双曲线的方程
一、知识梳理
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F 1, F 22a (2a
注意: 2a =|F 1F 2|F 1, F 2;
若2a >|F 1F 2|若定义式中绝对值去掉, 则表示双曲线的一支.
2. 双曲线的标准方程
x 2y 2
焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为: 2-2=1, 其中a >0, b >0;
a b y 2x 2
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为: 2-2=1, 其中a >0, b >0;
a b
注意: 系数a , b , c 三者之间的关系为c 2=a 2+b 2, 其中c 最大;
通过判定x 2, y 2前的系数的的符号可确定焦点所在, 其中正的为焦点所在的轴.
x 2y 2
3. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的性质
a b
(1) 对称性: 双曲线是轴对称图形, 具有两条对称轴, 标准方程对应的双曲线的对称轴是x 轴与y 轴. 另一方面, 它还是以原点O 为对称中心的中心对称图形. (2) 顶点: 2个, 分别是A 1(-a ,0), A 2(a ,0) .
(3) 实轴与虚轴: 线段A 1A 2称为双曲线的=
b x a
|A 1A 2|=2a ; 线段B 1B 2称为双曲线的|B 1B 2|=2b .
(4) 范围: 设P (x 0, y 0) 是双曲线上的点, 则|x 0|≥a .
x 2y 2(5) 渐近线: 有两条渐近线: 2-2=0(y =±x ) .
a b a
22
(6) 等轴双曲线的标准方程可设为x -y =λ(λ≠0) ；其渐近线方程为x ±y =0；
(7) 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的x 2y 2x 2y 2
曲线2-2=1的共轭双曲线方程是2-2=-1，它们有共同的 渐近线 .
a b a b
x y x 2y 2
(8) 以±=0为渐近线的双曲线的标准方程可设为2-2=λ(λ≠0) a b a b
注意: (1)实轴虚轴都是线段; (2)双曲线仅与实轴有交点; (3)双曲线的焦点一定在实轴上.
4. 直线与双曲线的位置关系
(1) 直线与双曲线的具有三种位置关系: (1)相交: 直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点; (2)相切: 不平行于渐近线且交于一点; (3)相离;
(2) 点差法: 即设点作差, 求解有关直线与椭圆相交所得弦的中点的问题, 但需要验证相交;
(3) 直线与双曲线相交于P . 1(x 1,
y 1), P (x 2, y 2) , 则截得弦长为:|PP 12|=|x 1-x 2|
二、基础训练
1x 2
y 2
-=1的两条渐近线所夹的锐角的大小为arccos 1. 求双曲线483
解:
双曲线的渐近线的方程为y =
,
对应的法向量分别为-1) 和,
|n ⋅n |1
设它们的夹角为θ, 则cos θ=12=
,
|n 1|⋅|n 2|3
因此所夹的锐角为arccos .
13
22x 2y 2x y +=1的长轴顶点为焦点, 且过P 的双曲线方程为2. 以椭圆-=1
259169
解: 椭圆的长轴顶点为(-
5,0),(5,0), 即双曲线中, c =5,
x 2y 2
=1(a >0) , 设其方程为2-
a 25-a 2
x 2y 23292
=1. 将点的坐标代入得2-=1⇒a =16, 其方程为-2
169a 25-a
22x y
+=1的焦点在y 轴上, 则m 的取值范围是_____________; 3. 双曲线m >1
4(1-m ) 3(1+m )
y 2x 2
-=1, 解: 方程的形式可化为
3(1+m ) 4(m -1)
对比焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可知, m >1.
