圆锥曲线与方程 专题1、椭圆
椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。 特别提示：
椭圆的定义中特别要注意条件2a >2c ，否则规矩不是椭圆。当2a =2c 时，动点的轨迹是两定点间的线段；当2a |F 1F 2|} 若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 。 1|+|MF 2|=2a
2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。 典例导悟：
例1、已知F 1(-1, 0) ，F 2(1, 0) 是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且|AB |=3，则C 的方程为（ ）
x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22
+y =1 B 、+=1 C 、+=1 D 、+=1 A 、2324354x 2
+y 2=1相交于A 、例2、已知点M (3, 0) ，直线y =k (x +3) 与椭圆B 两点，则∆ABM 4
的周长为（ ）
A 、4 B 、8 C 、12 D 、16
x 2y 2
例3、设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，
a b
o
PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30，则C 的离心率为（ ）
A 、
113 B 、 C 、 D 、
3263
1、椭圆的标准方程：
x 2y 2
（1）焦点在x 轴上时：2+2=1 （a >b >0）
a b
y 2x 2
（2）焦点在y 轴上时：2+2=1 （a >b >0）
a b
2、在椭圆的标准方程中，都有a >b >0，且b =a -c 。 必备方法：
2
2
2
x 2y 2+=1时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x 轴上 1、给出椭圆方程
m n
时⇔m >n ；椭圆的焦点在y 轴上时⇔m
x 2y 2
+=1（m >0，n >0且m ≠n ） 3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为 m n
典例导悟：
例1、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1, 0) ，离心率等于
1
，则C 的方程是（ ） 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B 、+=1 D 、+=1 A 、=1 C 、+3442434x 2y 2322
例2、已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率为。双曲线x -y =1的渐近线与
a b 2
椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B 、+=1 C 、+=1 D 、+=1 A 、[1**********]
22
例3、对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx +ny =1的曲线是椭圆”的（ ）
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 必备方法：
1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目中给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。 2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。
3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（x 1+x 2=-
b c
，x 1x 2=）解题。 a a
典例导悟：
例1、设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若∆F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 、
2-1
B 、 C 、2-2 D 、2-1 22
例2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A 、
3223 B 、 C 、 D 、 3322
例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A 、
2134
B 、 C 、 D 、 5555
x 2y 2
例4、从椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是
a b
椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB //OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A 、
122 B 、 C 、 D 、
2422
x 2y 2
例5、椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为F 1、
a b
F 2，若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A 、
11 B 、 C 、 D 、-2 425
x 2y 2
例6、已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，
a b
且BF ⊥x 轴，直线A B 交y 轴于点P 。若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A 、
1132
B 、 C 、 D 、
2322
双曲线的定义：平面上与两个定点F 1、F 2距离的差的绝对值为非零常数2a （小于。这两个定点叫做双曲线的焦点，两|F 1F 2|）的动点轨迹是双曲线（||PF 1|-|PF 2||=2a ）焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
特别提示：
定义中的“绝对值”与2a |F 1F 2|，则轨迹不存在；若2a =0，则轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如：
2222
方程(x -6) +y -(x +6) +y =8表示的双曲线是双曲线的左支。
必备方法：
1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下：
P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a , 2a
2、在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”。 典例导悟：
例1、已知双曲线x 2-y 2=1，点F 1、点P 为双曲线上一点，若PF F 2为其两个焦点，1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为
例2、已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60o ，则|PF 1|⋅|PF 2|=（ ）
A 、2 B 、4 C 、6 D 、8
例3、已知F 1、F 2为双曲线C :x -y =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A 、
2
2
1334
B 、 C 、 D 、 4545
1、双曲线的标准方程：
x 2y 2
（1）焦点在x 轴上时： 2-2=1(a >0, b >0)
a b y 2x 2
（2）焦点在y 轴上时： 2-2=1(a >0, b >0)
a b
特别提示：
在双曲线方程中a 和b 的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。
2、在双曲线的标准方程中，有关系式c =a +b 成立，且a >0, b >0, c >0。 必备方法：
1、双曲线的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 项的系数为正；双曲线的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 项的系数为正，这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。
2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a ，b 的值，最后写出双曲线的标准方程。
3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程
2
2
22
2
2
2
为mx 2+ny 2=1（mn
x 2y 2
-=1上一点M 的横坐标为3，则点M 例1、在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线
412
到此双曲线的右焦点的距离为
x 2y 2
例2、已知双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，
a b
则C 的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B 、-=1 C 、-=1 D 、-=1 A 、
