M 到准线的距离是x 0+
2
p
， 2
点M 到焦点的距离是x 0+
p 。 2
p ，。 2
（2）M （x 0, y 0) 是抛物线y 2=-2px (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是-x 0+
（3）M （x 0, y 0) 是抛物线x 2=2py (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是y 0+
p
，。 2p ，。 2
（4）M （x 0, y 0) 是抛物线x 2=-2py (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是-y 0+
例题小结：求抛物线上点到焦点的距离可以转化成求点到准线的距离来计算。 当抛物线焦点在x 轴上时，点M 到焦点的距离只与M 的横坐标有关系， 当抛物线焦点在y 轴上时，点M 到焦点的距离只与M 的纵坐标有关系。 随堂练习2练习3
（1）1. 抛物线y =2px (p >0) 上一点M 到焦点距离是a (a >点M 的横坐标是 。
（2）抛物线y =12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是。 5. 课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
1、抛物线的定义及其标准方程（注意四种形式的异同）；
2、已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法：关键是：定轴向——求p 值——写方程； 已知抛物线的标准方程，求抛物线的焦点与准线方程，关键要确定轴向。 3、抛物线上点M 到焦点F 距离的求解方法：可以转化成点M 到准线距离。 6. 课后作业
（1）
2
P 59练习3 （时间有多于则完成）
2
p
) ，则点M 到准线的距离是，2
P 64 A组1，2，3
2
思考？过抛物线y =4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点，若y 1+y 2=5，求线段AB 的长。
7. 板书设计
五、后记
§2.3.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标
（一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程
（二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 （三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点
抛物线的定义及标准方程，能据已知条件用坐标法求抛物线的方程； 会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形， 三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程 （一）复习旧知
在初中，我们学习过了二次函数y =ax +bx +c ，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）y =4x ，（2）y =-4x 的图象（展示两个函数图象）：
2
2
2
（二）讲授新课 1. 课题引入
在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门, 它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物；再看一张图片，这是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥---赵州桥，大家觉得它的拱底是什么曲线？ （学生易回答是抛物线）
师：事实上，它并不是抛物线，而是圆的一段劣弧。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？ 这就是我们今天要研究的内容。
（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程） 2.抛物线的定义
（定义引入）：
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。（板书） 思考？若F 在l 上呢？（学生思考、讨论、画图） 此时退化为过F 点且与直线 l 垂直的一条直线。 3. 抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M (x , y )满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。那么动点M (x , y )的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？ 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
问题 设焦点F 到准线l 的距离为p (p >0) ，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程。
（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）
注意：1. 标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。
2. 若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算 3. 强调P 的意义。
4. 教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方
程的解(x , y )为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程
（选择标准方程）
师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？ （学生选择，说明1. 对称轴 2. 焦点 3. 方程无常数项，顶点在原点）
师：我们把方程y =2px (p >0) 叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是 是x =-
2
⎛p ⎫
,0⎪，准线方程2⎝⎭
p
。（幻灯片展示下列表格的第一行） 2
师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：
（抛物线展示下列表格的第一列）（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）
对表格的说明：统观四种情况
（1）p (p >0) 表示焦点F 到准线l 的距离；
（2）抛物线标准方程中若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，
焦点在y 轴上；（对称轴看一次项）
（3）若标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为x 轴或y 轴的正方向；若一次项前面的系数为
负数，则开口方向为x 轴或y 轴的负方向；（符号决定开口方向）
（4）焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的1，准线方程中的数值是一次项系数的-1。
444. 例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y =6x ，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是F (0, -2)，求它的标准方程。
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，再利用焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次
项系数的1，准线方程中的数值是一次项系数的-1，得到焦点坐标和准线方程。
44
2
（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再利用1关系写出方程。
4 解：（1）因为p =3，所以抛物线的焦点坐标为
3⎛3⎫
,0⎪，准线方程为x =-
2⎝2⎭
（2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为x 2=-8y 。 随堂练习1
P 59练习1，2
2
练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（）1x =
1
y 2
（2）2y 2+5x =0 （3）x 2+16y =0
练习2根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是F (3，0) （2）准线方程是x =-
1
4
（3）焦点到准线的距离是2
思考？你能说明二次函数y =ax (a ≠0) 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。 学生思考，教师引导学生从抛物线的标准方程角度说明
例2 （1）M （x 0, y 0) 是抛物线y 2=2px (p >0) 上一点，则点M 到准线的距离是x 0+
2
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， 2
点M 到焦点的距离是x 0+
p 。 2
p ，。 2
（2）M （x 0, y 0) 是抛物线y 2=-2px (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是-x 0+
（3）M （x 0, y 0) 是抛物线x 2=2py (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是y 0+
p
，。 2p ，。 2
（4）M （x 0, y 0) 是抛物线x 2=-2py (p >0) 上一点，则点M 到焦点的距离是-y 0+
例题小结：求抛物线上点到焦点的距离可以转化成求点到准线的距离来计算。 当抛物线焦点在x 轴上时，点M 到焦点的距离只与M 的横坐标有关系， 当抛物线焦点在y 轴上时，点M 到焦点的距离只与M 的纵坐标有关系。 随堂练习2练习3
（1）1. 抛物线y =2px (p >0) 上一点M 到焦点距离是a (a >点M 的横坐标是 。
（2）抛物线y =12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是。 5. 课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
1、抛物线的定义及其标准方程（注意四种形式的异同）；
2、已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法：关键是：定轴向——求p 值——写方程； 已知抛物线的标准方程，求抛物线的焦点与准线方程，关键要确定轴向。 3、抛物线上点M 到焦点F 距离的求解方法：可以转化成点M 到准线距离。 6. 课后作业
（1）
2
P 59练习3 （时间有多于则完成）
2
p
) ，则点M 到准线的距离是，2
P 64 A组1，2，3
2
思考？过抛物线y =4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点，若y 1+y 2=5，求线段AB 的长。
7. 板书设计
五、后记