4. 双曲线的渐近线为y =±x , 焦距为10, 则双曲线的方程为________________________;
43
x 2y 2
-=λ(λ≠0) , 显然c 2=25, 解: 可设双曲线的方程为
916x 2y 2
-=1, 即9λ+16λ=25⇒λ=1, 若λ>0, 则标准方程为
9λ16λx 2y 2
-=1; 即双曲线的标准方程为
916y 2x 2
-=1, 即-16λ-9λ=25⇒λ=-1, 若λ
-16λ-9λy 2x 2
-=1. 即双曲线的标准方程为
169x 2
-y 2=1的两焦点, 点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90︒, 则∆F 1PF 25. 设F 1, F 2为双曲线4
的面积为_______;
1
解: 如图所示, 设|PF 1|=m , |PF 2|=n , 不妨设m >n ,
则m -n =4, 且m 2+n 2=(2c ) 2=20,
m 2-2mn +n 2=16, 将m 2+n 2=20代入得mn =2,
1
则S ∆PF 1F 2=⋅mn =1.
2
三、例题解析
例1. 已知点M (x , y ) 到点F 1(-5,0) 和M 到F 2(5,0)的距离差是8, 求点M 的轨迹方程. 解: 由题意|MF 1|-|MF 2|=8
符合题意的点, 均在以F 1, F 2为焦点, 8为距离差的双曲线上,
x 2y 2
-=1, 即均满足方程
169
但由|MF 1|>|MF 2|, 可知轨迹为上述双曲线的右支, x 2y 2
=1(x ≥4) . 即方程为-
169
x 2y 2
+=1有共同的焦点, 且与椭圆相交的一个交点的纵坐标为4, 求例2. 设双曲线与椭圆
2736
这个双曲线的方程.
解法一:
由交点在椭圆上得其坐标为(,
且椭圆的焦点为(0,±3) , 知双曲线中c 2=9, 且焦点在y 轴上,
y 2x 2
设其方程为2-2=1(a >0, b >0) ,
a b
⎧a 2+b 2=9
⎧a 2=4⎪2⎪
则⎨4, ⇒⎨2
=1⎪⎪2-⎩b =5⎩a
y 2x 2
-=1. 即其方程为45
解法二: 同解法一可知交点M 坐标及焦点F 1, F 2坐标,
由双曲线定义2a =|MF 1|-|MF 2|=|8-4|=4⇒a =2, 结合c 2=9⇒b 2=5,
y 2x 2
-=1. 因此双曲线的方程为45
x 2y 2
+=1的一对顶点的双曲线方程. 例3. 求渐近线为3x ±4y =0, 焦点为椭圆
105
22x y -=λ(λ≠0) ,
解: 可设双曲线的方程为
169
若双曲线以椭圆长轴顶点(为焦点, 则λ>0,
x 2y 22-=1, 因此16λ+9λ=10⇒λ=,
其标准方程为
16λ9λ5
5x 25y 2
-=1,
得双曲线方程为3218
若双曲线以椭圆的短轴顶点(0,为焦点, 则λ
-9λ-16λ5
225x 5y
-=1. 得双曲线的方程为916
x 2y 2
-=1. 例4. 已知双曲线
916
(1) 写出双曲线的焦点和渐近线的方程;
(2) 点P 是双曲线上的点, F 1, F 2分别是它的左右焦点, 且|PF 1|⋅|PF 2|=32, 求∠F 1PF 2的大
小.
解: (1)焦点为F 1(-5,0), F 2(5,0), 渐近线为4x ±3y =0; (2)设|PF 1|=m , |PF 2|=n , 则|m -n |=6, mn =32,
m 2-2mn +n 2=36⇒m 2+n 2=100=|F 1F 2|2,
因此∠F 1PF 2=90︒.
x 2y 2x 2y 2
例5. 若椭圆2+2=1(m >n >0) 和双曲线2-2=1(a >0, b >0) 有相同的焦点F 1, F 2,
a b m n
点P 是椭圆和双曲线的一个交点.
(1) 求证: |PF 1|⋅|PF 2|=m 2-a 2; (2) 求证: ∆PF 1F 2的面积S =nb .