[**************] 2y 2x 2y 2
+=1有相同的焦点，且双曲例3、已知双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 和椭圆
a b 169
线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
x 2y 2
例4、已知抛物线y =8x 的准线过双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 的一个焦点，且双
a b
2
曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为
必备方法：
1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（对称中心、一个焦点以及一个虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系。 2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时，一
x 2y 2
方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程2-2=1(a >0, b >0) 中的“1”
a b x 2y 2
改为“0”，便可得到其渐近线方程。另外与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 具有共同渐近
a b x 2y 2
线的双曲线的方程都可以设为2-2=λ(λ≠0, λ≠1) ，然后再根据其他条件求出λ，代
a b
入便可求出双曲线方程。
x 2y 2
3、与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 共焦点的圆锥曲线方程为
a b x 2y 2
-2=1(λ
a -λb +λ
典例导悟：
x 2y 25
例1、已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0) 的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）
a b 2
A 、y =±
1
x 4
B 、y =±
11
x C 、 y =±x D 、y =±x 32
x 2y 2
-=1的左焦点，P 、Q 为C 上的点。若PQ 的长等于虚轴例2、已知F 为双曲线C ：
916
长的2倍，点A （5，0）在线段PQ 上，则∆PQF 的周长为
例3、双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A 、
12 B 、 C 、1 D 、2 22
x 2y 2
=1的右焦点为（3，0）例4、已知双曲线2-，则该双曲线的离心率等于（ ）
a 5
A 、
34332 B 、 C 、 D 、
23144
b x 2y 2
x 与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 左支的交点，例5、设P 为直线y =F 1是左焦点，PF 13a a b
垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =
x 2y 2x 2y 2
-=1有相同的渐近线，例6、已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 与双曲线C 2:
a b 416
且C 1的右焦点为F (5, 0) ，则a =b =
例7、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2) ，则它的离心率为（ ）
A 、6 B 、 C 、
65
D 、 22
x 2y 2
例8、设O 为坐标原点，F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点，若在双曲线上
a b
存在点P ，满足∠F 1PF 2=60o ，|OP |=7a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 、x ±3y =0 B 、3x ±y =0 C 、x ±2y =0 D 、2x ±y =0 例9、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A 、2 B 、 C 、
+1+1
D 、 22
x 2
+y 2=1与双曲线C
2例10、如图，F 1、F 2是椭圆C 1:4
A 、B 分别为C 1与C 2在第二、四象限的公共点。若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上) 。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 特别提示：
抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）。 必备方法：
１、抛物线定义的集合语言表述如下：
P ={M |
|MF |
=1}，即P ={|MF |=d } d
2、抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要作用。 典例导悟：
例1、已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A 、
357 B 、1 C 、 D 、 444
例2、设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到抛物线焦点的距离是（ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、12
222
例3、已知抛物线y =2px (p >0) 的准线与圆(x -3) +y =16相切，则p 的值为（ ）
A 、
1
B 、1 C 、2 D 、4 2
2
例4、已知过抛物线y =4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|=2，则 例5、动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为
例6、O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=42，则∆POF 的面积为（ ）
A 、2 B 、22 C 、23 D 、4
例7、设抛物线C ：y =4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A 、B 两点。若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ）
A 、y =x -1或 y =-x +1 B 、y =
2
3(x -1) 或y =-(x -1) 3322(x -1) 或y =-(x -1) 22
C 、y =(x -1) 或y =-(x -1) D 、y =
抛物线的标准方程有四种形式：
（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0) ，焦点坐标为
p p (, 0) ，准线方程为x =-； 22
（2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为y 2=-2px (p >0) ，焦点坐标为
(-
p p , 0) ，准线方程为x =； 22
（3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x 2=2py (p >0) ，焦点坐标为
p p (0, ) ，准线方程为y =-；
22
（4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为x 2=-2py (p >0) ，焦点坐标为
p p (0, -) ，准线方程为y =。
22
必备方法：
1、抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要误以为p
2、抛物线的标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得出抛物线的标准方程。 典例导悟：
例1、设抛物线的顶点在原点，准线方程为x =-2，则抛物线的方程是（ ）
A 、y =-8x B 、 y =-4x C 、 y =8x D 、 y =4x 例2、动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为
2
2
2
2
x 2y 2
例3、已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 的离心率为2。若抛物线C 2：
a b
x 2=2py (p >0) 的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ ）
A 、x =
2
816y B 、x 2=y C 、x 2=8y D 、x 2=16y 33
2
A F 例4、设斜率为2的直线l 过抛物线y =ax (a ≠0) 的焦点F ，且和y 轴交于点A 。若∆O
（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A 、y =±4x B 、y =±8x C 、y =4x D 、y =8x
2
2
2
2
必备方法：
1、抛物线不同于椭圆，它是一种不封闭的曲线；它只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点，没有对称中心；它的离心率不变，恒为1.