证明: (1)由P 在椭圆上, 则|PF 1|+|PF 2|=2m ,
由P 在双曲线上, 则|PF 1|-|PF 2|=2a , 两式平方相减即得|PF 1|⋅|PF 2|=m 2-a 2;
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|2
=(2)cos θ=
2|PF 1||PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|(2m ) 2-2(m 2-a 2) -4(a 2+b 2)
=
2(m 2-a 2)
n 2-b 24n 2b 22nb m 2-a 2-2b 222
=， =, sin θ=1-cos θ=, sin θ=222222
m 2-a 2n +b (n +b ) n +b
S ∆=
例6. 已知双曲线C 的两条渐近线经过原点,
并且与圆M :(x 2+y 2=1相切, 双曲线C
的一个顶点A
的坐标是, (1) 求双曲线C 的方程;
(2)
已知直线l :y =x 在双曲线的上支求点P , 使点P 与直线l
112nb r 1r 2sin θ=(m 2-a 2) 2=nb 。 222n +b
解: (1)设双曲线的渐近线的方程为y =kx ,
由渐进线与圆M 相切,
即渐近线为y =±x , 设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0) ,
y 2x 2
-=1. 将代入得λ=-2, 即双曲线方程为22
(2)由点P 在双曲线的上支,
设其坐标为(x ,
由它到l :y =x
=1⇒k =±1,
=
由x x 0,
因此上述方程转化为x -
2,
⇒x +2
⇒x 2+(4-x +6-x 2+2,
解得x =即点P
坐标为.
易错易漏： 知识与方法:
四、巩固练习
x 2y 2x y
-=1的渐近线方程为1. 双曲线±=0162545x 2y 2
-=1上一点P 到双曲线一个焦点的距离为12, 则P 到另一个焦点的距离为2. 双曲线
259
_________; 2或者22
3x 2y 2
-=1的右支上有一点P 到两坐标轴的距离相等, 则点P 的坐标是3. 若双曲线22
______________; (1,1)或者(1,-1)
y 232
=1的两条渐近线的夹角为arccos 4. 双曲线x -4522x y
k >2或者k
2-k k -1y 2x 2y 22
=1有共同渐近线, 且经过点(2,2)的双曲线的方程为6. 与双曲x --=14312
x 2-y 2=1所解得弦长为
7. 直线x -y -3=0被双曲线48. 设双曲线与椭圆3x 2+4y 2=48有公共焦点, 且实轴长等于2, 则此双曲线的方程是_____
y 22
x -=1
3
9. 一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1, O 2:x 2+y 2-8x +7=0均内切, 那么动圆P 的圆心的轨迹是........................................................................................................................( D ) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 双曲线的一支 解: 将圆O 2的方程配方得(x -4) 2+y 2=9, 其圆心为(4,0), 半径为3,
设动圆P 的半径为r , 由圆O 1, O 2相外切, 且P 与它们均内切, 则圆P 的半径较大, 则|PO 1|=r -1, |PO 2|=r -3, 则|PO 1|-|PO 2|=2
x 2y 2x 2y 2
+=1和双曲线-=1有共同的焦点, 那么双曲线的渐近线方10. 已知椭圆
3m 25n 22m 23n 2
程是……………………………………………………………………………………...( D )
y B. y = C. x =y D. y = A. x =解: 由题意3m 2-5n 2=2m 2+3n 2⇒m 2=8n 2,
则n 2:m 2=1:8⇒3n 2:2m 2=3:16, 因此渐近线的方程为y =x . 11. 已知方程kx 2+y 2=4, 其中k 为实数, 指出方程所对应的曲线类型. 解: 当k =0时, 方程为y =±2, 为两条平行直线;
当k =1时, 方程为x 2+y 2=4, 表示的曲线为圆; 当k >0, k ≠1时, 方程表示的曲线为椭圆; 当k
12. 已知点A (和B , 动点C 到A , B 的两距离之差的绝对值为2, C 点的轨迹与直线y =x -2交于D , E 两点, 求线段DE 的长. 解: 由题意点C 满足|AC |-|BC |=2
由双曲线的定义, 点C 的轨迹为双曲线, 且a =1, c b 2=2,
y 2
=1, 因此其方程为x -2
⎧2x 2-y 2=2
联立直线与双曲线方程得⎨,
y =x -2⎩
消去y 得x 2+4x -6=0,
∴|DE |=.
2
x 2y 2
13. 已知F 1, F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 为焦点. 过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线
a b
于点P , 且∠PF 1F 2=30︒, 求双曲线的渐进线的方程. 解: 由题意, 设|PF 2|=m , 不妨设|PF 2|
则|PF 1
|=m +6,
由∠PF ︒1F 2=30⇒2m =m +2a ⇒m =2a ,
另一方面
, 2c =⇒c =
=,
则c =⇒c 2=3a 2⇒b 2=2a 2;
因此双曲线的渐进方程为y =±b
a
x ⇔y =.
14. 若等轴双曲线的中心在原点, 焦点F 1, F 2在坐标轴上,
且过点(4,, (1) 求双曲线方程;
(2) 若点M (3,m ) 在双曲线上, 求证: MF 1⊥MF 2; (3) 求∆F 1MF 2的面积.
解: (1)设等轴双曲线的方程为x 2-y 2=λ(λ≠0) ,
将点(4,代入得λ=6,
因此双曲线的方程为x 2y 2
6-6=1; (2)
焦点F 1(
-
F 2,
则F 1M =(3+m ) , F 2M =(3-m ) ,
F 1M ⋅F 2M =-3+m 2, 即证m 2=3
,
由点M
在双曲线上, 代入得m 2=3; (3)S
1
∆F 1MF 2=
2
⋅|F 1F 2|⋅|m |,
显然|F 1F 2|=|m |代入上式得:
S 1
∆F 1MF 2=2
⋅6.
双曲线的方程
一、知识梳理
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F 1, F 22a (2a
注意: 2a =|F 1F 2|F 1, F 2;
若2a >|F 1F 2|若定义式中绝对值去掉, 则表示双曲线的一支.
2. 双曲线的标准方程
x 2y 2
焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为: 2-2=1, 其中a >0, b >0;
a b y 2x 2
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为: 2-2=1, 其中a >0, b >0;
a b
注意: 系数a , b , c 三者之间的关系为c 2=a 2+b 2, 其中c 最大;
通过判定x 2, y 2前的系数的的符号可确定焦点所在, 其中正的为焦点所在的轴.
x 2y 2
3. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的性质
a b
(1) 对称性: 双曲线是轴对称图形, 具有两条对称轴, 标准方程对应的双曲线的对称轴是x 轴与y 轴. 另一方面, 它还是以原点O 为对称中心的中心对称图形. (2) 顶点: 2个, 分别是A 1(-a ,0), A 2(a ,0) .
(3) 实轴与虚轴: 线段A 1A 2称为双曲线的=
b x a
|A 1A 2|=2a ; 线段B 1B 2称为双曲线的|B 1B 2|=2b .
(4) 范围: 设P (x 0, y 0) 是双曲线上的点, 则|x 0|≥a .
x 2y 2(5) 渐近线: 有两条渐近线: 2-2=0(y =±x ) .
a b a
22
(6) 等轴双曲线的标准方程可设为x -y =λ(λ≠0) ；其渐近线方程为x ±y =0；
(7) 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的x 2y 2x 2y 2
曲线2-2=1的共轭双曲线方程是2-2=-1，它们有共同的 渐近线 .
a b a b
x y x 2y 2
(8) 以±=0为渐近线的双曲线的标准方程可设为2-2=λ(λ≠0) a b a b
注意: (1)实轴虚轴都是线段; (2)双曲线仅与实轴有交点; (3)双曲线的焦点一定在实轴上.