2、过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作一条直线交抛物线于A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。设直线AB 的倾斜角为θ，则有如下结论：
2
p 2y y =-p 12 （1），x 1x 2=
2
4
（2）|AB |=x 1+x 2+p = （3）S ∆AOB
2p
sin 2θ
p 2= 2sin θ
（4）以线段AB 为直径的圆与准线相切
（5）当AB 与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB 为抛物线的通径，它是焦点弦中的最短者，等于2p
（6）设M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF =∠BMF
（7）设A 、B 在准线上的射影分别为A 1、B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB （8）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 平行于x 轴的直线交准线于C ，则A 、O 、C 三点共线。
典例导悟：
例1、若抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点坐标为（1，0），则p =，准线方程为 例2、抛物线y 2=8x 的焦点到直线x -y =0的距离是（ ） A 、23 B 、2 C 、 D 、1
例3、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2, y 0) 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|= 例4、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为（ ）
A 、18 B 、24 C 、36 D 、48
例5、设M (x 0, y 0) 为抛物线C :x =8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是（ ）
A 、（0，2） B 、[0，2] C 、(2, +∞) D 、[2, +∞)
例6、已知抛物线y 2=2px (p >0) ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A 、x =1 B 、x =-1 C 、x =2 D 、x =-2 例7、抛物线y =8x 的焦点到准线的距离是例8、已知点A （2，0），抛物线C :x =4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|:|MN|=（ ）
A 、2:5 B 、1:2 C 、1: D 、1:3
2
2
2
圆锥曲线与方程 专题1、椭圆
椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。 特别提示：
椭圆的定义中特别要注意条件2a >2c ，否则规矩不是椭圆。当2a =2c 时，动点的轨迹是两定点间的线段；当2a |F 1F 2|} 若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 。 1|+|MF 2|=2a
2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。 典例导悟：
例1、已知F 1(-1, 0) ，F 2(1, 0) 是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且|AB |=3，则C 的方程为（ ）
x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22
+y =1 B 、+=1 C 、+=1 D 、+=1 A 、2324354x 2
+y 2=1相交于A 、例2、已知点M (3, 0) ，直线y =k (x +3) 与椭圆B 两点，则∆ABM 4
的周长为（ ）
A 、4 B 、8 C 、12 D 、16
x 2y 2
例3、设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，
a b
o
PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30，则C 的离心率为（ ）
A 、
113 B 、 C 、 D 、
3263
1、椭圆的标准方程：
x 2y 2
（1）焦点在x 轴上时：2+2=1 （a >b >0）
a b
y 2x 2
（2）焦点在y 轴上时：2+2=1 （a >b >0）
a b
2、在椭圆的标准方程中，都有a >b >0，且b =a -c 。 必备方法：
2
2
2
x 2y 2+=1时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x 轴上 1、给出椭圆方程
m n
时⇔m >n ；椭圆的焦点在y 轴上时⇔m
x 2y 2
+=1（m >0，n >0且m ≠n ） 3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为 m n
典例导悟：
例1、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1, 0) ，离心率等于
1
，则C 的方程是（ ） 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B 、+=1 D 、+=1 A 、=1 C 、+3442434x 2y 2322
例2、已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率为。双曲线x -y =1的渐近线与
a b 2
椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B 、+=1 C 、+=1 D 、+=1 A 、[1**********]
22
例3、对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx +ny =1的曲线是椭圆”的（ ）
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 必备方法：
1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目中给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。 2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。
3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（x 1+x 2=-
b c
，x 1x 2=）解题。 a a
典例导悟：
例1、设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若∆F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 、
2-1
B 、 C 、2-2 D 、2-1 22
例2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A 、
3223 B 、 C 、 D 、 3322
例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A 、
2134
B 、 C 、 D 、 5555
x 2y 2
例4、从椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是
a b
椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB //OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A 、
122 B 、 C 、 D 、
2422
x 2y 2
例5、椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为F 1、
a b