4. 直线与双曲线的位置关系
(1) 直线与双曲线的具有三种位置关系: (1)相交: 直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点; (2)相切: 不平行于渐近线且交于一点; (3)相离;
(2) 点差法: 即设点作差, 求解有关直线与椭圆相交所得弦的中点的问题, 但需要验证相交;
(3) 直线与双曲线相交于P . 1(x 1,
y 1), P (x 2, y 2) , 则截得弦长为:|PP 12|=|x 1-x 2|
二、基础训练
1x 2
y 2
-=1的两条渐近线所夹的锐角的大小为arccos 1. 求双曲线483
解:
双曲线的渐近线的方程为y =
,
对应的法向量分别为-1) 和,
|n ⋅n |1
设它们的夹角为θ, 则cos θ=12=
,
|n 1|⋅|n 2|3
因此所夹的锐角为arccos .
13
22x 2y 2x y +=1的长轴顶点为焦点, 且过P 的双曲线方程为2. 以椭圆-=1
259169
解: 椭圆的长轴顶点为(-
5,0),(5,0), 即双曲线中, c =5,
x 2y 2
=1(a >0) , 设其方程为2-
a 25-a 2
x 2y 23292
=1. 将点的坐标代入得2-=1⇒a =16, 其方程为-2
169a 25-a
22x y
+=1的焦点在y 轴上, 则m 的取值范围是_____________; 3. 双曲线m >1
4(1-m ) 3(1+m )
y 2x 2
-=1, 解: 方程的形式可化为
3(1+m ) 4(m -1)
对比焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可知, m >1.
4. 双曲线的渐近线为y =±x , 焦距为10, 则双曲线的方程为________________________;
43
x 2y 2
-=λ(λ≠0) , 显然c 2=25, 解: 可设双曲线的方程为
916x 2y 2
-=1, 即9λ+16λ=25⇒λ=1, 若λ>0, 则标准方程为
9λ16λx 2y 2
-=1; 即双曲线的标准方程为
916y 2x 2
-=1, 即-16λ-9λ=25⇒λ=-1, 若λ
-16λ-9λy 2x 2
-=1. 即双曲线的标准方程为
169x 2
-y 2=1的两焦点, 点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90︒, 则∆F 1PF 25. 设F 1, F 2为双曲线4
的面积为_______;
1
解: 如图所示, 设|PF 1|=m , |PF 2|=n , 不妨设m >n ,
则m -n =4, 且m 2+n 2=(2c ) 2=20,
m 2-2mn +n 2=16, 将m 2+n 2=20代入得mn =2,
1
则S ∆PF 1F 2=⋅mn =1.
2
三、例题解析
例1. 已知点M (x , y ) 到点F 1(-5,0) 和M 到F 2(5,0)的距离差是8, 求点M 的轨迹方程. 解: 由题意|MF 1|-|MF 2|=8
符合题意的点, 均在以F 1, F 2为焦点, 8为距离差的双曲线上,
x 2y 2
-=1, 即均满足方程
169
但由|MF 1|>|MF 2|, 可知轨迹为上述双曲线的右支, x 2y 2
=1(x ≥4) . 即方程为-
169
x 2y 2
+=1有共同的焦点, 且与椭圆相交的一个交点的纵坐标为4, 求例2. 设双曲线与椭圆
2736
这个双曲线的方程.
解法一:
由交点在椭圆上得其坐标为(,
且椭圆的焦点为(0,±3) , 知双曲线中c 2=9, 且焦点在y 轴上,
y 2x 2
设其方程为2-2=1(a >0, b >0) ,
a b
⎧a 2+b 2=9
⎧a 2=4⎪2⎪
则⎨4, ⇒⎨2
=1⎪⎪2-⎩b =5⎩a
y 2x 2
-=1. 即其方程为45
解法二: 同解法一可知交点M 坐标及焦点F 1, F 2坐标,
由双曲线定义2a =|MF 1|-|MF 2|=|8-4|=4⇒a =2, 结合c 2=9⇒b 2=5,
y 2x 2
-=1. 因此双曲线的方程为45
x 2y 2
+=1的一对顶点的双曲线方程. 例3. 求渐近线为3x ±4y =0, 焦点为椭圆
105
22x y -=λ(λ≠0) ,
解: 可设双曲线的方程为
169
若双曲线以椭圆长轴顶点(为焦点, 则λ>0,
x 2y 22-=1, 因此16λ+9λ=10⇒λ=,
其标准方程为
16λ9λ5
5x 25y 2
-=1,
得双曲线方程为3218
若双曲线以椭圆的短轴顶点(0,为焦点, 则λ
-9λ-16λ5
225x 5y
-=1. 得双曲线的方程为916
x 2y 2
-=1. 例4. 已知双曲线
916
(1) 写出双曲线的焦点和渐近线的方程;
(2) 点P 是双曲线上的点, F 1, F 2分别是它的左右焦点, 且|PF 1|⋅|PF 2|=32, 求∠F 1PF 2的大
小.
解: (1)焦点为F 1(-5,0), F 2(5,0), 渐近线为4x ±3y =0; (2)设|PF 1|=m , |PF 2|=n , 则|m -n |=6, mn =32,
m 2-2mn +n 2=36⇒m 2+n 2=100=|F 1F 2|2,
因此∠F 1PF 2=90︒.
x 2y 2x 2y 2
例5. 若椭圆2+2=1(m >n >0) 和双曲线2-2=1(a >0, b >0) 有相同的焦点F 1, F 2,
a b m n
点P 是椭圆和双曲线的一个交点.
(1) 求证: |PF 1|⋅|PF 2|=m 2-a 2; (2) 求证: ∆PF 1F 2的面积S =nb .
证明: (1)由P 在椭圆上, 则|PF 1|+|PF 2|=2m ,
由P 在双曲线上, 则|PF 1|-|PF 2|=2a , 两式平方相减即得|PF 1|⋅|PF 2|=m 2-a 2;
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|2
=(2)cos θ=
2|PF 1||PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|(2m ) 2-2(m 2-a 2) -4(a 2+b 2)
=
2(m 2-a 2)
n 2-b 24n 2b 22nb m 2-a 2-2b 222
=， =, sin θ=1-cos θ=, sin θ=222222
m 2-a 2n +b (n +b ) n +b
S ∆=
例6. 已知双曲线C 的两条渐近线经过原点,
并且与圆M :(x 2+y 2=1相切, 双曲线C
的一个顶点A
的坐标是, (1) 求双曲线C 的方程;
(2)
已知直线l :y =x 在双曲线的上支求点P , 使点P 与直线l
112nb r 1r 2sin θ=(m 2-a 2) 2=nb 。 222n +b
解: (1)设双曲线的渐近线的方程为y =kx ,
由渐进线与圆M 相切,
即渐近线为y =±x , 设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0) ,
y 2x 2
-=1. 将代入得λ=-2, 即双曲线方程为22
(2)由点P 在双曲线的上支,
设其坐标为(x ,
由它到l :y =x
=1⇒k =±1,
=
由x x 0,
因此上述方程转化为x -
2,
⇒x +2
⇒x 2+(4-x +6-x 2+2,
解得x =即点P
坐标为.