F 2，若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A 、
11 B 、 C 、 D 、-2 425
x 2y 2
例6、已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，
a b
且BF ⊥x 轴，直线A B 交y 轴于点P 。若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A 、
1132
B 、 C 、 D 、
2322
双曲线的定义：平面上与两个定点F 1、F 2距离的差的绝对值为非零常数2a （小于。这两个定点叫做双曲线的焦点，两|F 1F 2|）的动点轨迹是双曲线（||PF 1|-|PF 2||=2a ）焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
特别提示：
定义中的“绝对值”与2a |F 1F 2|，则轨迹不存在；若2a =0，则轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如：
2222
方程(x -6) +y -(x +6) +y =8表示的双曲线是双曲线的左支。
必备方法：
1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下：
P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a , 2a
2、在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”。 典例导悟：
例1、已知双曲线x 2-y 2=1，点F 1、点P 为双曲线上一点，若PF F 2为其两个焦点，1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为
例2、已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60o ，则|PF 1|⋅|PF 2|=（ ）
A 、2 B 、4 C 、6 D 、8
例3、已知F 1、F 2为双曲线C :x -y =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A 、
2
2
1334
B 、 C 、 D 、 4545
1、双曲线的标准方程：
x 2y 2
（1）焦点在x 轴上时： 2-2=1(a >0, b >0)
a b y 2x 2
（2）焦点在y 轴上时： 2-2=1(a >0, b >0)
a b
特别提示：
在双曲线方程中a 和b 的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。
2、在双曲线的标准方程中，有关系式c =a +b 成立，且a >0, b >0, c >0。 必备方法：
1、双曲线的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 项的系数为正；双曲线的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 项的系数为正，这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。
2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a ，b 的值，最后写出双曲线的标准方程。
3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程
2
2
22
2
2
2
为mx 2+ny 2=1（mn
x 2y 2
-=1上一点M 的横坐标为3，则点M 例1、在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线
412
到此双曲线的右焦点的距离为
x 2y 2
例2、已知双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，
a b
则C 的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B 、-=1 C 、-=1 D 、-=1 A 、
[**************] 2y 2x 2y 2
+=1有相同的焦点，且双曲例3、已知双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 和椭圆
a b 169
线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
x 2y 2
例4、已知抛物线y =8x 的准线过双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 的一个焦点，且双
a b
2
曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为
必备方法：
1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（对称中心、一个焦点以及一个虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系。 2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时，一
x 2y 2
方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程2-2=1(a >0, b >0) 中的“1”
a b x 2y 2
改为“0”，便可得到其渐近线方程。另外与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 具有共同渐近
a b x 2y 2
线的双曲线的方程都可以设为2-2=λ(λ≠0, λ≠1) ，然后再根据其他条件求出λ，代
a b
入便可求出双曲线方程。
x 2y 2
3、与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 共焦点的圆锥曲线方程为
a b x 2y 2
-2=1(λ
a -λb +λ
典例导悟：
x 2y 25
例1、已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0) 的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）
a b 2
A 、y =±
1
x 4
B 、y =±
11
x C 、 y =±x D 、y =±x 32
x 2y 2
-=1的左焦点，P 、Q 为C 上的点。若PQ 的长等于虚轴例2、已知F 为双曲线C ：
916
长的2倍，点A （5，0）在线段PQ 上，则∆PQF 的周长为
例3、双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A 、
12 B 、 C 、1 D 、2 22
x 2y 2
=1的右焦点为（3，0）例4、已知双曲线2-，则该双曲线的离心率等于（ ）
a 5
A 、
34332 B 、 C 、 D 、
23144
b x 2y 2
x 与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 左支的交点，例5、设P 为直线y =F 1是左焦点，PF 13a a b
垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =
x 2y 2x 2y 2
-=1有相同的渐近线，例6、已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 与双曲线C 2:
a b 416
且C 1的右焦点为F (5, 0) ，则a =b =
例7、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2) ，则它的离心率为（ ）
A 、6 B 、 C 、
65
D 、 22
x 2y 2
例8、设O 为坐标原点，F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点，若在双曲线上
a b
存在点P ，满足∠F 1PF 2=60o ，|OP |=7a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 、x ±3y =0 B 、3x ±y =0 C 、x ±2y =0 D 、2x ±y =0 例9、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A 、2 B 、 C 、
+1+1
D 、 22
x 2
+y 2=1与双曲线C
2例10、如图，F 1、F 2是椭圆C 1:4
A 、B 分别为C 1与C 2在第二、四象限的公共点。若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上) 。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 特别提示：
抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）。 必备方法：
１、抛物线定义的集合语言表述如下：
P ={M |
|MF |
=1}，即P ={|MF |=d } d
2、抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要作用。 典例导悟：
例1、已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A 、
357 B 、1 C 、 D 、 444
例2、设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到抛物线焦点的距离是（ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、12
222
例3、已知抛物线y =2px (p >0) 的准线与圆(x -3) +y =16相切，则p 的值为（ ）
A 、
1
B 、1 C 、2 D 、4 2
2
例4、已知过抛物线y =4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|=2，则 例5、动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为
例6、O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=42，则∆POF 的面积为（ ）
A 、2 B 、22 C 、23 D 、4
例7、设抛物线C ：y =4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A 、B 两点。若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ）
A 、y =x -1或 y =-x +1 B 、y =
2
3(x -1) 或y =-(x -1) 3322(x -1) 或y =-(x -1) 22
C 、y =(x -1) 或y =-(x -1) D 、y =
抛物线的标准方程有四种形式：
（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0) ，焦点坐标为
p p (, 0) ，准线方程为x =-； 22
（2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为y 2=-2px (p >0) ，焦点坐标为
(-
p p , 0) ，准线方程为x =； 22
（3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x 2=2py (p >0) ，焦点坐标为
p p (0, ) ，准线方程为y =-；
22
（4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为x 2=-2py (p >0) ，焦点坐标为
p p (0, -) ，准线方程为y =。
22
必备方法：
1、抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要误以为p
2、抛物线的标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得出抛物线的标准方程。 典例导悟：
例1、设抛物线的顶点在原点，准线方程为x =-2，则抛物线的方程是（ ）
A 、y =-8x B 、 y =-4x C 、 y =8x D 、 y =4x 例2、动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为
2
2
2
2
x 2y 2
例3、已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 的离心率为2。若抛物线C 2：
a b
x 2=2py (p >0) 的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ ）
A 、x =
2
816y B 、x 2=y C 、x 2=8y D 、x 2=16y 33
2
A F 例4、设斜率为2的直线l 过抛物线y =ax (a ≠0) 的焦点F ，且和y 轴交于点A 。若∆O
（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A 、y =±4x B 、y =±8x C 、y =4x D 、y =8x
2
2
2
2
必备方法：
1、抛物线不同于椭圆，它是一种不封闭的曲线；它只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点，没有对称中心；它的离心率不变，恒为1.
2、过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作一条直线交抛物线于A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。设直线AB 的倾斜角为θ，则有如下结论：
2
p 2y y =-p 12 （1），x 1x 2=
2
4
（2）|AB |=x 1+x 2+p = （3）S ∆AOB
2p
sin 2θ
p 2= 2sin θ
（4）以线段AB 为直径的圆与准线相切
（5）当AB 与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB 为抛物线的通径，它是焦点弦中的最短者，等于2p
（6）设M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF =∠BMF
（7）设A 、B 在准线上的射影分别为A 1、B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB （8）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 平行于x 轴的直线交准线于C ，则A 、O 、C 三点共线。
典例导悟：
例1、若抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点坐标为（1，0），则p =，准线方程为 例2、抛物线y 2=8x 的焦点到直线x -y =0的距离是（ ） A 、23 B 、2 C 、 D 、1
例3、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2, y 0) 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|= 例4、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为（ ）
A 、18 B 、24 C 、36 D 、48
例5、设M (x 0, y 0) 为抛物线C :x =8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是（ ）
A 、（0，2） B 、[0，2] C 、(2, +∞) D 、[2, +∞)
例6、已知抛物线y 2=2px (p >0) ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A 、x =1 B 、x =-1 C 、x =2 D 、x =-2 例7、抛物线y =8x 的焦点到准线的距离是例8、已知点A （2，0），抛物线C :x =4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|:|MN|=（ ）
A 、2:5 B 、1:2 C 、1: D 、1:3
2
2
2