易错易漏： 知识与方法:
四、巩固练习
x 2y 2x y
-=1的渐近线方程为1. 双曲线±=0162545x 2y 2
-=1上一点P 到双曲线一个焦点的距离为12, 则P 到另一个焦点的距离为2. 双曲线
259
_________; 2或者22
3x 2y 2
-=1的右支上有一点P 到两坐标轴的距离相等, 则点P 的坐标是3. 若双曲线22
______________; (1,1)或者(1,-1)
y 232
=1的两条渐近线的夹角为arccos 4. 双曲线x -4522x y
k >2或者k
2-k k -1y 2x 2y 22
=1有共同渐近线, 且经过点(2,2)的双曲线的方程为6. 与双曲x --=14312
x 2-y 2=1所解得弦长为
7. 直线x -y -3=0被双曲线48. 设双曲线与椭圆3x 2+4y 2=48有公共焦点, 且实轴长等于2, 则此双曲线的方程是_____
y 22
x -=1
3
9. 一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1, O 2:x 2+y 2-8x +7=0均内切, 那么动圆P 的圆心的轨迹是........................................................................................................................( D ) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 双曲线的一支 解: 将圆O 2的方程配方得(x -4) 2+y 2=9, 其圆心为(4,0), 半径为3,
设动圆P 的半径为r , 由圆O 1, O 2相外切, 且P 与它们均内切, 则圆P 的半径较大, 则|PO 1|=r -1, |PO 2|=r -3, 则|PO 1|-|PO 2|=2
x 2y 2x 2y 2
+=1和双曲线-=1有共同的焦点, 那么双曲线的渐近线方10. 已知椭圆
3m 25n 22m 23n 2
程是……………………………………………………………………………………...( D )
y B. y = C. x =y D. y = A. x =解: 由题意3m 2-5n 2=2m 2+3n 2⇒m 2=8n 2,
则n 2:m 2=1:8⇒3n 2:2m 2=3:16, 因此渐近线的方程为y =x . 11. 已知方程kx 2+y 2=4, 其中k 为实数, 指出方程所对应的曲线类型. 解: 当k =0时, 方程为y =±2, 为两条平行直线;
当k =1时, 方程为x 2+y 2=4, 表示的曲线为圆; 当k >0, k ≠1时, 方程表示的曲线为椭圆; 当k
12. 已知点A (和B , 动点C 到A , B 的两距离之差的绝对值为2, C 点的轨迹与直线y =x -2交于D , E 两点, 求线段DE 的长. 解: 由题意点C 满足|AC |-|BC |=2
由双曲线的定义, 点C 的轨迹为双曲线, 且a =1, c b 2=2,
y 2
=1, 因此其方程为x -2
⎧2x 2-y 2=2
联立直线与双曲线方程得⎨,
y =x -2⎩
消去y 得x 2+4x -6=0,
∴|DE |=.
2
x 2y 2
13. 已知F 1, F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 为焦点. 过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线
a b
于点P , 且∠PF 1F 2=30︒, 求双曲线的渐进线的方程. 解: 由题意, 设|PF 2|=m , 不妨设|PF 2|
则|PF 1
|=m +6,
由∠PF ︒1F 2=30⇒2m =m +2a ⇒m =2a ,
另一方面
, 2c =⇒c =
=,
则c =⇒c 2=3a 2⇒b 2=2a 2;
因此双曲线的渐进方程为y =±b
a
x ⇔y =.
14. 若等轴双曲线的中心在原点, 焦点F 1, F 2在坐标轴上,
且过点(4,, (1) 求双曲线方程;
(2) 若点M (3,m ) 在双曲线上, 求证: MF 1⊥MF 2; (3) 求∆F 1MF 2的面积.
解: (1)设等轴双曲线的方程为x 2-y 2=λ(λ≠0) ,
将点(4,代入得λ=6,
因此双曲线的方程为x 2y 2
6-6=1; (2)
焦点F 1(
-
F 2,
则F 1M =(3+m ) , F 2M =(3-m ) ,
F 1M ⋅F 2M =-3+m 2, 即证m 2=3
,
由点M
在双曲线上, 代入得m 2=3; (3)S
1
∆F 1MF 2=
2
⋅|F 1F 2|⋅|m |,
显然|F 1F 2|=|m |代入上式得:
S 1
∆F 1MF 2=2
⋅6.